MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii aritmetice · ex. 29

Exercițiul 29 · Soluțiile unei ecuații cu module sunt în progresie aritmetică

Demonstrați că soluțiile ecuației ∣∣x−a∣−4∣=4\big||x - a| - 4\big| = 4, unde a∈Ra \in \mathbb{R}, sunt în progresie aritmetică.

Rezolvă ecuația și arată că soluțiile sunt în progresie aritmetică.

Ecuațiile cu modul le știi din gimnaziu: ∣t∣=4|t| = 4 înseamnă t=4t = 4 sau t=−4t = -4. Aplică regula de două ori, începând cu modulul din exterior.

  1. 1. Ce ni se cere

    Numărul aa este un parametru: o valoare reală oarecare, fixată. Pentru fiecare aa ecuația are anumite soluții xx. Trebuie să:

    1. rezolvi ecuația, adică să afli soluțiile în funcție de aa; 2. arăți că soluțiile, în ordine crescătoare, sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice.

    Rezolvarea ecuației cu modul este tehnică din gimnaziu, nu din culegere. Pentru partea a doua folosești metoda din exercițiul 28: termenul din mijloc este media vecinilor.

  2. 2. Ideea: dezlegăm modulele, de la exterior spre interior

    Regula din gimnaziu: dacă k≥0k \ge 0, atunci
    ∣t∣=k  ⟺   t=ksau t=−k\begin{aligned} |t| = k \iff\ &t = k \\ &\text{sau } t = -k \end{aligned}
    Modulul unui număr este distanța lui până la 00; sunt două numere la distanța kk de 00, anume kk și −k-k.
    Ecuația noastră are un modul în alt modul. Începi cu cel din exterior. Expresia din interiorul lui este t=∣x−a∣−4t = |x - a| - 4, iar ea trebuie să fie egală cu 44 sau cu −4-4:

    Verifică-te

    Câte ecuații fără modulul exterior obții?

  3. 3. Izolăm modulul interior

    Cazul 1: ∣x−a∣−4=4|x - a| - 4 = 4. Adaugi 44 în ambele părți:
    ∣x−a∣=8|x - a| = 8
    Cazul 2: ∣x−a∣−4=−4|x - a| - 4 = -4. Adaugi tot 44 în ambele părți.

    Verifică-te

    Cât este ∣x−a∣|x - a| în cazul 2?

  4. 4. Aflăm soluțiile

    Aplici aceeași regulă și modulului interior. Din ∣x−a∣=8|x - a| = 8: x−a=8x - a = 8 sau x−a=−8x - a = -8, deci x=a+8x = a + 8 sau x=a−8x = a - 8. Mai rămâne ecuația ∣x−a∣=0|x - a| = 0.

    Verifică-te

    Câte soluții are ecuația ∣x−a∣=0|x - a| = 0?
    Verificare prin înlocuire, pentru x=ax = a: ∣∣0∣−4∣=∣−4∣=4\big||0| - 4\big| = |-4| = 4 ✓. Pentru x=a±8x = a \pm 8: ∣x−a∣=8|x - a| = 8 și ∣8−4∣=4\big|8 - 4\big| = 4 ✓. Nicio soluție nu trebuie respinsă, iar aa rămâne oarecare.

  5. 5. Sunt în progresie aritmetică

    În ordine crescătoare soluțiile sunt a−8a - 8, aa, a+8a + 8. Folosești metoda de la exercițiul 28: suma extremelor trebuie să fie dublul termenului din mijloc.
    (a−8)+(a+8)=2a=2⋅a\begin{aligned} (a - 8) + (a + 8) &= 2a \\ &= 2 \cdot a \end{aligned}
    Termenii −8-8 și +8+8 se reduc.
    Deci cele trei soluții sunt în progresie aritmetică, iar rația este a−(a−8)=8a - (a - 8) = 8 (și (a+8)−a=8(a + 8) - a = 8 ✓).
    Un exemplu cu a=3a = 3: soluțiile −5-5, 33, 1111. Pentru x=−5x = -5: ∣−5−3∣=8|-5 - 3| = 8, apoi ∣8−4∣=4|8 - 4| = 4 ✓. Pașii sunt de câte 88.
Răspuns
Ecuația are trei soluții, a−8a - 8, aa și a+8a + 8. Suma extremelor este 2a2a, dublul termenului din mijloc, deci soluțiile sunt în progresie aritmetică, cu rația 88.