MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii aritmetice · ex. 3

Exercițiul 3 · Primii doi termeni

Să se găsească primii doi termeni ai progresiei aritmetice (bn)n≥1(b_n)_{n\ge1}, dacă:

a)b1,b2,10,16,22,…b_1, b_2, 10, 16, 22, \dots

Rația se vede din termenii cunoscuți, de exemplu 16−1016 - 10. Apoi mergi înapoi: un termen este cel de după el minus rația.

  1. 1. Ce ni se cere

    Șirul începe cu doi termeni necunoscuți, b1b_1 și b2b_2, după care urmează 10,16,22,…10, 16, 22, \dots Deci 1010 este al treilea termen, b3=10b_3 = 10, b4=16b_4 = 16, b5=22b_5 = 22.

    Trebuie să afli b1b_1 și b2b_2, adică să mergi înapoi de la b3b_3.

  2. 2. Ideea: rația din termenii cunoscuți, apoi înapoi

    Rația se citește din oricare doi termeni vecini cunoscuți, ca în exemplul rezolvat 1. Aici avem b3=10b_3 = 10 și b4=16b_4 = 16.

    Verifică-te

    Cât este rația r=b4−b3r = b_4 - b_3?
    Definiția progresiei spune bn=bn−1+rb_n = b_{n-1} + r. Din ea rezultă că un termen se află din cel de după el, scăzând rația:
    bn−1=bn−rb_{n-1} = b_n - r
    Mergi înapoi: de la b3b_3 la b2b_2 scazi rr, de la b2b_2 la b1b_1 scazi încă o dată rr.

  3. 3. Mergem înapoi

    b2=b3−r=10−6=4b_2 = b_3 - r = 10 - 6 = 4

    Verifică-te

    Termină tu: b1=b2−r= ?b_1 = b_2 - r = \ ?
    −2-2+6+644+6+61010+6+61616+6+62222

  4. 4. Verificăm

    Cu b1=−2b_1 = -2 și r=6r = 6, formula termenului general bn=b1+(n−1)rb_n = b_1 + (n - 1)r trebuie să dea termenii dați. De exemplu b5b_5, cu 44 pași:
    b5=−2+4⋅6=22b_5 = -2 + 4 \cdot 6 = 22
    Se potrivește cu ultimul termen din enunț ✓
Răspuns
Rația este r=6r = 6, iar primii doi termeni sunt b1=−2b_1 = -2 și b2=4b_2 = 4.

b)b1,b2,−7,−2,3,…b_1, b_2, -7, -2, 3, \dots

Metoda de la a): rația din doi termeni cunoscuți vecini, apoi scazi rația de două ori, pornind de la b3=−7b_3 = -7.

  1. 1. Rația

    Metoda e cea de la a): b3=−7b_3 = -7 și b4=−2b_4 = -2 sunt termeni vecini cunoscuți, deci
    r=b4−b3=−2−(−7)=−2+7=5\begin{aligned} r = b_4 - b_3 &= -2 - (-7) \\ &= -2 + 7 = 5 \end{aligned}
    Verificare cu următoarea pereche: 3−(−2)=53 - (-2) = 5 ✓
    A merge înapoi înseamnă bn−1=bn−rb_{n-1} = b_n - r. Atenție la semne: scazi 55 dintr-un număr deja negativ, deci ajungi și mai jos pe axă.

  2. 2. Mergem înapoi

    b2=b3−r=−7−5=−12b_2 = b_3 - r = -7 - 5 = -12

    Verifică-te

    Termină tu: b1=b2−r= ?b_1 = b_2 - r = \ ?
    Verificare cu formula, până la b5b_5 sunt 44 pași:
    b5=b1+4r=−17+4⋅5=−17+20=3\begin{aligned} b_5 &= b_1 + 4r = -17 + 4 \cdot 5 \\ &= -17 + 20 = 3 \end{aligned}
    Este chiar al cincilea termen din enunț ✓
Răspuns
Rația este r=5r = 5, iar primii doi termeni sunt b1=−17b_1 = -17 și b2=−12b_2 = -12.