Exercițiul 28 · Demonstrăm că trei numere sunt în progresie aritmetică

a) $\sqrt5 - \sqrt3$ , $\sqrt5$ , $\sqrt5 + \sqrt3$

Trei numere

a

,

b

,

c

sunt în progresie aritmetică dacă

2b = a + c

. Calculează

a + c

și compară cu

2b

.

1. Ce ni se cere
Trebuie să arăți că numerele $a = \sqrt5 - \sqrt3$ , $b = \sqrt5$ și $c = \sqrt5 + \sqrt3$ sunt trei termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice, în această ordine. Nu ți se dă nicio progresie: tu trebuie să arăți că există una care le conține.
Ordinea contează. Numerele $\sqrt5$ , $\sqrt5 - \sqrt3$ , $\sqrt5 + \sqrt3$ , în alt ordine, nu ar fi în progresie.
2. Ideea: termenul din mijloc este media vecinilor
Ca la exemplul rezolvat 4 din culegere, folosești proprietatea din breviar: într-o progresie aritmetică, fiecare termen este media aritmetică a vecinilor lui. Pentru trei numere $a$ , $b$ , $c$ :
$\begin{aligned} b &= \dfrac{a + c}{2} \\ \iff 2b &= a + c \end{aligned}$
Echivalent cu $b - a = c - b$ : sărind de la $a$ la $b$ și de la $b$ la $c$ adaugi aceeași rație.
Deci nu e nevoie să afli rația dinainte. Calculezi suma extremelor, $a + c$ , și arăți că este dublul termenului din mijloc.
3. Calculăm suma extremelor
Scrii suma, apoi desfaci parantezele. Termenii cu $\sqrt3$ au semne opuse:
$\begin{aligned} a + c &= (\sqrt5 - \sqrt3) \\ &\quad + (\sqrt5 + \sqrt3) \\ &= \sqrt5 - \sqrt3 + \sqrt5 + \sqrt3 \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $a + c$ , după ce reduci termenii?
Dublul termenului din mijloc este $2b = 2\sqrt5$ . Cele două sunt egale, deci $a + c = 2b$ ✓
4. Verificăm cu diferențele
Din $a + c = 2b$ rezultă că numerele sunt în progresie aritmetică. Rația se vede din primele două:
$r = b - a = \sqrt5 - (\sqrt5 - \sqrt3)$
Verifică-te
Cât este $r$ ?
Cele trei numere cresc cu $\sqrt3$ la fiecare pas: $\sqrt5 - \sqrt3$ , apoi $\sqrt5$ , apoi $\sqrt5 + \sqrt3$ . Deci sunt în progresie aritmetică, cu rația $r = \sqrt3$ .

Răspuns

Suma extremelor este

2\sqrt5

, dublul termenului din mijloc,

\sqrt5

. Deci numerele sunt în progresie aritmetică, cu rația

\sqrt3

.

b) $\sqrt{3 - 2\sqrt2}$ , $\sqrt2$ , $\sqrt{3 + 2\sqrt2}$

Metoda de la a): arăți că

a + c = 2b

. Dar mai întâi scapi de radicalii dubli: caută un pătrat perfect,

3 - 2\sqrt2 = (\sqrt2 - 1)^2

.

1. Scăpăm de radicalii dubli
Metoda e cea de la a): arăți că $a + c = 2b$ . Aici însă termenii extremi au radical în radical, iar așa nu se pot aduna. Ai nevoie de o tehnică din gimnaziu: scrii numărul de sub radical ca pătrat al unei diferențe sau sume.
Formula este $(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$ . Vrem $3 - 2\sqrt2$ . Observă că $2\sqrt2 = 2 \cdot \sqrt2 \cdot 1$ , deci încercăm $p = \sqrt2$ și $q = 1$ :
$\begin{aligned} (\sqrt2 - 1)^2 &= 2 - 2\sqrt2 + 1 \\ &= 3 - 2\sqrt2 \end{aligned}$
Funcționează: $p^2 + q^2 = 2 + 1 = 3$ , iar mijlocul $2pq = 2\sqrt2$ .
Deci $\sqrt{3 - 2\sqrt2} = \sqrt{(\sqrt2 - 1)^2}$ . Rădăcina pătrată a unui pătrat este numărul însuși dacă el este pozitiv.
Verifică-te
De ce $\sqrt{(\sqrt2 - 1)^2} = \sqrt2 - 1$ , și nu $1 - \sqrt2$ ?
Analog, $(\sqrt2 + 1)^2 = 2 + 2\sqrt2 + 1 = 3 + 2\sqrt2$ , iar $\sqrt2 + 1 > 0$ . Deci:
$\begin{aligned} \sqrt{3 - 2\sqrt2} &= \sqrt2 - 1 \\ \sqrt{3 + 2\sqrt2} &= \sqrt2 + 1 \end{aligned}$
2. Suma extremelor
Numerele sunt acum $\sqrt2 - 1$ , $\sqrt2$ , $\sqrt2 + 1$ . Suma extremelor:
$\begin{aligned} a + c &= (\sqrt2 - 1) + (\sqrt2 + 1) \\ &= 2\sqrt2 = 2b \end{aligned}$
Cei doi $1$ au semne opuse și se reduc, ca $\sqrt3$ la a).
Deci $a + c = 2b$ și numerele sunt în progresie aritmetică. Rația este $b - a = \sqrt2 - (\sqrt2 - 1) = 1$ : numerele $\sqrt2 - 1$ , $\sqrt2$ , $\sqrt2 + 1$ cresc cu $1$ .

Răspuns

Cum

\sqrt{3 - 2\sqrt2} = \sqrt2 - 1

și

\sqrt{3 + 2\sqrt2} = \sqrt2 + 1

, suma extremelor este

2\sqrt2 = 2 \cdot \sqrt2

. Numerele sunt în progresie aritmetică, cu rația

1

.

c) $\dfrac{2}{x+1}$ , $\dfrac{x+1}{2x}$ , $\dfrac{x^2+1}{x(x+1)}$ , $x \in \mathbb{R}^* \setminus \{-1\}$

Metoda de la a): arăți că

a + c = 2b

. Adună primul și al treilea număr aducându-le la numitorul comun

x(x+1)

.

1. Adunăm fracțiile extreme
Metoda e aceeași: $a + c = 2b$ . Condiția $x \in \mathbb{R}^* \setminus \{-1\}$ înseamnă $x \ne 0$ și $x \ne -1$ : exact valorile pentru care ar apărea un numitor nul ( $2x$ , $x + 1$ sau $x(x+1)$ ).
Pentru a aduna $\frac{2}{x+1}$ cu $\frac{x^2+1}{x(x+1)}$ ai nevoie de numitor comun, adică $x(x+1)$ . A doua fracție îl are deja.
Verifică-te
Cu ce amplifici $\frac{2}{x+1}$ ca să ajungă la numitorul $x(x+1)$ ?
$\begin{aligned} a + c &= \dfrac{2x}{x(x+1)} + \dfrac{x^2+1}{x(x+1)} \\ &= \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x(x+1)} \\ &= \dfrac{(x+1)^2}{x(x+1)} \\ &= \dfrac{x+1}{x} \end{aligned}$
Numărătorul $x^2 + 2x + 1$ este $(x + 1)^2$ (formula pătratului sumei). Simplificăm cu $x + 1$ , nenul pentru că $x \ne -1$ .
2. Comparăm cu dublul termenului din mijloc
$2b = 2 \cdot \dfrac{x+1}{2x} = \dfrac{x+1}{x}$
Am simplificat $2$ cu $2$ .
Cum $a + c = \frac{x+1}{x} = 2b$ pentru orice $x \in \mathbb{R}^* \setminus \{-1\}$ , numerele sunt în progresie aritmetică.
Verifică-te
Cum arată proba cu $x = 1$ ?

Răspuns

Suma extremelor este

\frac{x+1}{x}

, adică

2 \cdot \frac{x+1}{2x} = 2b

. Deci numerele sunt în progresie aritmetică pentru orice

x \in \mathbb{R}^* \setminus \{-1\}

.

d) $(x^2 - 4x - 4)^2$ , $(x^2 + 4)^2$ , $(x^2 + 4x - 4)^2$ , $x \in \mathbb{R}^*$

Metoda de la a):

a + c = 2b

. Nu desface paranteze mari: notează

u = x^2 - 4

și

v = 4x

, apoi extremele sunt

(u - v)^2

și

(u + v)^2

.

1. Aceeași bază, scrisă în două feluri
Metoda e aceeași, $a + c = 2b$ . Doar că termenii sunt pătrate de expresii cu $x$ , și dacă desfaci tot, ajungi la polinoame de gradul $4$ ușor de greșit.
Observă că expresiile din paranteze se aseamănă: $x^2 - 4x - 4 = (x^2 - 4) - 4x$ și $x^2 + 4x - 4 = (x^2 - 4) + 4x$ . Notezi $u = x^2 - 4$ și $v = 4x$ . Atunci extremele sunt:
$\begin{aligned} a &= (u - v)^2 \\ c &= (u + v)^2 \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $a + c = (u - v)^2 + (u + v)^2$ ?
$\begin{aligned} a + c &= 2u^2 + 2v^2 \\ &= 2(u^2 + v^2) \end{aligned}$
2. Revenim la $x$ și comparăm cu $2b$
Înlocuiești $u = x^2 - 4$ și $v = 4x$ . Atunci $u^2 + v^2 = (x^2 - 4)^2 + 16x^2$ . Desfaci primul pătrat cu $(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$ :
$(x^2 - 4)^2 = x^4 - 8x^2 + 16$
Verifică-te
Cât este $(x^2 - 4)^2 + 16x^2$ ?
Deci $u^2 + v^2 = x^4 + 8x^2 + 16 = (x^2 + 4)^2$ , adică exact $b$ . Atunci:
$\begin{aligned} a + c &= 2(u^2 + v^2) \\ &= 2(x^2 + 4)^2 = 2b \end{aligned}$
Numerele sunt în progresie aritmetică, pentru orice $x$ . Condiția $x \in \mathbb{R}^*$ din enunț nu a fost nevoie să o folosim: identitatea rămâne adevărată și pentru $x = 0$ .

Răspuns

Cu

u = x^2 - 4

și

v = 4x

, suma extremelor este

2(u^2 + v^2) = 2(x^2 + 4)^2 = 2b

. Deci numerele sunt în progresie aritmetică.

e) $(x + y)^2$ , $x^2 + y^2$ , $(x - y)^2$ , $x, y \in \mathbb{R}^*$

Metoda de la a):

a + c = 2b

. Desfă cele două pătrate; termenii cu

xy

au semne opuse.

1. Suma extremelor
Metoda de la a) și d). Desfaci cele două pătrate cu formulele $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$ :
$\begin{aligned} (x + y)^2 &= x^2 + 2xy + y^2 \\ (x - y)^2 &= x^2 - 2xy + y^2 \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este suma extremelor, $a + c = (x + y)^2 + (x - y)^2$ ?
2. Concluzia și rația
Cum $a + c = 2x^2 + 2y^2 = 2b$ pentru orice $x, y$ , numerele sunt în progresie aritmetică. Condiția $x, y \in \mathbb{R}^*$ nu a fost folosită: identitatea e adevărată pentru orice numere reale.
Rația este $r = b - a = (x^2 + y^2) - (x + y)^2$ :
Verifică-te
Cât este rația?

Răspuns

Suma extremelor este

2x^2 + 2y^2 = 2(x^2 + y^2) = 2b

. Deci numerele sunt în progresie aritmetică, cu rația

-2xy

.

Exercițiul 28 · Demonstrăm că trei numere sunt în progresie aritmetică

a)5−3\sqrt5 - \sqrt35​−3​, 5\sqrt55​, 5+3\sqrt5 + \sqrt35​+3​

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: termenul din mijloc este media vecinilor ✓

3. Calculăm suma extremelor ✓

4. Verificăm cu diferențele ✓

b)3−22\sqrt{3 - 2\sqrt2}3−22​​, 2\sqrt22​, 3+22\sqrt{3 + 2\sqrt2}3+22​​

1. Scăpăm de radicalii dubli ✓

2. Suma extremelor ✓

c)2x+1\dfrac{2}{x+1}x+12​, x+12x\dfrac{x+1}{2x}2xx+1​, x2+1x(x+1)\dfrac{x^2+1}{x(x+1)}x(x+1)x2+1​, x∈R∗∖{−1}x \in \mathbb{R}^* \setminus \{-1\}x∈R∗∖{−1}

1. Adunăm fracțiile extreme ✓

2. Comparăm cu dublul termenului din mijloc ✓

d)(x2−4x−4)2(x^2 - 4x - 4)^2(x2−4x−4)2, (x2+4)2(x^2 + 4)^2(x2+4)2, (x2+4x−4)2(x^2 + 4x - 4)^2(x2+4x−4)2, x∈R∗x \in \mathbb{R}^*x∈R∗

1. Aceeași bază, scrisă în două feluri ✓

2. Revenim la xxx și comparăm cu 2b2b2b ✓

e)(x+y)2(x + y)^2(x+y)2, x2+y2x^2 + y^2x2+y2, (x−y)2(x - y)^2(x−y)2, x,y∈R∗x, y \in \mathbb{R}^*x,y∈R∗

1. Suma extremelor ✓

2. Concluzia și rația ✓

a) $\sqrt5 - \sqrt3$ , $\sqrt5$ , $\sqrt5 + \sqrt3$

1. Ce ni se cere

2. Ideea: termenul din mijloc este media vecinilor

3. Calculăm suma extremelor

4. Verificăm cu diferențele

b) $\sqrt{3 - 2\sqrt2}$ , $\sqrt2$ , $\sqrt{3 + 2\sqrt2}$

1. Scăpăm de radicalii dubli

2. Suma extremelor

c) $\dfrac{2}{x+1}$ , $\dfrac{x+1}{2x}$ , $\dfrac{x^2+1}{x(x+1)}$ , $x \in \mathbb{R}^* \setminus \{-1\}$

1. Adunăm fracțiile extreme

2. Comparăm cu dublul termenului din mijloc

d) $(x^2 - 4x - 4)^2$ , $(x^2 + 4)^2$ , $(x^2 + 4x - 4)^2$ , $x \in \mathbb{R}^*$

1. Aceeași bază, scrisă în două feluri

2. Revenim la $x$ și comparăm cu $2b$

e) $(x + y)^2$ , $x^2 + y^2$ , $(x - y)^2$ , $x, y \in \mathbb{R}^*$

1. Suma extremelor

2. Concluzia și rația