Culegere Burtea · Progresii aritmetice · exemplu rezolvat 6

Exemplu rezolvat 6 · Primul termen și rația din două condiții

Să se determine primul termen și rația progresiei aritmetice

(a_n)

știind că

a_2 + a_9 = 17

și

a_3 + a_6 + a_{10} = 27

Află primul termen $a_1$ și rația $r$ .

Scrie fiecare termen din condiții cu formula

a_n = a_1 + (n - 1)r

. Cele două condiții devin două ecuații cu necunoscutele

a_1

și

r

1. Ce ni se cere
Despre progresia aritmetică $(a_n)$ nu știm niciun termen. Știm doar două sume: $a_2 + a_9 = 17$ și $a_3 + a_6 + a_{10} = 27$ .
Trebuie să afli primul termen $a_1$ și rația $r$ . Sunt două necunoscute și avem două condiții, adică exact cât ne trebuie ca să le aflăm.
2. Ideea: scriem totul prin $a_1$ și $r$
În condiții apar cinci termeni diferiți: $a_2$ , $a_3$ , $a_6$ , $a_9$ , $a_{10}$ . Dacă i-am lua ca necunoscute separate, ar fi prea multe.
Dar o progresie aritmetică e complet stabilită de două numere: termenul de pornire $a_1$ și pasul $r$ . Orice termen se scrie prin ei, cu formula termenului general din breviarul culegerii:
$a_n = a_1 + (n - 1)r$
Până la $a_n$ faci $n - 1$ pași de la $a_1$ , iar la fiecare pas aduni $r$ .
Așa face și culegerea: înlocuiește fiecare termen și rămân doar două necunoscute, $a_1$ și $r$ .
$a_2 = a_1 + r$ , $\quad a_9 = a_1 + 8r$
$a_3 = a_1 + 2r$ , $\quad a_6 = a_1 + 5r$
Verifică-te
Termină tu: $a_{10} = \ ?$
3. Cele două condiții devin un sistem
Prima condiție. Înlocuiești $a_2$ și $a_9$ și strângi separat termenii cu $a_1$ și pe cei cu $r$ :
$(a_1 + r) + (a_1 + 8r) = 17$
$2a_1 + 9r = 17$
Doi de $a_1$ , iar rațiile se adună: $1 + 8 = 9$ .
A doua condiție, la fel, cu $a_3$ , $a_6$ și $a_{10}$ :
$\begin{aligned} &(a_1 + 2r) + (a_1 + 5r) \\ &\quad + (a_1 + 9r) = 27 \end{aligned}$
Verifică-te
Strânge termenii: $3a_1 + \square\, r = 27$ . Ce număr intră în pătrățel?
Ai obținut un sistem de două ecuații cu necunoscutele $a_1$ și $r$ :
$\begin{cases} 2a_1 + 9r = 17 \\ 3a_1 + 16r = 27 \end{cases}$
4. Eliminăm pe $a_1$ și aflăm $r$
Culegerea rezolvă sistemul prin metoda reducerii, pe care o știi din gimnaziu: înmulțești ecuațiile cu numere alese astfel încât, adunându-le, o necunoscută să dispară.
Alegem să dispară $a_1$ . Coeficienții lui sunt 2 și 3, iar cel mai mic număr care se împarte la amândoi este 6. Înmulțim prima ecuație cu $-3$ și a doua cu $2$ , ca să obținem $-6a_1$ și $6a_1$ :
$\begin{cases} 2a_1 + 9r = 17 & \mid \cdot (-3) \\ 3a_1 + 16r = 27 & \mid \cdot 2 \end{cases}$
$\begin{cases} -6a_1 - 27r = -51 \\ \phantom{-}6a_1 + 32r = 54 \end{cases}$
Înmulțești fiecare termen al ecuației, inclusiv membrul drept: $17 \cdot (-3) = -51$ și $27 \cdot 2 = 54$ .
Aduni cele două ecuații, membru cu membru. $-6a_1 + 6a_1 = 0$ , deci $a_1$ dispare:
$-27r + 32r = -51 + 54$
$5r = 3 \quad\Rightarrow\quad r = \frac35$
Verifică-te
De ce am înmulțit prima ecuație cu $-3$ și a doua cu $2$ ?
5. Aflăm $a_1$
Acum că știi $r = \frac35$ , îl înlocuiești în una dintre ecuații. Prima are numere mai mici:
$2a_1 + 9 \cdot \frac35 = 17$
$2a_1 + \frac{27}{5} = 17$
$2a_1 = 17 - \frac{27}{5} = \frac{85}{5} - \frac{27}{5} = \frac{58}{5}$
Treci $\frac{27}{5}$ în dreapta, cu semn schimbat, și scrii 17 ca fracție cu numitorul 5.
$a_1 = \frac{58}{5} : 2 = \frac{29}{5}$
Verifică-te
Puteai folosi și a doua ecuație. Ce obții din $3a_1 + 16 \cdot \frac35 = 27$ ?

6. Verificăm în enunț

Cu zecimale e mai ușor de verificat:

a_1 = \frac{29}{5} = 5{,}8

și

r = \frac35 = 0{,}6

. Calculezi termenii din enunț cu

a_n = a_1 + (n - 1)r

Termen	Calcul	Valoare
$a_2$	$5{,}8 + 0{,}6$	$6{,}4$
$a_3$	$5{,}8 + 2 \cdot 0{,}6$	$7$
$a_6$	$5{,}8 + 5 \cdot 0{,}6$	$8{,}8$
$a_9$	$5{,}8 + 8 \cdot 0{,}6$	$10{,}6$
$a_{10}$	$5{,}8 + 9 \cdot 0{,}6$	$11{,}2$

$a_2 + a_9 = 6{,}4 + 10{,}6 = 17$ ✓

$a_3 + a_6 + a_{10} = 7 + 8{,}8 + 11{,}2 = 27$ ✓

Ambele condiții sunt îndeplinite, deci rezultatul e bun.

Răspuns

Primul termen este

a_1 = \frac{29}{5} = 5{,}8

, iar rația este

r = \frac35 = 0{,}6

Atenție: în culegere, la rezolvare, apare altceva

În culegere, la rezolvare, prima ecuație a sistemului este scrisă

2a_1 + 10r = 17

, iar rezultatul dat este

a_1 = 1

și

r = \frac32

Corect este

a_2 = a_1 + r

și

a_9 = a_1 + 8r

, deci

a_2 + a_9 = 2a_1 + 9r

, nu

2a_1 + 10r

. Cu

a_1 = 1

și

r = \frac32

ar ieși

a_2 = 2{,}5

și

a_9 = 13

, adică

a_2 + a_9 = 15{,}5 \ne 17

: rezultatul din culegere nu verifică enunțul. El s-ar potrivi dacă prima condiție ar fi

a_2 + a_{10} = 17

a_3 + a_9 = 17

. Cu ecuația corectă,

2a_1 + 9r = 17

, ies

a_1 = \frac{29}{5}

și

r = \frac35

Exemplu rezolvat 6 · Primul termen și rația din două condiții

Află primul termen a1a_1a1​ și rația rrr.

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: scriem totul prin a1a_1a1​ și rrr ✓

3. Cele două condiții devin un sistem ✓

4. Eliminăm pe a1a_1a1​ și aflăm rrr ✓

5. Aflăm a1a_1a1​ ✓

6. Verificăm în enunț ✓

Află primul termen $a_1$ și rația $r$ .

1. Ce ni se cere

2. Ideea: scriem totul prin $a_1$ și $r$

3. Cele două condiții devin un sistem

4. Eliminăm pe $a_1$ și aflăm $r$

5. Aflăm $a_1$

6. Verificăm în enunț