MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii aritmetice · ex. 4

Exercițiul 4 · Rangul unui termen

Aflați rangul termenului dat al unei progresii aritmetice (an)n≥1(a_n)_{n\ge1}:

a)a1=3a_1 = 3, r=2r = 2, termenul 943943

Rangul este numărul nn pentru care an=943a_n = 943. Scrie an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r și rezolvă ecuația în nn.

  1. 1. Ce ni se cere

    Progresia are a1=3a_1 = 3 și r=2r = 2: termenii sunt 3,5,7,9,…3, 5, 7, 9, \dots Numărul 943943 apare undeva în acest șir. Rangul lui este locul pe care stă, adică numărul nn pentru care an=943a_n = 943.

    Să numeri termenii unul câte unul nu e practic. Avem nevoie de o ecuație în nn.

  2. 2. Ideea: egalăm termenul general cu valoarea

    Termenul general al progresiei se scrie din breviar:
    an=a1+(n−1)r=3+2(n−1)\begin{aligned} a_n &= a_1 + (n - 1)r \\ &= 3 + 2(n - 1) \end{aligned}
    Căutăm rangul nn pentru care acest termen este 943943, deci punem condiția an=943a_n = 943:
    3+2(n−1)=9433 + 2(n - 1) = 943
    Aceasta este o ecuație de gradul întâi în nn. La final trebuie să verifici că nn este un număr natural nenul, pentru că un rang nu poate fi fracție sau număr negativ.

  3. 3. Rezolvăm ecuația

    Mai întâi muți termenul 33 în dreapta:
    2(n−1)=943−32(n−1)=940\begin{aligned} 2(n - 1) &= 943 - 3 \\ 2(n - 1) &= 940 \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este n−1n - 1?
    n=470+1=471n = 470 + 1 = 471
    471471 este număr natural nenul, deci 943943 este termen al progresiei.

  4. 4. Verificăm

    Calculezi termenul de rang 471471 cu formula. Până la el sunt 470470 pași de câte 22:
    a471=3+470⋅2=3+940=943\begin{aligned} a_{471} &= 3 + 470 \cdot 2 \\ &= 3 + 940 = 943 \end{aligned}
    Se potrivește cu valoarea din enunț ✓
Răspuns
Termenul 943943 are rangul n=471n = 471.

b)a1=100a_1 = 100, a2=99a_2 = 99, termenul −1-1

Metoda de la a), dar rația nu e dată: calculeaz-o ca a2−a1a_2 - a_1. Apoi rezolvă an=−1a_n = -1 în nn.

  1. 1. Ce e nou: rația trebuie aflată

    Metoda e cea de la a): egalezi an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r cu valoarea dată. Spre deosebire de a), rația nu e scrisă în enunț, dar o citești din cei doi termeni:
    r=a2−a1=99−100=−1r = a_2 - a_1 = 99 - 100 = -1
    Rația e negativă, deci termenii scad de la 100100 spre −1-1.
    an=100+(n−1)⋅(−1)=100−(n−1)\begin{aligned} a_n &= 100 + (n - 1) \cdot (-1) \\ &= 100 - (n - 1) \end{aligned}

  2. 2. Rezolvăm ecuația

    Punem condiția an=−1a_n = -1 și rezolvăm în nn:
    100−(n−1)=−1−(n−1)=−101\begin{aligned} 100 - (n - 1) &= -1 \\ -(n - 1) &= -101 \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este nn?
    102102 este număr natural nenul, deci −1-1 este termen al progresiei.
    Verificare:
    a102=100+101⋅(−1)=100−101=−1\begin{aligned} a_{102} &= 100 + 101 \cdot (-1) \\ &= 100 - 101 = -1 \end{aligned}
    Se potrivește cu valoarea din enunț ✓
Răspuns
Rația este r=−1r = -1, iar termenul −1-1 are rangul n=102n = 102.