MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii aritmetice · exemplu rezolvat 5

Exemplu rezolvat 5 · Suma primilor 15 termeni

Să se determine suma SnS_n a primilor nn termeni ai progresiei aritmetice (an)(a_n) știind că a1=3a_1 = 3, r=12r = \frac12 și n=15n = 15.

Află suma S15S_{15}.

Folosește formula Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}. Pentru ea îți trebuie ultimul termen, a15a_{15}, pe care îl afli cu an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r.

  1. 1. Ce ni se cere

    Progresia aritmetică pornește de la a1=3a_1 = 3 și crește la fiecare pas cu r=12=0,5r = \frac12 = 0{,}5. Primii termeni sunt 33; 3,53{,}5; 44; 4,54{,}5; …

    Trebuie să afli suma primilor 15 termeni:

    S15=a1+a2+⋯+a15S_{15} = a_1 + a_2 + \dots + a_{15}
    Ai putea scrie toți cei 15 termeni și să-i aduni unul câte unul, dar e lung și ușor de greșit. Breviarul culegerii dă o formulă care face asta dintr-o dată.

  2. 2. Ideea: formula sumei și de unde vine

    Scrie suma de două ori: o dată de la primul termen la ultimul, apoi invers, de la ultimul la primul:
    Sn=a1+a2+⋯+anS_n = a_1 + a_2 + \dots + a_n
    Sn=an+an−1+⋯+a1S_n = a_n + a_{n-1} + \dots + a_1

    Adună cele două rânduri pe coloane. Prima coloană dă a1+ana_1 + a_n. A doua dă a2+an−1a_2 + a_{n-1}, adică tot a1+ana_1 + a_n: a2a_2 are o rație în plus față de a1a_1, iar an−1a_{n-1} are o rație în minus față de ana_n, așa că rațiile se compensează. La fel la fiecare coloană (proprietatea 3 din breviar).

    Sunt nn coloane, fiecare cu suma a1+ana_1 + a_n, iar cele două rânduri adunate fac 2Sn2S_n:

    2Sn=(a1+an)⋅n2S_n = (a_1 + a_n) \cdot n
    Sn=(a1+an)⋅n2S_n = \dfrac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}
    Împarți la 2, pentru că fiecare termen a fost scris de două ori.
    Știm a1=3a_1 = 3 și n=15n = 15. Mai lipsește ultimul termen, a15a_{15}.

  3. 3. Aflăm ultimul termen, a15a_{15}

    Cu formula termenului general, an=a1+(n−1)ra_n = a_1 + (n - 1)r. Până la locul 15 sunt 15−1=1415 - 1 = 14 pași de câte 12\frac12:
    a15=3+14⋅12a_{15} = 3 + 14 \cdot \frac12

    Verifică-te

    Cât este a15a_{15}?

  4. 4. Calculăm suma

    Înlocuiești în formula sumei a1=3a_1 = 3, a15=10a_{15} = 10 și n=15n = 15:
    S15=(3+10)⋅152=13⋅152S_{15} = \dfrac{(3 + 10) \cdot 15}{2} = \dfrac{13 \cdot 15}{2}

    Verifică-te

    Cât este S15S_{15}?

  5. 5. Verificăm cu a doua formulă

    Breviarul mai dă o formulă pentru sumă, în care nu-ți trebuie ana_n:
    Sn=[2a1+(n−1)r]⋅n2S_n = \dfrac{[2a_1 + (n - 1)r] \cdot n}{2}
    Aici nu apare ana_n: totul se calculează din a1a_1, rr și nn.

    Verifică-te

    Pentru a1=3a_1 = 3, r=12r = \frac12, n=15n = 15, cât este paranteza 2a1+(n−1)r2a_1 + (n - 1)r?
Răspuns
Ultimul termen este a15=10a_{15} = 10, iar suma primilor 15 termeni este S15=1952=97,5S_{15} = \frac{195}{2} = 97{,}5.