MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii aritmetice · ex. 20

Exercițiul 20 · Suma primilor 100 de termeni

Să se calculeze suma primilor 100 de termeni ai progresiei aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n\ge1}, dacă:

a)a1=5a_1 = 5, a100=100a_{100} = 100

Folosește formula sumei din breviar, Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}. Aici știi și primul, și ultimul termen.

  1. 1. Ce ni se cere

    Progresia aritmetică (an)(a_n) începe cu a1=5a_1 = 5, iar al o sutălea termen este a100=100a_{100} = 100. Rația nu e dată, dar nici nu o căutăm.

    Trebuie să afli suma primilor 100 de termeni:

    S100=a1+a2+⋯+a100S_{100} = a_1 + a_2 + \dots + a_{100}
    Să aduni o sută de numere unul câte unul ar fi lung și ușor de greșit. Breviarul culegerii dă o formulă care aduce suma la o singură înmulțire.

  2. 2. Ideea: formula sumei

    Ai văzut în exemplul rezolvat 5 de unde vine formula: scrii suma o dată de la primul termen la ultimul și o dată invers, apoi aduni rândurile pe coloane. Fiecare coloană are aceeași sumă, a1+ana_1 + a_n, iar coloanele sunt nn:
    Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}
    Primul plus ultimul termen, înmulțit cu numărul de termeni, totul împărțit la 2 (fiecare termen a fost scris de două ori).
    Aici ai tot ce-ți trebuie: a1=5a_1 = 5, a100=100a_{100} = 100 și n=100n = 100. Nu mai e nevoie să afli rația.

  3. 3. Calculăm suma

    Înlocuiești în formulă:
    S100=(5+100)⋅1002=105⋅50S_{100} = \dfrac{(5 + 100) \cdot 100}{2} = 105 \cdot 50
    Mai simplu e să împarți mai întâi 100100 la 22, apoi să înmulțești.

    Verifică-te

    Cât este S100S_{100}?

  4. 4. Verificăm

    a1+a1002=1052=52,5\frac{a_1 + a_{100}}{2} = \frac{105}{2} = 52{,}5 este media primului și a ultimului termen. Într-o progresie aritmetică, aceasta este și media tuturor termenilor, deci suma este media înmulțită cu numărul de termeni: 52,5⋅100=525052{,}5 \cdot 100 = 5250 ✓

    E și logic: termenii merg de la 5 la 100, deci media lor trebuie să fie între 5 și 100.

Răspuns
S100=5250S_{100} = 5250.

b)a1=5,5a_1 = 5{,}5, a100=7,5a_{100} = 7{,}5

La fel ca la a): Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}. Primul și ultimul termen se adună chiar dacă sunt zecimale.

  1. 1. Aceeași formulă, cu zecimale

    Cunoști primul și ultimul termen, ca la a), deci folosești aceeași formulă, Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}. Singura noutate: numerele sunt zecimale. Rația ar fi 7,5−5,599=299\frac{7{,}5 - 5{,}5}{99} = \frac{2}{99}, o fracție urâtă, dar nu ai nevoie de ea.
    S100=(5,5+7,5)⋅1002S_{100} = \dfrac{(5{,}5 + 7{,}5) \cdot 100}{2}

    Verifică-te

    Cât este S100S_{100}?

  2. 2. Verificăm

    Media primului și a ultimului termen este 132=6,5\frac{13}{2} = 6{,}5, iar termenii cresc doar de la 5,55{,}5 la 7,57{,}5, deci o medie de 6,56{,}5 este firească. Suma: 6,5⋅100=6506{,}5 \cdot 100 = 650 ✓
Răspuns
S100=650S_{100} = 650.

c)a1=3a_1 = 3, r=−4r = -4

Formula sumei cere ultimul termen. Afli întâi a100a_{100} cu an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r, apoi calculezi suma.

  1. 1. Ce e nou: lipsește ultimul termen

    La a) și b) știai a100a_{100}. Aici știi doar a1=3a_1 = 3 și rația r=−4r = -4, deci mai întâi trebuie să afli a100a_{100}, exact ca în exemplul rezolvat 5. Folosești formula termenului general. Până la locul 100 sunt 9999 de pași de câte −4-4:
    a100=a1+99r=3+99⋅(−4)\begin{aligned} a_{100} &= a_1 + 99r \\ &= 3 + 99 \cdot (-4) \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este a100a_{100}?

  2. 2. Calculăm suma

    Cu a1=3a_1 = 3, a100=−393a_{100} = -393 și n=100n = 100 aplici formula sumei:
    S100=(3+(−393))⋅1002=−390⋅1002S_{100} = \dfrac{(3 + (-393)) \cdot 100}{2} = \dfrac{-390 \cdot 100}{2}

    Verifică-te

    Cât este S100S_{100}?

  3. 3. Verificăm cu a doua formulă

    Breviarul dă și formula care nu cere ana_n, Sn=[2a1+(n−1)r]⋅n2S_n = \frac{[2a_1 + (n - 1)r] \cdot n}{2}. Aici:
    S100=(6−396)⋅1002=−390⋅1002=−19500\begin{aligned} S_{100} &= \dfrac{(6 - 396) \cdot 100}{2} \\ &= \dfrac{-390 \cdot 100}{2} \\ &= -19500 \end{aligned}
    Paranteza 2a1+99r=6−396=−3902a_1 + 99r = 6 - 396 = -390 este chiar a1+a100a_1 + a_{100}, deci iese același rezultat ✓
    Rația e negativă, deci termenii scad de la 33 spre numere tot mai negative. Suma e negativă și mare, cum te aștepți.
Răspuns
Ultimul termen este a100=−393a_{100} = -393, iar suma este S100=−19500S_{100} = -19500.

d)a1=2a_1 = 2, r=−2r = -2

Ca la c): întâi a100=a1+99ra_{100} = a_1 + 99r, apoi S100=(a1+a100)⋅1002S_{100} = \frac{(a_1 + a_{100}) \cdot 100}{2}.

  1. 1. Ultimul termen, ca la c)

    Cunoști a1a_1 și rr, deci mai întâi afli a100a_{100}, la fel ca la c). Până la locul 100 sunt 99 de pași de câte −2-2:
    a100=2+99⋅(−2)a_{100} = 2 + 99 \cdot (-2)

    Verifică-te

    Cât este a100a_{100}?

  2. 2. Calculăm suma

    S100=(2+(−196))⋅1002=−194⋅1002=−194⋅50\begin{aligned} S_{100} &= \dfrac{(2 + (-196)) \cdot 100}{2} \\ &= \dfrac{-194 \cdot 100}{2} \\ &= -194 \cdot 50 \end{aligned}

    −194⋅50=−9700-194 \cdot 50 = -9700.

    Verificare cu cealaltă formulă: [2⋅2+99⋅(−2)]⋅1002=(4−198)⋅1002=−194⋅1002=−9700\frac{[2 \cdot 2 + 99 \cdot (-2)] \cdot 100}{2} = \frac{(4 - 198) \cdot 100}{2} = \frac{-194 \cdot 100}{2} = -9700 ✓

Răspuns
Ultimul termen este a100=−196a_{100} = -196, iar suma este S100=−9700S_{100} = -9700.