Exercițiul 21 · Suma primilor n termeni din condiții

a) $a_{11} = 2$ ; să se determine $S_{21}$ .

Pentru

S_{21} = \frac{(a_1 + a_{21}) \cdot 21}{2}

îți trebuie suma

a_1 + a_{21}

. Scrie

a_{11}

și

a_{21}

prin

a_1

și

r

și vezi cum se leagă.

1. Ce ni se cere
Despre progresia aritmetică $(a_n)$ știi un singur lucru: al 11-lea termen este $2$ . Nu cunoști nici $a_1$ , nici rația $r$ , iar dintr-o singură condiție nu le poți afla pe amândouă.
Cauți totuși suma primilor 21 de termeni, $S_{21}$ . Se poate să nu ai nevoie de $a_1$ și $r$ separat, ci doar de o combinație a lor. Să vedem care.
2. Ideea: scriem totul prin $a_1$ și $r$
Din breviar, suma primilor $n$ termeni este:
$S_{21} = \dfrac{(a_1 + a_{21}) \cdot 21}{2}$
Deci îți trebuie suma $a_1 + a_{21}$ . Scrii termenii cu $a_n = a_1 + (n - 1)r$ , ca în exemplul rezolvat 6:
$a_{11} = a_1 + 10r = 2$ (condiția din enunț)
$a_{21} = a_1 + 20r$
Verifică-te
Cât este $a_1 + a_{21}$ , știind că $a_1 + 10r = 2$ ?
3. Calculăm suma
Înlocuiești $a_1 + a_{21} = 4$ în formula sumei:
$S_{21} = \dfrac{4 \cdot 21}{2} = 2 \cdot 21$
Verifică-te
Cât este $S_{21}$ ?
4. Verificăm cu două progresii diferite
Rezultatul nu trebuie să depindă de progresia aleasă, atât timp cât $a_{11} = 2$ . Încearcă două.
Șirul constant $a_1 = 2$ , $r = 0$ : toți termenii sunt 2, deci $S_{21} = 21 \cdot 2 = 42$ ✓
Progresia $a_1 = -8$ , $r = 1$ : $a_{11} = -8 + 10 = 2$ ✓ și $a_{21} = -8 + 20 = 12$ , deci:
$S_{21} = \dfrac{(-8 + 12) \cdot 21}{2} = 42$
Același rezultat ✓
Nu e o coincidență: termenul $a_{11}$ este chiar la mijlocul celor 21 de termeni, cu câte 10 înainte și după el. Oricare doi termeni la distanțe egale de el au suma $2a_{11}$ , iar suma totală este $21 \cdot a_{11}$ .

Răspuns

S_{21} = 42

.

b) $a_7 = 5$ ; să se determine $S_{13}$ .

Ca la a): scrie

a_1 + a_{13}

prin

a_1

și

r

și caută în el pe

a_7 = a_1 + 6r

.

1. Aceeași idee: caută $a_1 + a_{13}$
Suma este $S_{13} = \frac{(a_1 + a_{13}) \cdot 13}{2}$ , deci îți trebuie $a_1 + a_{13}$ . Scrii $a_{13} = a_1 + 12r$ , iar condiția spune $a_7 = a_1 + 6r = 5$ .
Verifică-te
Cât este $a_1 + a_{13} = 2a_1 + 12r$ ?
2. Suma și verificarea
$S_{13} = \dfrac{10 \cdot 13}{2} = 5 \cdot 13 = 65$
Verificare cu două progresii cu $a_7 = 5$ . Șirul constant $a_1 = 5$ , $r = 0$ dă $S_{13} = 13 \cdot 5 = 65$ ✓. Progresia $a_1 = -1$ , $r = 1$ are $a_7 = -1 + 6 = 5$ ✓ și $a_{13} = 11$ , deci $S_{13} = \frac{(-1 + 11) \cdot 13}{2} = 65$ ✓
Se vede regula: $a_7$ este termenul din mijloc dintre 13 termeni, deci $S_{13} = 13 \cdot a_7$ .

Răspuns

S_{13} = 65

.

c) $a_6 + a_9 + a_{12} + a_{15} = 40$ ; să se calculeze $S_{20}$ .

Scrie cei patru termeni prin

a_1

și

r

și strânge-i. Compară rezultatul cu

a_1 + a_{20} = 2a_1 + 19r

.

1. Scriem condiția prin $a_1$ și $r$
Pentru $S_{20} = \frac{(a_1 + a_{20}) \cdot 20}{2}$ îți trebuie din nou $a_1 + a_{20}$ . Condiția are patru termeni, iar fiecare se scrie cu $a_k = a_1 + (k - 1)r$ :
$\begin{aligned} &(a_1 + 5r) + (a_1 + 8r) \\ &\quad + (a_1 + 11r) \\ &\quad + (a_1 + 14r) = 40 \end{aligned}$
Verifică-te
Strânge termenii: $4a_1 + \square\, r = 40$ . Ce număr intră în pătrățel?
2. Recunoaștem $a_1 + a_{20}$ și calculăm suma
Ai $4a_1 + 38r = 40$ . Împarți ecuația la 2 și obții $2a_1 + 19r = 20$ .
Acum privește $a_{20} = a_1 + 19r$ : suma $a_1 + a_{20}$ este exact $2a_1 + 19r$ . Așadar $a_1 + a_{20} = 20$ și:
$S_{20} = \dfrac{20 \cdot 20}{2} = 200$
Verificare cu o progresie concretă, $r = 2$ și $2a_1 + 38 = 20$ , deci $a_1 = -9$ . Atunci $a_6 = 1$ , $a_9 = 7$ , $a_{12} = 13$ , $a_{15} = 19$ , cu suma $40$ ✓. Iar $a_{20} = 29$ , deci $S_{20} = \frac{(-9 + 29) \cdot 20}{2} = 200$ ✓

Răspuns

S_{20} = 200

.

d) $a_4 + a_8 + a_{12} + a_{16} = 448$ ; să se calculeze $S_{19}$ .

Ca la c): strânge condiția în

a_1

și

r

. Pentru

S_{19}

îți trebuie

a_1 + a_{19} = 2a_1 + 18r

.

1. Condiția prin $a_1$ și $r$
Scrii termenii cu $a_k = a_1 + (k - 1)r$ și aduni rațiile: $3 + 7 + 11 + 15 = 36$ , deci:
$4a_1 + 36r = 448$
Verifică-te
Împarți ecuația la 4. Ce obții?
2. Suma $S_{19}$
Pentru $S_{19}$ scrii $a_{19} = a_1 + 18r$ , deci:
$\begin{aligned} a_1 + a_{19} &= 2a_1 + 18r \\ &= 2(a_1 + 9r) = 224 \end{aligned}$
$\begin{aligned} S_{19} &= \dfrac{224 \cdot 19}{2} \\ &= 112 \cdot 19 = 2128 \end{aligned}$
Mai simplu: $112 \cdot 19 = 112 \cdot 20 - 112 = 2240 - 112$ .
Verificare cu o progresie concretă, $a_1 = 4$ și $r = 12$ (din $a_1 + 9r = 112$ ): $a_4 = 40$ , $a_8 = 88$ , $a_{12} = 136$ , $a_{16} = 184$ , cu suma $448$ ✓. Iar $a_{19} = 4 + 216 = 220$ , deci $S_{19} = \frac{(4 + 220) \cdot 19}{2} = 112 \cdot 19 = 2128$ ✓

Răspuns

S_{19} = 2128

.

e) $S_{10} = 100$ , $S_{30} = 900$ ; să se calculeze $S_{40}$ .

Scrie

S_{10}

și

S_{30}

cu

S_n = \frac{[2a_1 + (n - 1)r] \cdot n}{2}

. Obții un sistem în

a_1

și

r

, pe care îl rezolvi prin reducere.

1. Cele două sume devin un sistem
Aici ai două condiții, deci poți afla $a_1$ și $r$ și apoi $S_{40}$ , exact ca în exemplul rezolvat 6. Sumele se scriu cu a doua formulă din breviar, care folosește direct $a_1$ și $r$ :
$S_n = \dfrac{[2a_1 + (n - 1)r] \cdot n}{2}$
$\begin{aligned} S_{10} &= \dfrac{(2a_1 + 9r) \cdot 10}{2} \\ &= 5(2a_1 + 9r) = 100 \end{aligned}$
Împarți la 5 și obții prima ecuație, $2a_1 + 9r = 20$ . La $S_{30}$ ai factorul $\frac{30}{2} = 15$ :
$S_{30} = 15(2a_1 + 29r) = 900$
Verifică-te
Împarți la 15. Ce ecuație obții?
2. Rezolvăm sistemul
$\begin{cases} 2a_1 + 9r = 20 \\ 2a_1 + 29r = 60 \end{cases}$
Coeficienții lui $a_1$ sunt egali, așa că scazi prima ecuație din a doua (metoda reducerii) și $a_1$ dispare:
$20r = 40 \quad\Rightarrow\quad r = 2$
Din prima ecuație, $2a_1 = 20 - 9 \cdot 2 = 2$ , deci $a_1 = 1$ .
3. Calculăm $S_{40}$ și verificăm
$S_{40} = \dfrac{(2 \cdot 1 + 39 \cdot 2) \cdot 40}{2} = 80 \cdot 20$
Verifică-te
Cât este $S_{40}$ ?
Progresia este $1, 3, 5, 7, \dots$ , numerele impare, iar suma primilor $n$ termeni ai ei este $n^2$ . Se potrivește tot: $S_{10} = 100$ ✓, $S_{30} = 900$ ✓, $S_{40} = 1600$ ✓

Răspuns

Rația este

r = 2

, primul termen este

a_1 = 1

, iar

S_{40} = 1600

.

f) $S_2 = 7$ , $S_6 = 93$ ; să se calculeze $S_4$ .

Ca la e):

S_2

și

S_6

cu formula

S_n = \frac{[2a_1 + (n - 1)r] \cdot n}{2}

, apoi sistem în

a_1

și

r

.

1. Sistemul în $a_1$ și $r$
Metoda e cea de la e). $S_2 = \frac{(2a_1 + r) \cdot 2}{2} = 2a_1 + r$ , iar $S_6 = \frac{(2a_1 + 5r) \cdot 6}{2} = 3(2a_1 + 5r)$ . Condițiile devin:
$\begin{cases} 2a_1 + r = 7 \\ 2a_1 + 5r = 31 \end{cases}$
A doua ecuație vine din $3(2a_1 + 5r) = 93$ , împărțită la 3.
Scazi prima ecuație din a doua: $4r = 24$ , deci $r = 6$ . Apoi $2a_1 = 7 - 6 = 1$ , deci $a_1 = \frac12$ .
2. Calculăm $S_4$
$S_4 = \dfrac{(2a_1 + 3r) \cdot 4}{2} = 2\left(1 + 18\right)$
Verifică-te
Cât este $S_4$ ?
Verificare: termenii sunt $\frac12$ , $\frac{13}{2}$ , $\frac{25}{2}$ , $\frac{37}{2}$ , iar suma lor este $\frac{76}{2} = 38$ ✓. Se potrivesc și datele: $S_2 = \frac12 + \frac{13}{2} = 7$ ✓, iar adăugând $a_5 = \frac{49}{2}$ și $a_6 = \frac{61}{2}$ la $38$ obții $S_6 = 38 + 55 = 93$ ✓

Răspuns

Rația este

r = 6

, primul termen este

a_1 = \frac12

, iar

S_4 = 38

.

g) $a_4 - a_2 = 4$ și $a_1 + a_3 + a_5 + a_6 = 30$ ; să se calculeze $S_{20}$ .

Scrie fiecare termen prin

a_1

și

r

. Prima condiție îți dă direct

r

, apoi din a doua afli

a_1

.

1. Condițiile prin $a_1$ și $r$
Scrii termenii cu $a_k = a_1 + (k - 1)r$ . Prima condiție: $a_4 - a_2 = (a_1 + 3r) - (a_1 + r) = 2r$ , deci $2r = 4$ și $r = 2$ . Aici $a_1$ dispare chiar din scădere.
A doua condiție:
$\begin{aligned} &a_1 + (a_1 + 2r) + (a_1 + 4r) \\ &\quad + (a_1 + 5r) = 30 \end{aligned}$
Verifică-te
Cu $r = 2$ , ce ecuație în $a_1$ obții?
2. Aflăm $a_1$ și calculăm $S_{20}$
$4a_1 = 30 - 22 = 8$ , deci $a_1 = 2$ . Acum, cu $a_1 = 2$ și $r = 2$ :
$\begin{aligned} S_{20} &= \dfrac{(2a_1 + 19r) \cdot 20}{2} \\ &= (4 + 38) \cdot 10 = 420 \end{aligned}$
Verificare: progresia este $2, 4, 6, 8, 10, 12, \dots$ , numerele pare. Atunci $a_4 - a_2 = 8 - 4 = 4$ ✓ și $a_1 + a_3 + a_5 + a_6 = 2 + 6 + 10 + 12 = 30$ ✓. Suma primilor 20 de termeni este $2(1 + 2 + \dots + 20) = 2 \cdot 210 = 420$ ✓

Răspuns

Rația este

r = 2

, primul termen este

a_1 = 2

, iar

S_{20} = 420

.

Exercițiul 21 · Suma primilor n termeni din condiții

a)a11=2a_{11} = 2a11​=2; să se determine S21S_{21}S21​.

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: scriem totul prin a1a_1a1​ și rrr ✓

3. Calculăm suma ✓

4. Verificăm cu două progresii diferite ✓

b)a7=5a_7 = 5a7​=5; să se determine S13S_{13}S13​.

1. Aceeași idee: caută a1+a13a_1 + a_{13}a1​+a13​ ✓

2. Suma și verificarea ✓

c)a6+a9+a12+a15=40a_6 + a_9 + a_{12} + a_{15} = 40a6​+a9​+a12​+a15​=40; să se calculeze S20S_{20}S20​.

1. Scriem condiția prin a1a_1a1​ și rrr ✓

2. Recunoaștem a1+a20a_1 + a_{20}a1​+a20​ și calculăm suma ✓

d)a4+a8+a12+a16=448a_4 + a_8 + a_{12} + a_{16} = 448a4​+a8​+a12​+a16​=448; să se calculeze S19S_{19}S19​.

1. Condiția prin a1a_1a1​ și rrr ✓

2. Suma S19S_{19}S19​ ✓

e)S10=100S_{10} = 100S10​=100, S30=900S_{30} = 900S30​=900; să se calculeze S40S_{40}S40​.

1. Cele două sume devin un sistem ✓

2. Rezolvăm sistemul ✓

3. Calculăm S40S_{40}S40​ și verificăm ✓

f)S2=7S_2 = 7S2​=7, S6=93S_6 = 93S6​=93; să se calculeze S4S_4S4​.

1. Sistemul în a1a_1a1​ și rrr ✓

2. Calculăm S4S_4S4​ ✓

g)a4−a2=4a_4 - a_2 = 4a4​−a2​=4 și a1+a3+a5+a6=30a_1 + a_3 + a_5 + a_6 = 30a1​+a3​+a5​+a6​=30; să se calculeze S20S_{20}S20​.

1. Condițiile prin a1a_1a1​ și rrr ✓

2. Aflăm a1a_1a1​ și calculăm S20S_{20}S20​ ✓

a) $a_{11} = 2$ ; să se determine $S_{21}$ .

1. Ce ni se cere

2. Ideea: scriem totul prin $a_1$ și $r$

3. Calculăm suma

4. Verificăm cu două progresii diferite

b) $a_7 = 5$ ; să se determine $S_{13}$ .

1. Aceeași idee: caută $a_1 + a_{13}$

2. Suma și verificarea

c) $a_6 + a_9 + a_{12} + a_{15} = 40$ ; să se calculeze $S_{20}$ .

1. Scriem condiția prin $a_1$ și $r$

2. Recunoaștem $a_1 + a_{20}$ și calculăm suma

d) $a_4 + a_8 + a_{12} + a_{16} = 448$ ; să se calculeze $S_{19}$ .

1. Condiția prin $a_1$ și $r$

2. Suma $S_{19}$

e) $S_{10} = 100$ , $S_{30} = 900$ ; să se calculeze $S_{40}$ .

1. Cele două sume devin un sistem

2. Rezolvăm sistemul

3. Calculăm $S_{40}$ și verificăm

f) $S_2 = 7$ , $S_6 = 93$ ; să se calculeze $S_4$ .

1. Sistemul în $a_1$ și $r$

2. Calculăm $S_4$

g) $a_4 - a_2 = 4$ și $a_1 + a_3 + a_5 + a_6 = 30$ ; să se calculeze $S_{20}$ .

1. Condițiile prin $a_1$ și $r$

2. Aflăm $a_1$ și calculăm $S_{20}$