MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii aritmetice · ex. 2

Exercițiul 2 · Încă patru termeni

Completați cu încă patru termeni progresiile aritmetice:

a)3;8;13;…3; 8; 13; \dots

Rația este diferența dintre doi termeni vecini, de exemplu 8−38 - 3. Apoi continui de la ultimul termen scris, 1313, adunând rația de patru ori.

  1. 1. Ce ni se cere

    Ți se dau trei termeni ai unei progresii aritmetice: a1=3a_1 = 3, a2=8a_2 = 8, a3=13a_3 = 13. Cele trei puncte arată că șirul continuă la fel.

    Trebuie să scrii încă patru termeni, adică cei care urmează după 1313: a4a_4, a5a_5, a6a_6 și a7a_7.

  2. 2. Ideea: citim rația din termenii dați

    Ca în exemplul rezolvat 1, rația se citește din șir: este diferența dintre un termen și cel dinaintea lui, r=a2−a1r = a_2 - a_1. Nu o dă nimeni, dar o poți calcula.

    Verifică-te

    Cât este rația r=a2−a1r = a_2 - a_1?
    Confirmă cu a doua pereche: 13−8=513 - 8 = 5 ✓. Acum continui de la ultimul termen scris, a3=13a_3 = 13, și aduni 55 la fiecare pas.

  3. 3. Calculăm termen cu termen

    a4=a3+r=13+5=18a5=a4+r=18+5=23\begin{aligned} a_4 &= a_3 + r = 13 + 5 = 18 \\ a_5 &= a_4 + r = 18 + 5 = 23 \end{aligned}
    Fiecare termen pornește de la cel dinaintea lui. Nu reiei de la a1a_1.

    Verifică-te

    Termină tu: a6= ?a_6 = \ ?
    Mai ai un pas: a7=a6+5=33a_7 = a_6 + 5 = 33. Șirul complet este:
    33+5+588+5+51313+5+51818+5+52323+5+52828+5+53333

  4. 4. Verificăm cu formula termenului general

    Din breviar, an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r sare direct la un termen. Pentru ultimul termen cerut, n=7n = 7, sunt 7−1=67 - 1 = 6 pași:
    a7=3+6⋅5=33a_7 = 3 + 6 \cdot 5 = 33
    Același rezultat ca la adunările pas cu pas ✓
Răspuns
Următorii patru termeni sunt 18,23,28,3318, 23, 28, 33.

b)13;0;−13;…\frac13; 0; -\frac13; \dots

Metoda de la a): rația este diferența a doi termeni vecini. Ai grijă la semn și scrie întregii ca fracții cu numitorul 3.

  1. 1. Ce e nou: termeni fracționari

    Metoda e cea de la a). Rația este diferența dintre doi termeni vecini:
    r=a2−a1=0−13=−13r = a_2 - a_1 = 0 - \frac13 = -\frac13
    Verificare cu a doua pereche: −13−0=−13-\frac13 - 0 = -\frac13 ✓
    Rația e negativă, deci termenii scad. Ultimul termen scris este a3=−13a_3 = -\frac13. Din el adaugi −13-\frac13 la fiecare pas. Fracțiile au același numitor, așa că aduni doar numărătorii:
    a4=−13+(−13)=−23a_4 = -\frac13 + \left(-\frac13\right) = -\frac23

  2. 2. Continuăm

    Verifică-te

    Cât este a5=a4+r=−23−13a_5 = a_4 + r = -\frac23 - \frac13?
    Mai departe, scriind −1=−33-1 = -\frac33:
    a6=−33−13=−43a7=−43−13=−53\begin{aligned} a_6 &= -\frac33 - \frac13 = -\frac43 \\ a_7 &= -\frac43 - \frac13 = -\frac53 \end{aligned}
    Verificare cu formula, până la a7a_7 sunt 66 pași:
    a7=a1+6r=13−6⋅13=13−2=−53\begin{aligned} a_7 &= a_1 + 6r = \frac13 - 6 \cdot \frac13 \\ &= \frac13 - 2 = -\frac53 \end{aligned}
    Se potrivește cu a7a_7 găsit mai sus ✓
Răspuns
Următorii patru termeni sunt −23,−1,−43,−53-\frac23, -1, -\frac43, -\frac53.

c)2;1,5;1;…2; 1{,}5; 1; \dots

Metoda de la a): rația este diferența dintre doi termeni vecini. Aici apar zecimale, deci rația nu e un număr întreg.

  1. 1. Ce e nou: termeni zecimali

    Metoda e cea de la a). Rația este diferența dintre doi termeni vecini:
    r=a2−a1=1,5−2=−0,5r = a_2 - a_1 = 1{,}5 - 2 = -0{,}5
    Verificare: 1−1,5=−0,51 - 1{,}5 = -0{,}5 ✓
    Termenii scad cu 0,50{,}5 la fiecare pas. Ultimul termen scris este a3=1a_3 = 1:
    a4=1+(−0,5)=0,5a_4 = 1 + (-0{,}5) = 0{,}5

  2. 2. Continuăm

    Verifică-te

    Cât este a5=a4+r=0,5−0,5a_5 = a_4 + r = 0{,}5 - 0{,}5?
    Termenul 00 nu oprește șirul. Rația se adaugă mai departe:
    a6=0−0,5=−0,5a7=−0,5−0,5=−1\begin{aligned} a_6 &= 0 - 0{,}5 = -0{,}5 \\ a_7 &= -0{,}5 - 0{,}5 = -1 \end{aligned}
    Verificare cu formula, până la a7a_7 sunt 66 pași:
    a7=a1+6r=2+6⋅(−0,5)=2−3=−1\begin{aligned} a_7 &= a_1 + 6r = 2 + 6 \cdot (-0{,}5) \\ &= 2 - 3 = -1 \end{aligned}
    Se potrivește cu a7a_7 găsit mai sus ✓
Răspuns
Următorii patru termeni sunt 0,5;0;−0,5;−10{,}5; 0; -0{,}5; -1.

d)2x−1;x−1;−1;…2x - 1; x - 1; -1; \dots

Metoda e aceeași: rația este diferența a doi termeni vecini, doar că termenii conțin pe xx. Scazi cu paranteze și ai grijă la semne.

  1. 1. Ce e nou: termenii conțin pe xx

    Metoda e cea de la a): rația este r=a2−a1r = a_2 - a_1, iar apoi o aduni din aproape în aproape. Faptul că termenii depind de xx nu schimbă nimic, doar că rația va depinde și ea de xx.

    Scazi punând al doilea termen în paranteză, ca minusul să schimbe semnul fiecărui termen din el:

    Verifică-te

    Cât este r=a2−a1=(x−1)−(2x−1)r = a_2 - a_1 = (x - 1) - (2x - 1)?
    Verifici cu a doua pereche: a3−a2=−1−(x−1)=−1−x+1=−xa_3 - a_2 = -1 - (x - 1) = -1 - x + 1 = -x ✓. Rația este aceeași, r=−xr = -x.

  2. 2. Adunăm rația din aproape în aproape

    Pornești de la a3=−1a_3 = -1 și aduni −x-x, adică scazi xx, de patru ori:
    a4=−1−xa5=a4−x=−2x−1a6=a5−x=−3x−1a7=a6−x=−4x−1\begin{aligned} a_4 &= -1 - x \\ a_5 &= a_4 - x = -2x - 1 \\ a_6 &= a_5 - x = -3x - 1 \\ a_7 &= a_6 - x = -4x - 1 \end{aligned}
    2x−12x-1−x-xx−1x-1−x-x−1-1−x-x−x−1-x-1−x-x−2x−1-2x-1
    Verificare cu formula, până la a7a_7 sunt 66 pași:
    a7=a1+6r=2x−1+6⋅(−x)=−4x−1\begin{aligned} a_7 &= a_1 + 6r \\ &= 2x - 1 + 6 \cdot (-x) \\ &= -4x - 1 \end{aligned}
    Se potrivește cu a7a_7 găsit mai sus ✓
Răspuns
Următorii patru termeni sunt −x−1-x - 1, −2x−1-2x - 1, −3x−1-3x - 1, −4x−1-4x - 1.