MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii aritmetice · exemplu rezolvat 3

Exemplu rezolvat 3 · Care șir este progresie aritmetică?

Se dau șirurile (an)(a_n) și (bn)(b_n) cu termenul general: an=5n+23a_n = \frac{5n+2}{3} și bn=n+1n+2b_n = \frac{n+1}{n+2}, n≥1n \ge 1. Care dintre ele reprezintă o progresie aritmetică?

Care dintre cele două șiruri este progresie aritmetică?

Un șir este progresie aritmetică dacă diferența dintre doi termeni consecutivi, xk−xk−1x_k - x_{k-1}, este aceeași pentru orice k≥2k \ge 2. Calculează această diferență pentru fiecare șir, cu kk oarecare, și vezi dacă mai depinde de kk.

  1. 1. Ce ni se cere

    Avem două șiruri date prin formula termenului general: pui în locul lui nn un număr natural n≥1n \ge 1 și obții termenul de pe locul acela. Trebuie să decidem care dintre ele este progresie aritmetică: poate unul, poate amândouă, poate niciunul.

    Ca să ne facem o idee, calculăm primii trei termeni din fiecare:

    nnan=5n+23a_n = \frac{5n+2}{3}bn=n+1n+2b_n = \frac{n+1}{n+2}
    1173\frac7323\frac23
    22123=4\frac{12}{3} = 434\frac34
    33173\frac{17}{3}45\frac45
    Câțiva termeni ne dau o bănuială, dar nu o dovadă: un șir are o infinitate de termeni și nu-i putem calcula pe toți. Ne trebuie un calcul care să-i acopere pe toți odată.

  2. 2. Ideea: diferența a doi termeni consecutivi, pentru orice kk

    Din definiția din breviar, într-o progresie aritmetică fiecare termen este cel dinainte plus rația, deci diferența xk−xk−1{x_k - x_{k-1}} este mereu aceeași, egală cu rr. Și invers: dacă diferența este aceeași pentru orice k≥2k \ge 2, șirul este progresie aritmetică.

    Așa că pentru fiecare șir calculăm diferența dintre termenul de pe locul kk și cel de pe locul k−1k - 1, unde k≥2k \ge 2 este un număr oarecare, nu unul anume. Dacă rezultatul nu mai conține kk, diferența e aceeași pentru toate locurile.

    Ca să scrii termenul de pe locul k−1k - 1, înlocuiești nn cu k−1k - 1 peste tot în formulă.

    Verifică-te

    Cum se scrie ak−1a_{k-1} pentru an=5n+23a_n = \frac{5n+2}{3}?

  3. 3. Diferența pentru (an)(a_n)

    Cele două fracții au același numitor, 3, așa că scazi numărătorii:
    ak−ak−1=5k+23−5k−33a_k - a_{k-1} = \dfrac{5k+2}{3} - \dfrac{5k-3}{3}
    ak−ak−1=5k+2−(5k−3)3\begin{aligned} &a_k - a_{k-1} \\ &= \dfrac{5k+2-(5k-3)}{3} \end{aligned}
    Pune al doilea numărător în paranteză: minusul se aplică întregului numărător.

    Verifică-te

    Cât dă diferența?

    Rezultatul, 53\frac53, nu conține kk. Asta înseamnă că oricare doi termeni consecutivi diferă prin același număr, 53\frac53. Deci (an)(a_n) este progresie aritmetică, cu rația r=53r = \frac53.

    Se potrivește cu primii termeni din tabel: 4−73=123−73=534 - \frac73 = \frac{12}{3} - \frac73 = \frac53 ✓

  4. 4. Diferența pentru (bn)(b_n)

    Termenul de pe locul k−1k - 1: înlocuiești nn cu k−1k - 1 în bn=n+1n+2b_n = \frac{n+1}{n+2}.
    bk−1=(k−1)+1(k−1)+2=kk+1b_{k-1} = \dfrac{(k-1)+1}{(k-1)+2} = \dfrac{k}{k+1}
    bk−bk−1=k+1k+2−kk+1b_k - b_{k-1} = \dfrac{k+1}{k+2} - \dfrac{k}{k+1}
    Acum numitorii diferă, deci aduci fracțiile la același numitor, ca la fracțiile cu litere din gimnaziu. Numitor comun este produsul (k+2)(k+1)(k+2)(k+1): amplifici prima fracție cu k+1k + 1 și a doua cu k+2k + 2.
    bk−bk−1=(k+1)2−k(k+2)(k+2)(k+1)\begin{aligned} &b_k - b_{k-1} \\ &= \dfrac{(k+1)^2 - k(k+2)}{(k+2)(k+1)} \end{aligned}
    Numărătorul primei fracții devine (k+1)(k+1)=(k+1)2(k+1)(k+1) = (k+1)^2, iar al celei de-a doua devine k(k+2)k(k+2).

    Verifică-te

    Cât este numărătorul, (k+1)2−k(k+2)(k+1)^2 - k(k+2)?
    bk−bk−1=1(k+1)(k+2)b_k - b_{k-1} = \dfrac{1}{(k+1)(k+2)}

  5. 5. Concluzia pentru (bn)(b_n)

    De data aceasta rezultatul conține kk: numitorul (k+1)(k+2)(k+1)(k+2) se schimbă de la un loc la altul. Să-l comparăm cu (an)(a_n) pentru câteva valori:
    kkak−ak−1a_k - a_{k-1}bk−bk−1b_k - b_{k-1}
    2253\frac5313⋅4=112\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}
    3353\frac5314⋅5=120\frac{1}{4 \cdot 5} = \frac{1}{20}
    4453\frac5315⋅6=130\frac{1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{30}

    Verifică-te

    Am găsit două diferențe diferite pentru (bn)(b_n), 112\frac{1}{12} și 120\frac{1}{20}. Ajunge asta ca să spunem că (bn)(b_n) nu este progresie aritmetică?
    Deci (bn)(b_n) nu este progresie aritmetică. Se vede și din tabelul de la început: 34−23=112\frac34 - \frac23 = \frac{1}{12}, dar 45−34=120\frac45 - \frac34 = \frac{1}{20}.
Răspuns
Doar (an)(a_n) este progresie aritmetică, cu rația r=53r = \frac53, pentru că ak−ak−1=53{a_k - a_{k-1} = \frac53} pentru orice k≥2k \ge 2. Șirul (bn)(b_n) nu este, pentru că bk−bk−1=1(k+1)(k+2){b_k - b_{k-1} = \frac{1}{(k+1)(k+2)}} depinde de kk (de exemplu, 112\frac{1}{12} pentru k=2k = 2 și 120\frac{1}{20} pentru k=3k = 3).