Exercițiul 23 · Primul termen și rația din sume

a) $S_7 = 7$ și $a_3 + a_6 + a_7 = 7$

Scrie

S_7

cu

S_n = \frac{[2a_1 + (n - 1)r] \cdot n}{2}

și

a_3

,

a_6

,

a_7

cu

a_n = a_1 + (n - 1)r

. Obții un sistem în

a_1

și

r

.

1. Ce ni se cere
Nu știi niciun termen al progresiei aritmetice $(a_n)$ . Ai două condiții: suma primilor 7 termeni este $7$ , iar $a_3 + a_6 + a_7 = 7$ .
Trebuie să afli primul termen $a_1$ și rația $r$ . Sunt două necunoscute și două condiții, deci problema se rezolvă ca exemplul rezolvat 6: scrii fiecare condiție prin $a_1$ și $r$ și rezolvi sistemul.
2. Ideea: o ecuație din fiecare condiție
Pentru o sumă $S_n$ breviarul dă o formulă care folosește doar $a_1$ , $r$ și $n$ :
$S_n = \dfrac{[2a_1 + (n - 1)r] \cdot n}{2}$
Pentru $S_7$ : $n = 7$ , deci în paranteză apare $6r$ .
Pentru termeni folosești, ca până acum, $a_k = a_1 + (k - 1)r$ . Prima condiție:
$\begin{aligned} S_7 &= \dfrac{(2a_1 + 6r) \cdot 7}{2} \\ &= 7(a_1 + 3r) = 7 \end{aligned}$
Împarți la 7 și obții prima ecuație, $a_1 + 3r = 1$ .
3. A doua condiție
$\begin{aligned} &(a_1 + 2r) + (a_1 + 5r) \\ &\quad + (a_1 + 6r) = 7 \end{aligned}$
Verifică-te
Strânge termenii: $3a_1 + \square\, r = 7$ . Ce număr intră în pătrățel?
Sistemul este:
$\begin{cases} a_1 + 3r = 1 \\ 3a_1 + 13r = 7 \end{cases}$
4. Rezolvăm prin reducere
Ca să dispară $a_1$ , înmulțești prima ecuație cu $-3$ (toți termenii, inclusiv cel din dreapta) și o aduni la a doua:
$\begin{aligned} -3a_1 - 9r &= -3 \\ 3a_1 + 13r &= 7 \\ \hline 4r &= 4 \end{aligned}$
Deci $r = 1$ . Din prima ecuație, $a_1 = 1 - 3r$ .
Verifică-te
Cât este $a_1 = 1 - 3 \cdot 1$ ?
5. Verificăm în enunț
Cu $a_1 = -2$ și $r = 1$ , progresia este $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, \dots$
$S_7 = -2 - 1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7$ ✓
$a_3 + a_6 + a_7 = 0 + 3 + 4 = 7$ ✓

Răspuns

Primul termen este

a_1 = -2

, iar rația este

r = 1

.

b) $S_3 = -3$ și $S_{10} = 8 \cdot S_5$

Metoda de la a). A doua condiție leagă două sume: scrie

S_{10}

și

S_5

prin

a_1

și

r

, apoi trece totul într-o parte.

1. Prima condiție: $S_3 = -3$
Metoda e cea de la a). Cu $S_n = \frac{[2a_1 + (n - 1)r] \cdot n}{2}$ :
$\begin{aligned} S_3 &= \dfrac{(2a_1 + 2r) \cdot 3}{2} \\ &= 3(a_1 + r) = -3 \end{aligned}$
Împarți la 3 și obții $a_1 + r = -1$ .
2. A doua condiție: $S_{10} = 8 \cdot S_5$
Aici nu ți se dă valoarea unei sume, ci o relație între două sume. Le scrii pe amândouă prin $a_1$ și $r$ și le pui în relație:
$\begin{aligned} S_{10} &= 5(2a_1 + 9r) \\ &= 10a_1 + 45r \\ S_5 &= \tfrac52 (2a_1 + 4r) \\ &= 5a_1 + 10r \end{aligned}$
Verifică-te
Ce ecuație obții din $10a_1 + 45r = 8(5a_1 + 10r)$ , după ce aduci totul în aceeași parte?
3. Sistemul și soluția
$\begin{cases} a_1 + r = -1 \\ 6a_1 + 7r = 0 \end{cases}$
Înmulțești prima ecuație cu $-6$ și o aduni la a doua: $-6a_1 - 6r + 6a_1 + 7r = 6 + 0$ , adică $r = 6$ . Apoi $a_1 = -1 - r = -7$ .
Verificare: progresia $-7, -1, 5, 11, 17, \dots$ are $S_3 = -7 - 1 + 5 = -3$ ✓. Suma primilor 5 termeni este $-7 - 1 + 5 + 11 + 17 = 25$ , iar $S_{10} = 10 \cdot (-7) + 45 \cdot 6 = 200 = 8 \cdot 25$ ✓

Răspuns

Primul termen este

a_1 = -7

, iar rația este

r = 6

.

c) $S_{10} = 140$ și $a_2 \cdot a_9 = 147$

Din

S_{10}

obții o ecuație liniară în

a_1

și

r

. Exprimă

a_1

din ea, înlocuiește în produsul

a_2 \cdot a_9

și rezolvă ecuația în

r

.

1. Prima condiție este liniară
Metoda e cea din exemplul rezolvat 6, dar aici a doua condiție este un produs, nu o sumă, așa că sistemul nu mai e liniar. Începi cu prima condiție:
$\begin{aligned} S_{10} &= \dfrac{(2a_1 + 9r) \cdot 10}{2} \\ &= 5(2a_1 + 9r) = 140 \end{aligned}$
Împarți la 5: $2a_1 + 9r = 28$ . De aici îl exprimi pe $a_1$ în funcție de $r$ , ca în gimnaziu, la metoda substituției:
$a_1 = \dfrac{28 - 9r}{2}$
2. Înlocuim în produs
A doua condiție folosește $a_2 = a_1 + r$ și $a_9 = a_1 + 8r$ . Cu $a_1 = \frac{28 - 9r}{2}$ ai:
$a_2 = \dfrac{28 - 9r}{2} + r = \dfrac{28 - 7r}{2}$
Verifică-te
Cât este $a_9 = \dfrac{28 - 9r}{2} + 8r$ ?
Produsul celor doi termeni este o diferență de pătrate (din gimnaziu), $(28 - 7r)(28 + 7r) = 28^2 - (7r)^2$ :
$\dfrac{784 - 49r^2}{4} = 147$
3. Rezolvăm în $r$ și aflăm $a_1$
Înmulțești cu 4: $784 - 49r^2 = 588$ , deci $49r^2 = 196$ și $r^2 = 4$ . Un pătrat egal cu 4 are două soluții, $r = 2$ sau $r = -2$ . Niciuna nu se respinge, pentru că enunțul nu spune că termenii sunt pozitivi.
Pentru fiecare $r$ îl afli pe $a_1$ din $a_1 = \frac{28 - 9r}{2}$ . Pentru $r = 2$ : $a_1 = \frac{28 - 18}{2} = 5$ .
Verifică-te
Cât este $a_1$ pentru $r = -2$ ?
4. Verificăm ambele soluții
$a_1 = 5$ , $r = 2$ : $a_2 = 7$ , $a_9 = 5 + 16 = 21$ , produsul $7 \cdot 21 = 147$ ✓. $S_{10} = 10 \cdot 5 + 45 \cdot 2 = 140$ ✓
$a_1 = 23$ , $r = -2$ : $a_2 = 21$ , $a_9 = 23 - 16 = 7$ , produsul $21 \cdot 7 = 147$ ✓. $S_{10} = 230 - 90 = 140$ ✓
Ambele progresii verifică enunțul. A doua progresie are aceiași zece termeni, în ordine inversă.

Răspuns

Sunt două soluții:

a_1 = 5

și

r = 2

, sau

a_1 = 23

și

r = -2

.

d) $S_{10} = 155$ și $S_{12} = 222$

Scrie ambele sume cu

S_n = \frac{[2a_1 + (n - 1)r] \cdot n}{2}

, simplifică și scade ecuațiile.

1. Sistemul din cele două sume
Metoda e cea de la a). $S_{10} = 5(2a_1 + 9r) = 155$ , deci $2a_1 + 9r = 31$ . $S_{12} = 6(2a_1 + 11r) = 222$ , deci $2a_1 + 11r = 37$ .
Verifică-te
De ce împarți la 6 ecuația $6(2a_1 + 11r) = 222$ ?
$\begin{cases} 2a_1 + 9r = 31 \\ 2a_1 + 11r = 37 \end{cases}$
2. Reducem și verificăm
Coeficienții lui $a_1$ sunt egali, deci scazi prima ecuație din a doua: $2r = 6$ și $r = 3$ . Din prima ecuație, $2a_1 = 31 - 27 = 4$ , deci $a_1 = 2$ .
Verificare: $S_{10} = 10 \cdot 2 + 45 \cdot 3 = 155$ ✓ și $S_{12} = 12 \cdot 2 + 66 \cdot 3 = 24 + 198 = 222$ ✓

Răspuns

Primul termen este

a_1 = 2

, iar rația este

r = 3

.

e) $S_7 = 10$ și $S_{14} = 44$

Dezvoltă

S_7

și

S_{14}

ca sume de forma

\text{ceva} \cdot a_1 + \text{ceva} \cdot r

. Ca să dispară

a_1

, înmulțește o ecuație cu un număr potrivit.

1. Sistemul din cele două sume
Metoda e cea de la d), dar rezultatele vor fi fracții. Scrii sumele fără să le simplifici:
$\begin{aligned} S_7 &= \tfrac72(2a_1 + 6r) \\ &= 7a_1 + 21r \\ S_{14} &= 7(2a_1 + 13r) \\ &= 14a_1 + 91r \end{aligned}$
Verifică-te
Cu ce număr înmulțești prima ecuație, $7a_1 + 21r = 10$ , ca $a_1$ să dispară la adunarea cu a doua?
2. Rezolvăm și verificăm
$\begin{aligned} -14a_1 - 42r &= -20 \\ 14a_1 + 91r &= 44 \\ \hline 49r &= 24 \end{aligned}$
Deci $r = \frac{24}{49}$ . Din $7a_1 + 21r = 10$ :
$\begin{aligned} 7a_1 &= 10 - \dfrac{504}{49} \\ &= \dfrac{490 - 504}{49} = -\dfrac{14}{49} \end{aligned}$
Împarți la 7: $a_1 = -\frac{2}{49}$ .
Verificare: $S_7 = 7a_1 + 21r = -\frac{14}{49} + \frac{504}{49} = \frac{490}{49} = 10$ ✓ și $S_{14} = 14a_1 + 91r = -\frac{28}{49} + \frac{2184}{49} = \frac{2156}{49} = 44$ ✓

Răspuns

Primul termen este

a_1 = -\frac{2}{49}

, iar rația este

r = \frac{24}{49}

.

f) $S_2 - S_4 + a_4 = 10$ și $a_5 - S_5 = 10$

Scrie

S_2

,

S_4

,

S_5

,

a_4

,

a_5

prin

a_1

și

r

. În fiecare condiție mulți termeni se reduc.

1. Fiecare mărime prin $a_1$ și $r$
Aici apar și sume, și termeni. Scrii toate cu $a_1$ și $r$ :
$\begin{aligned} S_2 &= 2a_1 + r \\ S_4 &= 4a_1 + 6r \\ a_4 &= a_1 + 3r \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $S_2 - S_4 + a_4$ după reducerea termenilor asemenea?
2. A doua condiție și sistemul
Cu $a_5 = a_1 + 4r$ și $S_5 = 5a_1 + 10r$ :
$\begin{aligned} a_5 - S_5 &= (a_1 + 4r) \\ &\quad - (5a_1 + 10r) \\ &= -4a_1 - 6r \end{aligned}$
Condiția spune că această diferență este $10$ , deci $-4a_1 - 6r = 10$ .
Împarți la $-1$ prima ecuație și la $-2$ pe a doua, ca să scapi de minusuri:
$\begin{cases} a_1 + 2r = -10 \\ 2a_1 + 3r = -5 \end{cases}$
Înmulțești prima ecuație cu $-2$ și o aduni la a doua: $-2a_1 - 4r + 2a_1 + 3r = 20 - 5$ , adică $-r = 15$ și $r = -15$ . Din prima, $a_1 = -10 - 2r = -10 + 30 = 20$ .
3. Verificăm în enunț
Progresia este $20, 5, -10, -25, -40, \dots$ Atunci $S_2 = 25$ , $S_4 = -10$ , $a_4 = -25$ , deci $S_2 - S_4 + a_4 = 25 + 10 - 25 = 10$ ✓.
$S_5 = -50$ și $a_5 = -40$ , deci $a_5 - S_5 = -40 + 50 = 10$ ✓

Răspuns

Primul termen este

a_1 = 20

, iar rația este

r = -15

.

Exercițiul 23 · Primul termen și rația din sume

a)S7=7S_7 = 7S7​=7 și a3+a6+a7=7a_3 + a_6 + a_7 = 7a3​+a6​+a7​=7

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: o ecuație din fiecare condiție ✓

3. A doua condiție ✓

4. Rezolvăm prin reducere ✓

5. Verificăm în enunț ✓

b)S3=−3S_3 = -3S3​=−3 și S10=8⋅S5S_{10} = 8 \cdot S_5S10​=8⋅S5​

1. Prima condiție: S3=−3S_3 = -3S3​=−3 ✓

2. A doua condiție: S10=8⋅S5S_{10} = 8 \cdot S_5S10​=8⋅S5​ ✓

3. Sistemul și soluția ✓

c)S10=140S_{10} = 140S10​=140 și a2⋅a9=147a_2 \cdot a_9 = 147a2​⋅a9​=147

1. Prima condiție este liniară ✓

2. Înlocuim în produs ✓

3. Rezolvăm în rrr și aflăm a1a_1a1​ ✓

4. Verificăm ambele soluții ✓

d)S10=155S_{10} = 155S10​=155 și S12=222S_{12} = 222S12​=222

1. Sistemul din cele două sume ✓

2. Reducem și verificăm ✓

e)S7=10S_7 = 10S7​=10 și S14=44S_{14} = 44S14​=44

1. Sistemul din cele două sume ✓

2. Rezolvăm și verificăm ✓

f)S2−S4+a4=10S_2 - S_4 + a_4 = 10S2​−S4​+a4​=10 și a5−S5=10a_5 - S_5 = 10a5​−S5​=10

1. Fiecare mărime prin a1a_1a1​ și rrr ✓

2. A doua condiție și sistemul ✓

3. Verificăm în enunț ✓

a) $S_7 = 7$ și $a_3 + a_6 + a_7 = 7$

1. Ce ni se cere

2. Ideea: o ecuație din fiecare condiție

3. A doua condiție

4. Rezolvăm prin reducere

5. Verificăm în enunț

b) $S_3 = -3$ și $S_{10} = 8 \cdot S_5$

1. Prima condiție: $S_3 = -3$

2. A doua condiție: $S_{10} = 8 \cdot S_5$

3. Sistemul și soluția

c) $S_{10} = 140$ și $a_2 \cdot a_9 = 147$

1. Prima condiție este liniară

2. Înlocuim în produs

3. Rezolvăm în $r$ și aflăm $a_1$

4. Verificăm ambele soluții

d) $S_{10} = 155$ și $S_{12} = 222$

1. Sistemul din cele două sume

2. Reducem și verificăm

e) $S_7 = 10$ și $S_{14} = 44$

1. Sistemul din cele două sume

2. Rezolvăm și verificăm

f) $S_2 - S_4 + a_4 = 10$ și $a_5 - S_5 = 10$

1. Fiecare mărime prin $a_1$ și $r$

2. A doua condiție și sistemul

3. Verificăm în enunț