MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii aritmetice · exemplu rezolvat 2

Exemplu rezolvat 2 · Termenii lipsă ai unei progresii

Să se determine termenii necunoscuți ai progresiei aritmetice (an)(a_n): a1,a2,6,a4,152,a6,…a_1, a_2, 6, a_4, \frac{15}{2}, a_6, \dots.

Află a1a_1, a2a_2, a4a_4 și a6a_6.

Știi a3=6a_3 = 6 și a5=152a_5 = \frac{15}{2}. De la a3a_3 la a5a_5 adaugi rația de două ori, deci a5=a3+2ra_5 = a_3 + 2r. De aici afli rr, apoi adaugi sau scazi rația ca să ajungi la ceilalți termeni.

  1. 1. Ce ni se cere

    Din primii șase termeni ai progresiei aritmetice cunoaștem doar doi: pe locul 3 stă 66, iar pe locul 5 stă 152\frac{15}{2}. Adică a3=6{a_3 = 6} și a5=152{a_5 = \frac{15}{2}}.
    ??+r+r??+r+r66+r+r??+r+r152\frac{15}{2}+r+r??

    Trebuie să afli termenii lipsă: a1a_1, a2a_2, a4a_4 și a6a_6.

    Fiecare săgeată înseamnă „aduni rația rr”. Dacă am ști rr, am putea completa tot șirul pornind de la 66: înainte adunăm rr, înapoi scădem rr. Deci primul lucru de aflat este rația.

  2. 2. Ideea: legăm cei doi termeni cunoscuți

    Rația nu o putem citi direct, pentru că termenii cunoscuți nu sunt vecini: între ei stă a4a_4, pe care nu-l știm.

    Dar putem număra pașii de la a3a_3 la a5a_5. La fiecare pas se adaugă rr.

    Verifică-te

    Câte rații adaugi ca să ajungi de la a3a_3 la a5a_5?
    Așadar termenul de pe locul 5 este cel de pe locul 3 plus două rații:
    a5=a3+2ra_5 = a_3 + 2r

  3. 3. Aflăm rația

    Înlocuiești termenii cunoscuți, a3=6a_3 = 6 și a5=152a_5 = \frac{15}{2}, și obții o ecuație cu necunoscuta rr:
    152=6+2r\frac{15}{2} = 6 + 2r
    2r=152−6=152−122=322r = \frac{15}{2} - 6 = \frac{15}{2} - \frac{12}{2} = \frac32
    Treci 6 în celălalt membru, cu semn schimbat, și îl scrii ca fracție cu numitorul 2: 6=1226 = \frac{12}{2}.

    Verifică-te

    Din 2r=322r = \frac32, cât este rr?

  4. 4. Mergem înainte: a4a_4 și a6a_6

    Cu r=34r = \frac34 completezi șirul. Spre dreapta, fiecare termen este cel dinaintea lui plus rația:
    a4=a3+r=6+34a_4 = a_3 + r = 6 + \frac34
    a4=244+34=274a_4 = \frac{24}{4} + \frac34 = \frac{27}{4}
    Ca să aduni, scrii 6 ca fracție cu numitorul 4: 6=2446 = \frac{24}{4}.
    a6=a5+r=152+34a_6 = a_5 + r = \frac{15}{2} + \frac34
    a6=304+34=334a_6 = \frac{30}{4} + \frac34 = \frac{33}{4}
    Aduci fracțiile la numitorul comun 4: 152=304\frac{15}{2} = \frac{30}{4}.
    O verificare rapidă pentru a4a_4: el trebuie să ajungă la a5a_5 adunând încă o rație. Chiar așa este: 274+34=304=152\frac{27}{4} + \frac34 = \frac{30}{4} = \frac{15}{2} ✓

  5. 5. Mergem înapoi: a2a_2 și a1a_1

    Spre stânga facem invers. Dacă a3=a2+ra_3 = a_2 + r, atunci a2=a3−ra_2 = a_3 - r: ca să mergi cu un loc înapoi, scazi rația.
    a2=a3−r=6−34a_2 = a_3 - r = 6 - \frac34
    a2=244−34=214a_2 = \frac{24}{4} - \frac34 = \frac{21}{4}

    Verifică-te

    Termină tu: a1=a2−r= ?a_1 = a_2 - r = \ ?

  6. 6. Verificăm tot șirul

    Cu zecimale se vede mai ușor. r=34=0,75r = \frac34 = 0{,}75, iar cei șase termeni sunt:
    TermenFracțieZecimal
    a1a_192\frac924,54{,}5
    a2a_2214\frac{21}{4}5,255{,}25
    a3a_36666
    a4a_4274\frac{27}{4}6,756{,}75
    a5a_5152\frac{15}{2}7,57{,}5
    a6a_6334\frac{33}{4}8,258{,}25

    De la un termen la următorul se adaugă de fiecare dată 0,750{,}75 ✓, iar pe locurile 3 și 5 apar exact numerele din enunț, 66 și 7,5=1527{,}5 = \frac{15}{2} ✓

    Poți verifica pe a1a_1 și dintr-un singur pas. De la a1a_1 la a3a_3 sunt doi pași, deci a3=a1+2ra_3 = a_1 + 2r, adică a1=a3−2ra_1 = a_3 - 2r:

    a1=6−2⋅34=6−32=92a_1 = 6 - 2 \cdot \frac34 = 6 - \frac32 = \frac92
    Același rezultat ✓
Răspuns
Rația este r=34r = \frac34, iar termenii necunoscuți sunt a1=92a_1 = \frac92, a2=214a_2 = \frac{21}{4}, a4=274a_4 = \frac{27}{4} și a6=334a_6 = \frac{33}{4}.