Culegere Burtea · Progresii aritmetice · ex. 16

Exercițiul 16 · Puteri ale lui 2 în progresie aritmetică

Să se determine

x

număr real astfel încât numerele

2^{x-1}

5 \cdot 2^{2x-4}

2^{x+1}

să fie, în această ordine, în progresie aritmetică.

Află valoarea reală a lui $x$ .

Aplică

2v = u + w

. Ca să scapi de exponenți, scrie toate puterile cu ajutorul numărului

t = 2^x

, de exemplu

2^{x+1} = 2 \cdot 2^x = 2t

. Obții o ecuație în

t

1. Ce ni se cere
Numerele conțin pe $x$ în exponent. Pentru un $x$ ales, fiecare este pur și simplu un număr. De exemplu, pentru $x = 0$ avem $2^{-1} = \frac12$ , $5 \cdot 2^{-4} = \frac{5}{16}$ și $2^1 = 2$ . Salturile sunt $\frac{5}{16} - \frac12 = -\frac{3}{16}$ și $2 - \frac{5}{16} = \frac{27}{16}$ , deci pentru $x = 0$ numerele nu sunt în progresie aritmetică.
Căutăm valoarea lui $x$ pentru care cele două salturi sunt egale. Puterile cu exponent întreg le știi din gimnaziu. Puterile cu exponent real oarecare vin mai târziu, în capitolul 3C. Aici îți trebuie doar faptul că $2^x$ este un număr pozitiv, oricare ar fi $x$ .
2. Ideea: termenul din mijloc este media vecinilor
Metoda este cea din exemplul rezolvat 4: trei numere $u$ , $v$ , $w$ sunt în progresie aritmetică exact atunci când $2v = u + w$ . Aici termenul din mijloc este $5 \cdot 2^{2x-4}$ :
$2 \cdot 5 \cdot 2^{2x-4} = 2^{x-1} + 2^{x+1}$
Nu se poate rezolva direct, pentru că $x$ stă în exponenți diferiți: $x - 1$ , $2x - 4$ , $x + 1$ .
3. Scriem totul cu $t = 2^x$
Folosim regulile puterilor din gimnaziu: $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ , $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$ și $a^{2x} = (a^x)^2$ . Cu $t = 2^x$ :
$\begin{aligned} 2^{x-1} &= \dfrac{2^x}{2^1} = \dfrac t2 \\ 2^{x+1} &= 2^x \cdot 2^1 = 2t \end{aligned}$
Verifică-te
Cum se scrie $2^{2x-4}$ cu ajutorul lui $t$ ?
Deci termenul din mijloc este $5 \cdot \frac{t^2}{16} = \frac{5t^2}{16}$ , iar ecuația devine:
$\begin{aligned} 2 \cdot \dfrac{5t^2}{16} &= \dfrac t2 + 2t \\ \dfrac{5t^2}{8} &= \dfrac{5t}{2} \end{aligned}$
În dreapta, $\frac t2 + \frac{4t}{2} = \frac{5t}{2}$ .
4. Rezolvăm ecuația în $t$
Înmulțești cu $\frac85$ (adică împarți la $\frac58$ ), ca să scapi de fracții:
$\begin{aligned} t^2 &= 4t \\ t(t - 4) &= 0 \end{aligned}$
Treci $4t$ în stânga și dai factor comun pe $t$ . Nu împărți la $t$ , ca să nu pierzi o soluție.
Produsul este $0$ pentru $t = 0$ sau $t = 4$ . Dar $t$ este o putere a lui $2$ .
Verifică-te
Care dintre valori poate să fie $t = 2^x$ ?
5. Revenim la $x$ și verificăm
Din $2^x = 4 = 2^2$ rezultă $x = 2$ . Verificăm în enunț: pentru $x = 2$ numerele sunt $2^{1} = 2$ , apoi $5 \cdot 2^{2 \cdot 2 - 4}$ și $2^{3} = 8$ .
Verifică-te
Cât este al doilea număr, $5 \cdot 2^{2 \cdot 2 - 4} = 5 \cdot 2^0$ ?

Răspuns

Numerele sunt în progresie aritmetică pentru

x = 2

(se obțin

2

5

8

, cu rația

3

Exercițiul 16 · Puteri ale lui 2 în progresie aritmetică

Află valoarea reală a lui xxx.

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: termenul din mijloc este media vecinilor ✓

3. Scriem totul cu t=2xt = 2^xt=2x ✓

4. Rezolvăm ecuația în ttt ✓

5. Revenim la xxx și verificăm ✓

Află valoarea reală a lui $x$ .

1. Ce ni se cere

2. Ideea: termenul din mijloc este media vecinilor

3. Scriem totul cu $t = 2^x$

4. Rezolvăm ecuația în $t$

5. Revenim la $x$ și verificăm