MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii aritmetice · exemplu rezolvat 4

Exemplu rezolvat 4 · Trei numere în progresie aritmetică

Să se determine x∈Rx \in \mathbb{R} astfel încât numerele 3x−13x - 1, x2+5x^2 + 5, 8x−38x - 3 să fie în progresie aritmetică.

Află toate valorile reale ale lui xx.

Trei numere sunt în progresie aritmetică exact atunci când cel din mijloc este media aritmetică a celorlalte două. Scrie această egalitate pentru numerele date și obții o ecuație de gradul al doilea în xx.

  1. 1. Ce ni se cere

    Cele trei numere depind de xx. De exemplu, pentru x=0x = 0 ele sunt −1-1, 55, −3-3, iar acestea nu sunt în progresie aritmetică: de la −1-1 la 55 urcăm cu 6, apoi de la 55 la −3-3 coborâm cu 8.

    Trebuie să găsim toate numerele reale xx pentru care cele trei numere, luate în ordinea dată, formează o progresie aritmetică. Pot fi una, mai multe sau nicio valoare, așa că ne trebuie o ecuație care să le prindă pe toate.

  2. 2. Ideea: termenul din mijloc este media vecinilor

    Să vedem ce înseamnă pentru trei numere aa, bb, cc să fie în progresie aritmetică cu rația rr. Din bb faci un pas înapoi și unul înainte:
    a=b−r,c=b+ra = b - r, \qquad c = b + r

    Verifică-te

    Cât este atunci suma vecinilor, a+ca + c?
    Din a+c=2ba + c = 2b rezultă b=a+c2b = \frac{a + c}{2}: termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor săi. Aceasta este proprietatea 2 din breviarul culegerii.

  3. 3. Scriem ecuația

    Aici termenul din mijloc este x2+5x^2 + 5, iar vecinii lui sunt 3x−13x - 1 și 8x−38x - 3:
    x2+5=(3x−1)+(8x−3)2x^2 + 5 = \dfrac{(3x - 1) + (8x - 3)}{2}
    Ca să scapi de numitor, înmulțești ambii membri cu 2. În dreapta strângi termenii asemenea: 3x+8x=11x{3x + 8x = 11x} și −1−3=−4{-1 - 3 = -4}.
    2(x2+5)=11x−42(x^2 + 5) = 11x - 4

    Verifică-te

    Desfaci paranteza și treci totul în membrul stâng. Ce ecuație obții?
    2x2−11x+14=02x^2 - 11x + 14 = 0
    Apare x2x^2, deci este o ecuație de gradul al doilea.

  4. 4. Rezolvăm ecuația de gradul al doilea

    Ecuațiile de forma ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 le-ai rezolvat din gimnaziu cu discriminantul Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. Aici a=2a = 2, b=−11b = -11, c=14c = 14. Acum aa, bb, cc sunt coeficienții ecuației, nu termenii progresiei de la pasul 2.
    Δ=(−11)2−4⋅2⋅14\Delta = (-11)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 14

    Verifică-te

    Cât este Δ\Delta?
    Δ>0\Delta > 0, deci ecuația are două soluții reale. Δ=3\sqrt{\Delta} = 3, iar −b=11-b = 11:
    x1,2=−b±Δ2a=11±34x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{11 \pm 3}{4}
    Atenție la semn: b=−11b = -11, deci −b=−(−11)=11-b = -(-11) = 11.
    x1=11−34=84=2x_1 = \dfrac{11 - 3}{4} = \dfrac84 = 2
    x2=11+34=144=72x_2 = \dfrac{11 + 3}{4} = \dfrac{14}{4} = \dfrac72

  5. 5. Verificăm ambele valori

    Pentru x=72=3,5x = \frac72 = 3{,}5 calculezi cele trei numere:
    NumărPentru x=3,5x = 3{,}5
    3x−13x - 110,5−1=9,510{,}5 - 1 = 9{,}5
    x2+5x^2 + 512,25+5=17,2512{,}25 + 5 = 17{,}25
    8x−38x - 328−3=2528 - 3 = 25
    Diferențele dintre numerele vecine:
    17,25−9,5=7,7517{,}25 - 9{,}5 = 7{,}75
    25−17,25=7,7525 - 17{,}25 = 7{,}75
    Sunt egale ✓, deci numerele 9,59{,}5; 17,2517{,}25; 2525 sunt în progresie aritmetică, cu rația 7,75=314{7{,}75 = \frac{31}{4}}.

    Verifică-te

    Acum pentru x=2x = 2: numerele sunt 3⋅2−1=53 \cdot 2 - 1 = 5, 22+5=92^2 + 5 = 9 și 8⋅2−3=138 \cdot 2 - 3 = 13. Sunt în progresie aritmetică? Dacă da, cu ce rație?
Răspuns
Numerele sunt în progresie aritmetică pentru x=2x = 2 (se obțin 55, 99, 1313) și pentru x=72x = \frac72 (se obțin 192\frac{19}{2}, 694\frac{69}{4}, 2525). Deci x∈{2,72}x \in \left\{2, \frac72\right\}.