Exercițiul 27 · Aflăm x dintr-o sumă de progresie aritmetică

a) $1 + 5 + 9 + \dots + x = 861$

Ultimul termen este

x = a_n = 1 + (n - 1) \cdot 4

. Pune-l în formula sumei și obții o ecuație în

n

, nu în

x

.

1. Ce ni se cere
Termenii $1, 5, 9, \dots$ cresc cu $5 - 1 = 4$ , deci formează o progresie aritmetică cu $a_1 = 1$ și $r = 4$ . Suma lor se oprește la ultimul termen, $x$ , necunoscut, și face $861$ .
La exercițiul 26 ai știut ultimul termen și ai aflat suma. Acum e invers: știi suma și vrei ultimul termen. Dar nici numărul de termeni $n$ nu e dat, așa că avem două necunoscute, $n$ și $x$ .
2. Ideea: scriem suma în funcție de $n$
Ultimul termen este $a_n = x$ , iar $a_n$ se exprimă prin $n$ cu formula termenului general. Așa vom avea o singură necunoscută, $n$ :
$x = a_n = 1 + (n - 1) \cdot 4$
Verifică-te
Cât este $a_n$ , după ce desfaci paranteza?
Pui acest $a_n$ în formula sumei, $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ :
$\begin{aligned} S_n &= \dfrac{(1 + 4n - 3) \cdot n}{2} \\ &= \dfrac{(4n - 2) \cdot n}{2} \\ &= (2n - 1) \cdot n \end{aligned}$
Am împărțit $4n - 2$ la $2$ : iese $2n - 1$ .
3. Rezolvăm ecuația în $n$
Suma este $861$ , deci $n(2n - 1) = 861$ . Desfaci și aduci totul într-o parte:
$2n^2 - n - 861 = 0$
Este o ecuație de gradul al doilea, cu $a = 2$ , $b = -1$ , $c = -861$ . Discriminantul:
$\begin{aligned} \Delta &= (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-861) \\ &= 1 + 6888 \\ &= 6889 = 83^2 \end{aligned}$
Scazi un număr negativ, deci aduni: $-4 \cdot 2 \cdot (-861) = +6888$ . Poți verifica $83^2 = 6889$ .
$n = \dfrac{1 \pm 83}{4}$
Cu plus: $n = \frac{84}{4} = 21$ . Cu minus: $n = \frac{-82}{4} = -\frac{41}{2}$ .
Verifică-te
De ce păstrăm doar rădăcina $21$ și o aruncăm pe cealaltă?
4. Aflăm $x$ și verificăm
$x$ este termenul de pe locul $21$ :
$x = a_{21} = 4 \cdot 21 - 3 = 81$
Verificare cu formula sumei: $S_{21} = \frac{(1 + 81) \cdot 21}{2} = 41 \cdot 21 = 861$ ✓. Se potrivește cu egalitatea din enunț.

Răspuns

Suma are

21

de termeni, iar

x = 81

.

b) $5 + 8 + 11 + \dots + x = 670$

Ca la a):

a_1 = 5

,

r = 3

, ultimul termen

x = a_n = 5 + (n - 1) \cdot 3

. Scrie suma prin

n

și rezolvă ecuația în

n

.

1. Suma în funcție de $n$
Metoda de la a). Aici $a_1 = 5$ și $r = 8 - 5 = 3$ . Ultimul termen este $x = a_n$ :
$a_n = 5 + (n - 1) \cdot 3 = 3n + 2$
Formula sumei dă:
$S_n = \dfrac{(5 + 3n + 2) \cdot n}{2} = \dfrac{(3n + 7) \cdot n}{2}$
Egalăm cu $670$ și înmulțești cu $2$ ca să scapi de numitor: $(3n + 7) \cdot n = 1340$ .
Verifică-te
Ce ecuație obții aducând totul într-o parte?
2. Rezolvăm în $n$ și aflăm $x$
Discriminantul pentru $a = 3$ , $b = 7$ , $c = -1340$ :
$\begin{aligned} \Delta &= 49 + 4 \cdot 3 \cdot 1340 \\ &= 49 + 16080 \\ &= 16129 = 127^2 \end{aligned}$
$n = \dfrac{-7 \pm 127}{6}$
Cu plus: $n = \frac{120}{6} = 20$ . Cu minus: $n = \frac{-134}{6} = -\frac{67}{3}$ , care nu e număr natural, deci se respinge, ca la a).
Verifică-te
Cât este $x$ , termenul de pe locul $n = 20$ ?

Răspuns

Suma are

20

de termeni, iar

x = 62

.

c) $(2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) + \dots + (2x + 191) = 96 \cdot 106$

Rația este

(2x + 3) - (2x + 1) = 2

, iar

x

se reduce. Afli

n

din ultimul termen, apoi scrii suma prin

x

și rezolvi ecuația de gradul întâi.

1. Rația și numărul de termeni: $x$ dispare
Lucrăm cu al treilea termen $2x + 5$ (vezi nota de sub enunț). Primul termen este $a_1 = 2x + 1$ , iar rația $r = (2x + 3) - (2x + 1) = 2$ : $x$ se reduce, ca la 26e.
Ultimul termen este $a_n = 2x + 191$ . Condiția pentru $n$ :
$\begin{aligned} &(2x + 1) + (n - 1) \cdot 2 \\ &= 2x + 191 \end{aligned}$
Verifică-te
Câți termeni are suma?
2. Ecuația în $x$
Acum necunoscuta este $x$ . Cu $a_1 = 2x + 1$ și $a_{96} = 2x + 191$ , suma lor este:
$a_1 + a_{96} = 4x + 192$
$2x + 2x = 4x$ și $1 + 191 = 192$ .
$\begin{aligned} S_{96} &= \dfrac{(4x + 192) \cdot 96}{2} \\ &= (4x + 192) \cdot 48 \end{aligned}$
Am simplificat $\frac{96}{2} = 48$ .
Egalitatea din enunț devine $(4x + 192) \cdot 48 = 96 \cdot 106$ . Observă că $96 = 2 \cdot 48$ , deci împarți ambii membri la $48$ :
$4x + 192 = 2 \cdot 106 = 212$
Verifică-te
Cât este $x$ ?

Răspuns

Suma are

96

de termeni, iar

x = 5

.

d) $(3x - 1) + (3x - 4) + (3x - 7) + \dots + (3x - 298) = 50$

Rația este

(3x - 4) - (3x - 1) = -3

, negativă. Afli

n

din ultimul termen, apoi suma prin

x

.

1. Rația negativă și numărul de termeni
Metoda de la c). Rația este $r = (3x - 4) - (3x - 1) = -3$ . Termenii scad cu $3$ la fiecare pas, iar $x$ se reduce. Ultimul termen este $3x - 298$ :
$\begin{aligned} &(3x - 1) + (n - 1) \cdot (-3) \\ &= 3x - 298 \end{aligned}$
Verifică-te
Câți termeni are suma?
2. Ecuația în $x$
Primul și ultimul termen dau $a_1 + a_{100} = (3x - 1) + (3x - 298) = 6x - 299$ (adunăm $3x + 3x$ și $-1 - 298$ ). Atunci:
$\begin{aligned} S_{100} &= \dfrac{(6x - 299) \cdot 100}{2} \\ &= (6x - 299) \cdot 50 \end{aligned}$
Am simplificat $\frac{100}{2} = 50$ .
Egalitatea din enunț: $(6x - 299) \cdot 50 = 50$ . Împarți ambii membri la $50$ :
$6x - 299 = 1$
Verifică-te
Cât este $x$ ?

Răspuns

Suma are

100

de termeni, iar

x = 50

.

Exercițiul 27 · Aflăm xxx dintr-o sumă de progresie aritmetică

a)1+5+9+⋯+x=8611 + 5 + 9 + \dots + x = 8611+5+9+⋯+x=861

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: scriem suma în funcție de nnn ✓

3. Rezolvăm ecuația în nnn ✓

4. Aflăm xxx și verificăm ✓

b)5+8+11+⋯+x=6705 + 8 + 11 + \dots + x = 6705+8+11+⋯+x=670

1. Suma în funcție de nnn ✓

2. Rezolvăm în nnn și aflăm xxx ✓

c)(2x+1)+(2x+3)+(2x+5)+⋯+(2x+191)=96⋅106(2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) + \dots + (2x + 191) = 96 \cdot 106(2x+1)+(2x+3)+(2x+5)+⋯+(2x+191)=96⋅106

1. Rația și numărul de termeni: xxx dispare ✓

2. Ecuația în xxx ✓

d)(3x−1)+(3x−4)+(3x−7)+⋯+(3x−298)=50(3x - 1) + (3x - 4) + (3x - 7) + \dots + (3x - 298) = 50(3x−1)+(3x−4)+(3x−7)+⋯+(3x−298)=50

1. Rația negativă și numărul de termeni ✓

2. Ecuația în xxx ✓

Exercițiul 27 · Aflăm $x$ dintr-o sumă de progresie aritmetică

a) $1 + 5 + 9 + \dots + x = 861$

1. Ce ni se cere

2. Ideea: scriem suma în funcție de $n$

3. Rezolvăm ecuația în $n$

4. Aflăm $x$ și verificăm

b) $5 + 8 + 11 + \dots + x = 670$

1. Suma în funcție de $n$

2. Rezolvăm în $n$ și aflăm $x$

c) $(2x + 1) + (2x + 3) + (2x + 5) + \dots + (2x + 191) = 96 \cdot 106$

1. Rația și numărul de termeni: $x$ dispare

2. Ecuația în $x$

d) $(3x - 1) + (3x - 4) + (3x - 7) + \dots + (3x - 298) = 50$

1. Rația negativă și numărul de termeni

2. Ecuația în $x$