Exercițiul 22 · Este progresie aritmetică? (din suma Sn)

a) $S_n = 6n - 1$ , $n \in \mathbb{N}^*$

Formula nu dă termenii, ci sumele. Primul termen este chiar

S_1

. Al doilea termen este ce se adaugă de la

S_1

la

S_2

, adică

S_2 - S_1

. Continuă la fel și uită-te dacă saltul dintre termeni e mereu același.

1. Ce ni se cere
Despre șirul $(a_n)$ nu știm direct niciun termen. Știm doar suma primilor $n$ termeni, notată în breviarul culegerii cu
$S_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n$
Enunțul spune că, pentru orice $n \ge 1$ , această sumă este $S_n = 6n - 1$ . De exemplu, $S_1 = 5$ , $S_2 = 11$ , $S_3 = 17$ .
Atenție: $6n - 1$ nu este formula termenului $a_n$ . Este formula sumei. De exemplu, $S_2 = 11$ înseamnă $a_1 + a_2 = 11$ , nu $a_2 = 11$ .
Trebuie să decidem dacă $(a_n)$ este progresie aritmetică. Dacă da, mai trebuie aflate formula lui $a_n$ și rația $r$ . Planul: întâi aflăm termenii din sume, apoi verificăm dacă diferența dintre doi termeni consecutivi e mereu aceeași.
2. Ideea: din două sume vecine aflăm un termen
Să începem cu ce e simplu. $S_1$ este „suma” unui singur termen, deci $a_1 = S_1 = 6 \cdot 1 - 1 = 5$ .
Mai departe, $S_2 = a_1 + a_2$ . Cum afli $a_2$ dacă știi $S_1$ și $S_2$ ?
Verifică-te
Știind $S_1 = 5$ și $S_2 = 11$ , cât este $a_2$ ?
Diferența dintre $S_2$ și $S_1$ este exact termenul care s-a adăugat, $a_2$ . La fel pentru orice $n \ge 2$ : suma primilor $n$ termeni este suma primilor $n - 1$ termeni, plus încă un termen, $a_n$ :
$S_n = \underbrace{a_1 + \dots + a_{n-1}}_{S_{n-1}} + a_n$
$a_n = S_n - S_{n-1}, \quad n \ge 2$
Termenul $a_n$ este ce se adaugă la sumă când trecem de la $n - 1$ termeni la $n$ termeni.
O formulă nouă, dar ușor de dedus
Relația $a_n = S_n - S_{n-1}$ nu apare în exemplele rezolvate ale culegerii. Nu trebuie învățată pe de rost: vine direct din definiția lui $S_n$ din breviar, pentru că $S_n = S_{n-1} + a_n$ . Ea merge doar pentru $n \ge 2$ : formula lui $S_n$ este dată pentru $n \ge 1$ , deci $S_{n-1}$ are sens doar când $n - 1 \ge 1$ . Pe $a_1$ îl aflăm separat, din $a_1 = S_1$ .
3. Calculăm $a_n$ pentru $n \ge 2$
Ca să scrii $S_{n-1}$ , înlocuiești $n$ cu $n - 1$ peste tot în formula lui $S_n$ :
Verifică-te
Cât este $S_{n-1} = 6(n - 1) - 1$ ?
$a_n = (6n - 1) - (6n - 7)$
$a_n = 6n - 1 - 6n + 7 = 6$
Minusul din fața parantezei schimbă semnul fiecărui termen din ea: $-(6n - 7) = -6n + 7$ .
Deci $a_n = 6$ pentru orice $n \ge 2$ : $a_2 = 6$ , $a_3 = 6$ , $a_4 = 6$ și așa mai departe.
Formula a fost dedusă doar pentru $n \ge 2$ , așa că verificăm separat dacă dă și primul termen. Pentru $n = 1$ ar da $6$ , dar $a_1 = S_1 = 5$ . Prin urmare, formula nu se potrivește pentru $n = 1$ , așa că șirul este
$5,\ 6,\ 6,\ 6,\ \dots$
4. Este progresie aritmetică?
Testul îl știi din exemplul rezolvat 3 din culegere: un șir este progresie aritmetică dacă diferența $a_k - a_{k-1}$ este aceeași pentru orice $k \ge 2$ . Acea diferență constantă este rația.
Aici, pentru $k = 2$ , diferența îl folosește pe $a_1$ , care nu respectă formula $a_n = 6$ . Așa că o calculăm separat:
$a_2 - a_1 = 6 - 5 = 1$
$a_k - a_{k-1} = 6 - 6 = 0$
Pentru orice $k \ge 3$ : atunci și $a_k$ , și $a_{k-1}$ sunt de la al doilea termen încolo, deci ambii sunt 6.
Verifică-te
Diferențele sunt $1, 0, 0, 0, \dots$ Ce concluzie tragi?

5. Verificăm direct din sume

Calculezi primele sume din formula

S_n = 6n - 1

și scazi două sume vecine:

$n$	$S_n$	Termenul $a_n$
$1$	$5$	$a_1 = 5$
$2$	$11$	$a_2 = 11 - 5 = 6$
$3$	$17$	$a_3 = 17 - 11 = 6$
$4$	$23$	$a_4 = 23 - 17 = 6$

Se confirmă: $5, 6, 6, 6$ . Suma crește mereu cu 6, deci de la al doilea termen încolo fiecare termen este 6. Doar primul termen e diferit, pentru că $S_1 = 5$ , nu 6.

Dacă toți termenii ar fi 6, suma primilor $n$ termeni ar fi $6n$ . Acel „ $-1$ ” din $S_n = 6n - 1$ îl face pe $a_1$ cu 1 mai mic și strică progresia chiar la început.

Răspuns

Nu. Din sume rezultă

a_1 = 5

și

a_n = 6

pentru

n \ge 2

, deci șirul este

5, 6, 6, 6, \dots

. Diferențele dintre termenii consecutivi sunt

1, 0, 0, \dots

, nu toate egale, deci șirul nu este progresie aritmetică.

b) $S_n = n^2 - 3n$ , $n \in \mathbb{N}^*$

Metoda de la a):

a_1 = S_1

și

a_n = S_n - S_{n-1}

pentru

n \ge 2

. La

S_{n-1}

ai de dezvoltat

(n - 1)^2

.

1. Aflăm $a_1$ și $a_n$
Metoda e cea de la a). Primul termen este prima sumă:
$a_1 = S_1 = 1^2 - 3 \cdot 1 = -2$
Pentru $n \ge 2$ folosim $a_n = S_n - S_{n-1}$ . Ca să scrii $S_{n-1}$ , înlocuiești $n$ cu $n - 1$ peste tot:
Verifică-te
Cât este $S_{n-1} = (n - 1)^2 - 3(n - 1)$ ?
Acum scazi: $a_n = S_n - S_{n-1}$ . E mai ușor dacă scrii cele două sume una sub alta și scazi termenii de același fel:
$\begin{aligned} S_n &= n^2 - 3n \\ S_{n-1} &= n^2 - 5n + 4 \end{aligned}$
Pătratele se reduc: $n^2 - n^2 = 0$ . Termenii cu $n$ dau $-3n - (-5n) = 2n$ . Termenii liberi dau $0 - 4 = -4$ . Deci:
$a_n = 2n - 4, \quad n \ge 2$
2. Verificăm $n = 1$ , apoi diferența
Primul termen. Dă formula și pe $a_1$ ? Pentru $n = 1$ : $2 \cdot 1 - 4 = -2 = a_1$ ✓. Spre deosebire de a), aici formula se potrivește și pentru primul termen, deci $a_n = 2n - 4$ pentru orice $n \ge 1$ .
De ce contează: în testul de mai jos, pentru $k = 2$ diferența îl folosește pe $a_1$ . Doar pentru că formula dă și $a_1$ putem calcula diferența cu formula pentru orice $k \ge 2$ , inclusiv $k = 2$ .
Diferența dintre doi termeni consecutivi, ca în exemplul rezolvat 3. Pentru $k \ge 2$ avem $a_k = 2k - 4$ și $a_{k-1} = 2(k - 1) - 4 = 2k - 6$ , deci $a_k - a_{k-1}$ este:
$(2k - 4) - (2k - 6) = 2$
Minusul din fața parantezei schimbă semnele: $-(2k - 6) = -2k + 6$ . Apoi $2k - 2k = 0$ și $-4 + 6 = 2$ .
Diferența este $2$ pentru orice $k \ge 2$ , deci șirul este progresie aritmetică, cu rația $r = 2$ :
$-2$ $+2$ $0$ $+2$ $2$ $+2$ $4$
Verificare cu formula sumei din breviar, $S_n = \frac{(a_1 + a_n)\,n}{2}$ :
$S_n = \frac{(-2 + 2n - 4)\,n}{2} = \frac{(2n - 6)\,n}{2}$
$S_n = n(n - 3) = n^2 - 3n$
Am simplificat cu 2: $\frac{2n - 6}{2} = n - 3$ . Am obținut exact formula din enunț ✓

Răspuns

Da. Termenul general este

a_n = 2n - 4

, iar rația este

r = 2

.

c) $S_n = -n^2 + 2n$ , $n \in \mathbb{N}^*$

Metoda de la a):

a_1 = S_1

și

a_n = S_n - S_{n-1}

pentru

n \ge 2

. Atenție la minusul din fața lui

(n - 1)^2

: el se aplică întregului pătrat.

1. Aflăm $a_1$ și $a_n$
Lucrăm cu $S_n = -n^2 + 2n$ (vezi nota de sub enunț) și cu metoda de la a). Primul termen este prima sumă:
$a_1 = S_1 = -1^2 + 2 \cdot 1 = 1$
$-1^2$ înseamnă $-(1^2) = -1$ : pătratul se face înaintea semnului minus.
Pentru $n \ge 2$ , $a_n = S_n - S_{n-1}$ . Înlocuiești $n$ cu $n - 1$ peste tot:
$S_{n-1} = -(n - 1)^2 + 2(n - 1)$
Verifică-te
Cât este $S_{n-1}$ , după ce desfaci parantezele?
Acum scazi, $a_n = S_n - S_{n-1}$ , ca la b): cele două sume una sub alta, apoi termenii de același fel.
$\begin{aligned} S_n &= -n^2 + 2n \\ S_{n-1} &= -n^2 + 4n - 3 \end{aligned}$
Pătratele se reduc: $-n^2 - (-n^2) = 0$ . Termenii cu $n$ dau $2n - 4n = -2n$ . Termenii liberi dau $0 - (-3) = 3$ . Deci:
$a_n = 3 - 2n, \quad n \ge 2$
2. Verificăm $n = 1$ , apoi diferența
Primul termen. Dă formula și pe $a_1$ ? Pentru $n = 1$ : $3 - 2 \cdot 1 = 1 = a_1$ ✓. Ca la b), formula $a_n = 3 - 2n$ e valabilă pentru orice $n \ge 1$ , deci putem calcula diferența cu ea pentru orice $k \ge 2$ , inclusiv pentru $k = 2$ .
Diferența dintre doi termeni consecutivi. Pentru $k \ge 2$ avem $a_k = 3 - 2k$ și $a_{k-1} = 3 - 2(k - 1) = 5 - 2k$ , deci $a_k - a_{k-1}$ este:
$(3 - 2k) - (5 - 2k) = -2$
Minusul din fața parantezei schimbă semnele: $-(5 - 2k) = -5 + 2k$ . Apoi $3 - 5 = -2$ și $-2k + 2k = 0$ .
Diferența este $-2$ pentru orice $k \ge 2$ , deci șirul este progresie aritmetică, cu rația $r = -2$ . Rația e negativă, deci progresia e descrescătoare:
$1$ $+(-2)$ $-1$ $+(-2)$ $-3$ $+(-2)$ $-5$
Verificare cu formula sumei din breviar, $S_n = \frac{(a_1 + a_n)\,n}{2}$ :
$S_n = \frac{(1 + 3 - 2n)\,n}{2} = \frac{(4 - 2n)\,n}{2}$
$S_n = n(2 - n) = -n^2 + 2n$
Am simplificat cu 2: $\frac{4 - 2n}{2} = 2 - n$ . Am obținut formula cu care am lucrat ✓

Răspuns

Da (cu formula citită

S_n = -n^2 + 2n

). Termenul general este

a_n = 3 - 2n

, iar rația este

r = -2

.

d) $S_n = \dfrac{n(3n + 1)}{4}$

Metoda de la a).

S_n

și

S_{n-1}

au același numitor, 4, deci la scădere scazi doar numărătorii.

1. Aflăm $a_1$ și $a_n$ : scădem fracții cu același numitor
Metoda e cea de la a). Primul termen este prima sumă:
$a_1 = S_1 = \frac{1 \cdot (3 + 1)}{4} = 1$
Pentru $n \ge 2$ , ca să scrii $S_{n-1}$ , înlocuiești $n$ cu $n - 1$ peste tot. În paranteză, $3(n - 1) + 1 = 3n - 2$ :
$S_{n-1} = \frac{(n - 1)(3n - 2)}{4}$
Cele două fracții au același numitor, 4, deci la $a_n = S_n - S_{n-1}$ scazi numărătorii. Întâi desfaci produsele:
$n(3n + 1) = 3n^2 + n$
Verifică-te
Cât este $(n - 1)(3n - 2)$ ?
$a_n = \frac{(3n^2 + n) - (3n^2 - 5n + 2)}{4}$
$a_n = \frac{6n - 2}{4} = \frac{3n - 1}{2}$
$3n^2 + n - 3n^2 + 5n - 2 = 6n - 2$ . Apoi simplifici fracția cu 2.
2. Verificăm $n = 1$ , apoi diferența
Primul termen. Dă formula și pe $a_1$ ? Pentru $n = 1$ : $\frac{3 - 1}{2} = 1 = a_1$ ✓. Deci $a_n = \frac{3n - 1}{2}$ pentru orice $n \ge 1$ .
Diferența dintre doi termeni consecutivi. Fracțiile au același numitor, 2:
$a_k - a_{k-1} = \frac{3k - 1}{2} - \frac{3(k - 1) - 1}{2}$
$a_k - a_{k-1} = \frac{3k - 1 - 3k + 4}{2} = \frac32$
$3(k - 1) - 1 = 3k - 4$ , iar minusul din fața fracției îl face $-3k + 4$ .
Diferența este $\frac32$ pentru orice $k \ge 2$ , deci șirul este progresie aritmetică, cu rația $r = \frac32 = 1{,}5$ :
$1$ $+\frac32$ $\frac52$ $+\frac32$ $4$ $+\frac32$ $\frac{11}{2}$
Verificare cu formula sumei din breviar, $S_n = \frac{(a_1 + a_n)\,n}{2}$ . Aici $a_1 + a_n = 1 + \frac{3n - 1}{2} = \frac{3n + 1}{2}$ , deci:
$S_n = \frac{3n + 1}{2} \cdot \frac{n}{2} = \frac{n(3n + 1)}{4}$
Exact formula din enunț ✓
Privire de ansamblu: de ce a) a picat
Dacă $(a_n)$ este progresie aritmetică, a doua formulă a sumei din breviar, $S_n = \frac{[2a_1 + (n - 1)r]\,n}{2}$ , arată că, după ce desfaci parantezele, $S_n$ are forma $A n^2 + B n$ : fiecare termen conține un $n$ , deci nu există termen liber. La a), $S_n = 6n - 1$ are termenul liber $-1$ , așa că nu putea fi suma unei progresii aritmetice. La b), c) și d) nu există termen liber, iar calculul a arătat că sunt progresii. Rația a ieșit de fiecare dată dublul coeficientului lui $n^2$ : $2$ , $-2$ și $\frac32$ .

Răspuns

Da. Termenul general este

a_n = \frac{3n - 1}{2}

, iar rația este

r = \frac32

.

Exercițiul 22 · Este progresie aritmetică? (din suma SnS_nSn​)

a)Sn=6n−1S_n = 6n - 1Sn​=6n−1, n∈N∗n \in \mathbb{N}^*n∈N∗

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: din două sume vecine aflăm un termen ✓

3. Calculăm ana_nan​ pentru n≥2n \ge 2n≥2 ✓

4. Este progresie aritmetică? ✓

5. Verificăm direct din sume ✓

b)Sn=n2−3nS_n = n^2 - 3nSn​=n2−3n, n∈N∗n \in \mathbb{N}^*n∈N∗

1. Aflăm a1a_1a1​ și ana_nan​ ✓

2. Verificăm n=1n = 1n=1, apoi diferența ✓

c)Sn=−n2+2nS_n = -n^2 + 2nSn​=−n2+2n, n∈N∗n \in \mathbb{N}^*n∈N∗

1. Aflăm a1a_1a1​ și ana_nan​ ✓

2. Verificăm n=1n = 1n=1, apoi diferența ✓

d)Sn=n(3n+1)4S_n = \dfrac{n(3n + 1)}{4}Sn​=4n(3n+1)​

1. Aflăm a1a_1a1​ și ana_nan​: scădem fracții cu același numitor ✓

2. Verificăm n=1n = 1n=1, apoi diferența ✓

Exercițiul 22 · Este progresie aritmetică? (din suma $S_n$ )

a) $S_n = 6n - 1$ , $n \in \mathbb{N}^*$

1. Ce ni se cere

2. Ideea: din două sume vecine aflăm un termen

3. Calculăm $a_n$ pentru $n \ge 2$

4. Este progresie aritmetică?

5. Verificăm direct din sume

b) $S_n = n^2 - 3n$ , $n \in \mathbb{N}^*$

1. Aflăm $a_1$ și $a_n$

2. Verificăm $n = 1$ , apoi diferența

c) $S_n = -n^2 + 2n$ , $n \in \mathbb{N}^*$

1. Aflăm $a_1$ și $a_n$

2. Verificăm $n = 1$ , apoi diferența

d) $S_n = \dfrac{n(3n + 1)}{4}$

1. Aflăm $a_1$ și $a_n$ : scădem fracții cu același numitor

2. Verificăm $n = 1$ , apoi diferența