Culegere Burtea · Progresii aritmetice · exemplu rezolvat 1

Exemplu rezolvat 1 · Termenii de rang 10 și 120

Să se determine termenii de rang 10 și 120 ai progresiei aritmetice

(a_n)

-3, 0, 3, 6, 9, 12, \dots

Află $a_{10}$ și $a_{120}$ .

Din primii termeni scriși afli

a_1

și rația

r

. Apoi folosești formula termenului general,

a_n = a_1 + (n - 1)r

, pentru

n = 10

și pentru

n = 120

1. Ce ni se cere
Progresia aritmetică $(a_n)$ este dată prin primii ei termeni: $-3, 0, 3, 6, 9, 12$ , iar cele trei puncte arată că șirul continuă la fel.
Rangul unui termen este locul pe care stă în șir. Termenul de rang 10 este al zecelea termen, $a_{10}$ , iar cel de rang 120 este $a_{120}$ . Pe aceștia doi trebuie să-i afli.
Pe $a_{10}$ l-ai putea găsi continuând șirul cu mâna, încă patru termeni. Până la $a_{120}$ ar fi însă peste o sută de adunări, așa că ne trebuie o metodă mai rapidă.
2. Citim din șir primul termen și rația
O progresie aritmetică e complet stabilită de două numere: primul termen $a_1$ și rația $r$ , adică numărul care se adună la fiecare pas.
Primul termen se citește direct: este primul număr scris, $a_1 = -3$ .
Rația este diferența dintre un termen și cel dinaintea lui, $r = a_n - a_{n-1}$ . O poți calcula din oricare doi termeni vecini, de exemplu din primii doi.
Verifică-te
Cât este rația $r = a_2 - a_1$ ?
3. Formula termenului general și $a_{10}$
Ca să sari direct la orice termen, folosești formula termenului general din breviarul culegerii:
$a_n = a_1 + (n - 1)r$
Până la $a_n$ faci $n - 1$ pași de la $a_1$ , iar la fiecare pas aduni $r$ .
De ce $n - 1$ și nu $n$ ? Pentru că pornești deja de pe primul loc. De la $a_1$ la $a_2$ e un pas, de la $a_1$ la $a_3$ sunt doi pași, deci până la $a_{10}$ sunt 9 pași.
Pentru $n = 10$ , cu $a_1 = -3$ și $r = 3$ :
$\begin{aligned} a_{10} &= -3 + 9 \cdot 3 \\ &= -3 + 27 = 24 \end{aligned}$
Întâi înmulțirea, $9 \cdot 3 = 27$ , apoi adunarea.
Aici poți verifica și cu mâna, continuând șirul din 3 în 3: $-3, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24$ . Al zecelea număr este $24$ ✓
4. Termenul $a_{120}$
Pentru $a_{120}$ verificarea cu mâna nu mai e practică, dar formula merge la fel. Până la locul 120 sunt $120 - 1 = 119$ pași:
$\begin{aligned} a_{120} &= a_1 + 119r \\ &= -3 + 119 \cdot 3 \end{aligned}$
Verifică-te
Termină calculul: $a_{120} = \ ?$
5. Verificăm pe altă cale
Poți ajunge la $a_{120}$ și pornind de la $a_{10} = 24$ , pe care l-ai verificat deja cu mâna. De la locul 10 la locul 120 sunt $120 - 10 = 110$ pași, fiecare de câte 3:
$a_{120} = a_{10} + 110 \cdot 3$
$a_{120} = 24 + 330 = 354$
Același rezultat ✓
Câți pași sunt între doi termeni?
De la $a_k$ la $a_m$ (cu $k < m$ ) sunt ${m - k}$ pași, adică diferența rangurilor. Formula termenului general este cazul $k = 1$ : de la $a_1$ la $a_n$ sunt ${n - 1}$ pași.

Răspuns

Termenul de rang 10 este

a_{10} = 24

, iar termenul de rang 120 este

a_{120} = 354

Exemplu rezolvat 1 · Termenii de rang 10 și 120

Află a10a_{10}a10​ și a120a_{120}a120​.

1. Ce ni se cere ✓

2. Citim din șir primul termen și rația ✓

3. Formula termenului general și a10a_{10}a10​ ✓

4. Termenul a120a_{120}a120​ ✓

5. Verificăm pe altă cale ✓

Află $a_{10}$ și $a_{120}$ .

1. Ce ni se cere

2. Citim din șir primul termen și rația

3. Formula termenului general și $a_{10}$

4. Termenul $a_{120}$

5. Verificăm pe altă cale