MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii aritmetice · ex. 5

Exercițiul 5 · Care număr este termen și ce rang are

Care număr este termen al progresiei aritmetice (xn)n≥1(x_n)_{n\ge1} și ce rang are, dacă:

i) xn=3n+2x_n = 3n + 2, n≥1n \ge 1, pentru numerele a) 4747; b) 102102; c) 302302; d) 10241024;

ii) xn=6−4nx_n = 6 - 4n, n≥1n \ge 1, pentru numerele a) −122-122; b) −136-136; c) 126126; d) 150150.

i) a)xn=3n+2x_n = 3n + 2, numărul 4747

Numărul 4747 este termen dacă există un rang nn cu xn=47x_n = 47. Rezolvă ecuația 3n+2=473n + 2 = 47 și vezi dacă nn iese număr natural nenul.

  1. 1. Ce ni se cere

    Progresia (xn)(x_n) este dată prin formula termenului general, xn=3n+2x_n = 3n + 2. Primii ei termeni sunt x1=5x_1 = 5, x2=8x_2 = 8, x3=11x_3 = 11, și așa mai departe, din 33 în 33.

    Întrebarea are două părți. Mai întâi: apare 4747 printre termenii șirului? Dacă da, a doua: pe ce loc, adică ce rang are?

  2. 2. Ideea: punem xn=47x_n = 47 și căutăm rangul

    Metoda e cea din exemplul rezolvat 3 din secțiunea Șiruri. Dacă 4747 este termen, el stă pe un loc nn, deci xn=47x_n = 47. Punem această condiție și rezolvăm ecuația în nn.

    Rangul este un loc în șir, deci soluția trebuie verificată la final.

    Verifică-te

    Ce fel de număr trebuie să fie nn, ca să fie rang?

  3. 3. Rezolvăm ecuația

    3n+2=473n=47−2=45\begin{aligned} 3n + 2 &= 47 \\ 3n &= 47 - 2 = 45 \end{aligned}
    Muți +2+2 în dreapta ca −2-2.

    Verifică-te

    Cât este nn?
    1515 este număr natural nenul, deci 4747 este termen al progresiei, de rang 1515.

  4. 4. Verificăm

    Înlocuiești rangul găsit în formula termenului general:
    x15=3⋅15+2=45+2=47\begin{aligned} x_{15} &= 3 \cdot 15 + 2 \\ &= 45 + 2 = 47 \end{aligned}
    Se potrivește ✓
Răspuns
Da, 4747 este termen al progresiei, de rang n=15n = 15.

i) b)xn=3n+2x_n = 3n + 2, numărul 102102

Metoda de la i) a): pui xn=102x_n = 102 și rezolvi în nn. Rangul trebuie să fie număr natural nenul.

  1. 1. Egalăm și rezolvăm

    Metoda e cea de la a): pui xn=102x_n = 102 și rezolvi în nn.
    3n+2=1023n=100n=1003=3313\begin{aligned} 3n + 2 &= 102 \\ 3n &= 100 \\ n &= \frac{100}{3} = 33\tfrac13 \end{aligned}

    Verifică-te

    Ce concluzie tragi pentru 102102?

  2. 2. Verificăm între doi termeni vecini

    Termenii din apropiere sunt x33=101x_{33} = 101 și x34=104x_{34} = 104. Șirul sare de la 101101 direct la 104104, deci 102102 cade între doi termeni consecutivi și nu apare.
    Altă verificare: termenii sunt 5,8,11,…5, 8, 11, \dots Fiecare dă restul 22 la împărțirea cu 33. Dar 102=3⋅34102 = 3 \cdot 34 se împarte exact la 33, deci nu are restul 22.
Răspuns
Nu, 102102 nu este termen al progresiei: n=1003n = \frac{100}{3} nu este număr natural.

i) c)xn=3n+2x_n = 3n + 2, numărul 302302

Metoda de la i) a): pui xn=302x_n = 302 și rezolvi în nn. Rangul trebuie să fie număr natural nenul.

  1. 1. Egalăm și rezolvăm

    Metoda e cea de la a): pui xn=302x_n = 302 și rezolvi în nn.
    3n+2=3023n=300\begin{aligned} 3n + 2 &= 302 \\ 3n &= 300 \end{aligned}

    Verifică-te

    Cât este nn?

  2. 2. Concluzie și verificare

    100100 este număr natural nenul, deci 302302 este termen, de rang 100100.
    x100=3⋅100+2=302x_{100} = 3 \cdot 100 + 2 = 302
    Se potrivește ✓
Răspuns
Da, 302302 este termen al progresiei, de rang n=100n = 100.

i) d)xn=3n+2x_n = 3n + 2, numărul 10241024

Metoda de la i) a): pui xn=1024x_n = 1024 și rezolvi în nn. Rangul trebuie să fie număr natural nenul.

  1. 1. Egalăm și rezolvăm

    Metoda e cea de la a): pui xn=1024x_n = 1024 și rezolvi în nn.
    3n+2=10243n=1022n=10223=34023\begin{aligned} 3n + 2 &= 1024 \\ 3n &= 1022 \\ n &= \frac{1022}{3} = 340\tfrac23 \end{aligned}
    1022=3⋅340+21022 = 3 \cdot 340 + 2, deci împărțirea nu se face exact.

    Verifică-te

    Ce concluzie tragi pentru 10241024?

  2. 2. Verificăm între doi termeni vecini

    Termenii vecini sunt x340=1022x_{340} = 1022 și x341=1025x_{341} = 1025. Numărul 10241024 cade între ei, deci nu apare în șir.
Răspuns
Nu, 10241024 nu este termen al progresiei: n=10223n = \frac{1022}{3} nu este număr natural.

ii) a)xn=6−4nx_n = 6 - 4n, numărul −122-122

Pui xn=−122x_n = -122 și rezolvi în nn. Ai grijă la semne: nn are coeficientul −4-4, iar împărțirea la un număr negativ schimbă semnul.

  1. 1. Ce ni se cere

    Progresia are termenul general xn=6−4nx_n = 6 - 4n. Primii termeni sunt x1=2x_1 = 2, x2=−2x_2 = -2, x3=−6x_3 = -6, adică termenii scad cu 44 la fiecare pas, rația este r=−4r = -4.

    Trebuie să afli dacă −122-122 apare printre termeni și, dacă da, pe ce loc.

  2. 2. Ideea: aceeași metodă, cu atenție la semne

    Metoda e cea de la i): pui xn=−122x_n = -122 și rezolvi în nn. Rangul nn trebuie să fie număr natural nenul.

    Nou față de i) este că numărul de lângă nn este negativ. Începi tot prin a muta termenul liber, 66, în dreapta:

    6−4n=−122−4n=−122−6=−128\begin{aligned} 6 - 4n &= -122 \\ -4n &= -122 - 6 = -128 \end{aligned}
    Muți +6+6 în dreapta ca −6-6.

  3. 3. Aflăm nn

    Împarți ambii membri la −4-4. Un număr negativ împărțit la un număr negativ dă un număr pozitiv.

    Verifică-te

    Cât este n=−128−4n = \frac{-128}{-4}?
    3232 este număr natural nenul, deci −122-122 este termen al progresiei, de rang 3232.

  4. 4. Verificăm

    x32=6−4⋅32=6−128=−122\begin{aligned} x_{32} &= 6 - 4 \cdot 32 \\ &= 6 - 128 = -122 \end{aligned}
    Se potrivește ✓
    Cu formula din breviar, x1=2x_1 = 2 și r=−4r = -4 dau:
    x32=2+31⋅(−4)=2−124=−122\begin{aligned} x_{32} &= 2 + 31 \cdot (-4) \\ &= 2 - 124 = -122 \end{aligned}
    Același rezultat ✓
Răspuns
Da, −122-122 este termen al progresiei, de rang n=32n = 32.

ii) b)xn=6−4nx_n = 6 - 4n, numărul −136-136

Metoda de la ii) a): pui xn=−136x_n = -136 și rezolvi în nn. Rangul trebuie să fie număr natural nenul.

  1. 1. Egalăm și rezolvăm

    Metoda e cea de la a): pui xn=−136x_n = -136 și rezolvi în nn.
    6−4n=−136−4n=−142n=−142−4=35,5\begin{aligned} 6 - 4n &= -136 \\ -4n &= -142 \\ n &= \frac{-142}{-4} = 35{,}5 \end{aligned}

    Verifică-te

    Ce concluzie tragi pentru −136-136?

  2. 2. Verificăm între doi termeni vecini

    Termenii vecini sunt x35=−134x_{35} = -134 și x36=−138x_{36} = -138. Numărul −136-136 cade exact la mijloc între ei, de aceea rangul ar fi 35,535{,}5, dar nu este termen.
Răspuns
Nu, −136-136 nu este termen al progresiei: n=35,5n = 35{,}5 nu este număr natural.

ii) c)xn=6−4nx_n = 6 - 4n, numărul 126126

Metoda de la ii) a): pui xn=126x_n = 126 și rezolvi în nn. Rangul trebuie să fie număr natural nenul.

  1. 1. Egalăm și rezolvăm

    Metoda e cea de la a): pui xn=126x_n = 126 și rezolvi în nn.
    6−4n=126−4n=120n=120−4=−30\begin{aligned} 6 - 4n &= 126 \\ -4n &= 120 \\ n &= \frac{120}{-4} = -30 \end{aligned}
    Aici împarți un număr pozitiv la unul negativ, deci nn iese negativ.

    Verifică-te

    Ce concluzie tragi pentru 126126?

  2. 2. Verificăm

    Termenii scad de la x1=2x_1 = 2 cu câte 44: 2,−2,−6,…2, -2, -6, \dots Toți sunt cel mult 22, deci 126126 nu poate apărea. Soluția n=−30n = -30 ar însemna un loc înaintea primului termen.
Răspuns
Nu, 126126 nu este termen al progresiei: n=−30n = -30 nu este număr natural nenul.

ii) d)xn=6−4nx_n = 6 - 4n, numărul 150150

Metoda de la ii) a): pui xn=150x_n = 150 și rezolvi în nn. Rangul trebuie să fie număr natural nenul.

  1. 1. Egalăm și rezolvăm

    Metoda e cea de la a): pui xn=150x_n = 150 și rezolvi în nn.
    6−4n=150−4n=144n=144−4=−36\begin{aligned} 6 - 4n &= 150 \\ -4n &= 144 \\ n &= \frac{144}{-4} = -36 \end{aligned}

    Verifică-te

    Ce concluzie tragi pentru 150150?

  2. 2. Verificăm

    La fel ca la c): toți termenii sunt cel mult x1=2x_1 = 2, iar 150>2150 > 2, deci 150150 nu apare în șir.
Răspuns
Nu, 150150 nu este termen al progresiei: n=−36n = -36 nu este număr natural nenul.