Exercițiul 26 · Suma unei progresii aritmetice cu ultimul termen dat

a) $1 + 3 + 5 + \dots + 121$

Formula sumei are nevoie de numărul de termeni. Îl afli din ultimul termen:

a_n = a_1 + (n - 1)r = 121

.

1. Ce ni se cere
Termenii $1, 3, 5, \dots$ cresc mereu cu 2, deci sunt termenii unei progresii aritmetice cu $a_1 = 1$ și $r = 3 - 1 = 2$ . Suma se oprește la $121$ , care este ultimul termen al progresiei.
Ai putea aduna termenii unul câte unul, dar nu știi încă câți sunt, și probabil sunt foarte mulți. Folosim formula sumei din breviar.
2. Ideea: întâi numărul de termeni
La exemplul rezolvat 5 din culegere ai calculat suma cu formula
$S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$
Acolo știai $n$ . Aici ți se dă ultimul termen, $a_n = 121$ , dar nu și $n$ . Așa că procedăm în doi pași, ca în culegere: afli $n$ din formula termenului general $a_n = a_1 + (n - 1)r$ , apoi calculezi suma.
Atenție: formula sumei are nevoie de $n$ , adică de numărul termenilor, nu de ultimul termen.
3. Aflăm numărul de termeni
Punem condiția ca termenul de pe locul $n$ să fie $121$ :
$1 + (n - 1) \cdot 2 = 121$
Scazi 1 din fiecare parte: $(n - 1) \cdot 2 = 120$ , deci $n - 1 = 60$ .
Verifică-te
Câți termeni are suma?
4. Calculăm suma
Înlocuiești $a_1 = 1$ , $a_n = 121$ și $n = 61$ în formula sumei:
$\begin{aligned} S_{61} &= \dfrac{(1 + 121) \cdot 61}{2} \\ &= \dfrac{122 \cdot 61}{2} = 61 \cdot 61 \end{aligned}$
Am simplificat $\frac{122}{2} = 61$ înainte de a înmulți.
Verifică-te
Cât este $61 \cdot 61$ ?
5. Verificăm
Perechile de termeni egal depărtați de capete au aceeași sumă: $1 + 121 = 122$ , $3 + 119 = 122$ , $5 + 117 = 122$ și tot așa. Sunt $61$ de termeni, deci $30$ de perechi, iar termenul din mijloc, $61$ , rămâne singur: $30 \cdot 122 + 61 = 3660 + 61 = 3721$ ✓
Mai este și o proprietate cunoscută: suma primelor $n$ numere impare este $n^2$ . Aici $n = 61$ și $61^2 = 3721$ ✓

Răspuns

Rația este

2

, suma are

61

de termeni, iar

1 + 3 + 5 + \dots + 121 = 3721

.

b) $2 + 5 + 8 + \dots + 92$

Ca la a): rația din primii doi termeni, numărul de termeni din

a_n = 92

, apoi

S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

.

1. Rația și numărul de termeni
Metoda e cea de la a). Aici $a_1 = 2$ și $r = 5 - 2 = 3$ (iar $8 - 5 = 3$ ✓). Ultimul termen este $92$ , deci locul lui $n$ se află din:
$2 + (n - 1) \cdot 3 = 92$
Verifică-te
Câți termeni are suma?
2. Calculăm suma
Cu $a_1 = 2$ , $a_{31} = 92$ și $n = 31$ :
$S_{31} = \dfrac{(2 + 92) \cdot 31}{2} = 47 \cdot 31$
Verifică-te
Cât este $47 \cdot 31$ ?

Răspuns

Rația este

3

, suma are

31

de termeni, iar

2 + 5 + 8 + \dots + 92 = 1457

.

c) $1 + 7 + 13 + \dots + 151$

Rația este

7 - 1 = 6

. Apoi

1 + (n - 1) \cdot 6 = 151

îți dă numărul de termeni.

1. Rația și numărul de termeni
Același drum ca la a) și b). Aici $a_1 = 1$ și $r = 7 - 1 = 6$ (iar $13 - 7 = 6$ ✓). Rația e mai mare, deci termenii cresc repede și vor fi mai puțini. Condiția pentru ultimul termen:
$1 + (n - 1) \cdot 6 = 151$
Verifică-te
Câți termeni are suma?
2. Calculăm suma
$\begin{aligned} S_{26} &= \dfrac{(1 + 151) \cdot 26}{2} \\ &= 152 \cdot 13 \end{aligned}$
Simplifici $\frac{26}{2} = 13$ înainte de a înmulți: numerele rămân mici.
Verifică-te
Cât este $152 \cdot 13$ ?

Răspuns

Rația este

6

, suma are

26

de termeni, iar

1 + 7 + 13 + \dots + 151 = 1976

.

d) $5 + 30 + 55 + \dots + 480$

Rația este

30 - 5 = 25

. Scazi

a_1 = 5

din

480

înainte să împarți la rație.

1. Rația și numărul de termeni
Aceeași metodă. Aici $a_1 = 5$ și $r = 30 - 5 = 25$ (iar $55 - 30 = 25$ ✓). Numerele sunt mai mari, dar pașii rămân aceiași. Locul ultimului termen:
$5 + (n - 1) \cdot 25 = 480$
Verifică-te
Câți termeni are suma?
2. Calculăm suma
$\begin{aligned} S_{20} &= \dfrac{(5 + 480) \cdot 20}{2} \\ &= 485 \cdot 10 \end{aligned}$
Aici simplifici $\frac{20}{2} = 10$ .
Verifică-te
Cât este $485 \cdot 10$ ?

Răspuns

Rația este

25

, suma are

20

de termeni, iar

5 + 30 + 55 + \dots + 480 = 4850

.

e) $(x + 1) + (x + 4) + \dots + (x + 91)$

Termenii sunt

x + 1

,

x + 4

,

x + 7

, … Rația se vede din diferența a doi termeni vecini:

x

dispare. Folosește aceleași formule ca la a)–d).

1. Rația și numărul de termeni: $x$ dispare
Metoda e aceeași, dar termenii conțin o literă. Primul termen este $a_1 = x + 1$ , iar al doilea $a_2 = x + 4$ . Rația este diferența lor:
$r = (x + 4) - (x + 1) = 3$
Minusul din fața parantezei schimbă semnele: $x + 4 - x - 1$ . Pe $x$ se reduc, rămâne $4 - 1 = 3$ .
Rația este un număr, nu depinde de $x$ , deci termenii formează o progresie aritmetică oricare ar fi $x$ . Același lucru se întâmplă și când afli numărul de termeni din ultimul termen, $a_n = x + 91$ :
$\begin{aligned} &(x + 1) + (n - 1) \cdot 3 \\ &= x + 91 \end{aligned}$
Verifică-te
Câți termeni are suma?
2. Calculăm suma
Aplici $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ cu $a_1 = x + 1$ , $a_{31} = x + 91$ și $n = 31$ . Mai întâi suma primului și a ultimului termen:
$\begin{aligned} &a_1 + a_{31} \\ &= (x + 1) + (x + 91) \\ &= 2x + 92 \end{aligned}$
$S_{31} = \dfrac{(2x + 92) \cdot 31}{2}$
Verifică-te
Cât este $\dfrac{2x + 92}{2}$ ?
$\begin{aligned} S_{31} &= 31(x + 46) \\ &= 31x + 1426 \end{aligned}$
Aici $31 \cdot 46 = 1240 + 186 = 1426$ . Litera $x$ apare de $31$ de ori, câte una din fiecare termen al sumei ✓

Răspuns

Rația este

3

, suma are

31

de termeni, iar valoarea ei este

31x + 1426

.

Exercițiul 26 · Suma unei progresii aritmetice cu ultimul termen dat

a)1+3+5+⋯+1211 + 3 + 5 + \dots + 1211+3+5+⋯+121

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: întâi numărul de termeni ✓

3. Aflăm numărul de termeni ✓

4. Calculăm suma ✓

5. Verificăm ✓

b)2+5+8+⋯+922 + 5 + 8 + \dots + 922+5+8+⋯+92

1. Rația și numărul de termeni ✓

2. Calculăm suma ✓

c)1+7+13+⋯+1511 + 7 + 13 + \dots + 1511+7+13+⋯+151

1. Rația și numărul de termeni ✓

2. Calculăm suma ✓

d)5+30+55+⋯+4805 + 30 + 55 + \dots + 4805+30+55+⋯+480

1. Rația și numărul de termeni ✓

2. Calculăm suma ✓

e)(x+1)+(x+4)+⋯+(x+91)(x + 1) + (x + 4) + \dots + (x + 91)(x+1)+(x+4)+⋯+(x+91)

1. Rația și numărul de termeni: xxx dispare ✓

2. Calculăm suma ✓

a) $1 + 3 + 5 + \dots + 121$

1. Ce ni se cere

2. Ideea: întâi numărul de termeni

3. Aflăm numărul de termeni

4. Calculăm suma

5. Verificăm

b) $2 + 5 + 8 + \dots + 92$

1. Rația și numărul de termeni

2. Calculăm suma

c) $1 + 7 + 13 + \dots + 151$

1. Rația și numărul de termeni

2. Calculăm suma

d) $5 + 30 + 55 + \dots + 480$

1. Rația și numărul de termeni

2. Calculăm suma

e) $(x + 1) + (x + 4) + \dots + (x + 91)$

1. Rația și numărul de termeni: $x$ dispare

2. Calculăm suma