Exercițiul 1 · Termeni și rație din relații date

a) $b_5 = 10$ , $b_8 = -10$ . Calculați $b_6$ și $b_{13}$ .

Scrie

b_5

și

b_8

cu formula

b_n = b_1 \cdot q^{n-1}

și împarte cele două relații:

b_1

se simplifică și rămâne o ecuație doar în

q

.

1. Ce ni se cere
Știm doi termeni ai progresiei, $b_5 = 10$ și $b_8 = -10$ , și vrem alți doi: $b_6$ și $b_{13}$ .
O progresie geometrică e stabilită complet de primul termen $b_1$ și de rație $q$ . Dacă le aflăm pe amândouă, putem calcula orice termen. Avem două condiții și două necunoscute, exact ca în exemplul rezolvat 5, deci lucrăm la fel: scriem condițiile prin $b_1$ și $q$ , apoi le împărțim.
2. Scriem $b_5$ și $b_8$ prin $b_1$ și $q$
Formula termenului general din breviar este
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
De la $b_1$ până la $b_n$ sunt $n - 1$ pași, iar la fiecare pas înmulțești cu $q$ .
Pentru $b_5$ sunt patru pași, deci $b_5 = b_1 q^4$ .
Verifică-te
Cum se scrie $b_8$ prin $b_1$ și $q$ ?
Cele două condiții formează un sistem cu necunoscutele $b_1$ și $q$ :
$\begin{cases} b_1 q^4 = 10 \\ b_1 q^7 = -10 \end{cases}$
3. Împărțim relațiile și aflăm $q$
$b_1$ apare înmulțit cu o putere a lui $q$ în ambele relații, deci ca să dispară îl împărțim: culegerea face raportul dintre $b_8$ și $b_5$ . Avem voie, pentru că $b_5 = 10 \neq 0$ , deci nici $b_1$ , nici $q$ nu sunt 0.
$\dfrac{b_1 q^7}{b_1 q^4} = \dfrac{-10}{10}$
La împărțirea puterilor cu aceeași bază scazi exponenții, ca în gimnaziu: $q^7 : q^4 = q^3$ . Obținem
$q^3 = -1$
Verifică-te
Care este numărul real $q$ cu $q^3 = -1$ ?
Nu există altă soluție: un număr pozitiv la puterea a treia e pozitiv, iar două numere negative diferite au cuburi diferite. Deci $q = -1$ .
4. Aflăm $b_1$ , apoi $b_6$ și $b_{13}$
Înlocuim $q = -1$ în prima relație, $b_1 q^4 = 10$ . Cum $(-1)^4 = 1$ , rămâne $b_1 = 10$ .
Acum calculăm termenii ceruți cu formula termenului general:
$\begin{aligned} b_6 &= b_1 q^5 = 10 \cdot (-1)^5 \\ b_{13} &= b_1 q^{12} = 10 \cdot (-1)^{12} \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $b_{13}$ ?
Pentru $b_6$ , exponentul 5 este impar, deci $(-1)^5 = -1$ și $b_6 = -10$ .
5. Verificăm în enunț
Cu $b_1 = 10$ și $q = -1$ , progresia doar își schimbă semnul la fiecare pas:
$10$ $\cdot (-1)$ $-10$ $\cdot (-1)$ $10$ $\cdot (-1)$ $-10$ $\cdot (-1)$ $10$ $\cdot (-1)$ $-10$ $\cdot (-1)$ $10$ $\cdot (-1)$ $-10$
Acestea sunt $b_1, \dots, b_8$ . Al cincilea termen este $b_5 = 10$ ✓, al optulea este $b_8 = -10$ ✓, iar $b_6 = -10$ . Termenii cu rang impar sunt $10$ și cei cu rang par sunt $-10$ , deci și $b_{13} = 10$ ✓.

Răspuns

Rația este

q = -1

, primul termen este

b_1 = 10

, iar

b_6 = -10

și

b_{13} = 10

.

b) $b_5 - b_1 = 80$ , $b_4 - b_2 = 24$ . Calculați $b_1$ și $q$ .

Metoda de la a): scrie fiecare termen prin

b_1

și

q

, scoate

b_1

factor comun și împarte relațiile. Rămâne o ecuație de gradul al doilea în

q

, cu două rădăcini: urmărește ambele.

1. Ce e nou: relațiile sunt diferențe
Metoda e cea de la a): scriem termenii prin $b_1$ și $q$ , apoi împărțim relațiile. Aici însă apar diferențe, așa că mai întâi scoatem factorul comun $b_1$ (din gimnaziu):
$\begin{aligned} b_5 - b_1 &= b_1 q^4 - b_1 \\ &= b_1 (q^4 - 1) \\ b_4 - b_2 &= b_1 q^3 - b_1 q \\ &= b_1 q (q^2 - 1) \end{aligned}$
Mai descompunem $q^4 - 1$ cu formula diferenței de pătrate, tot din gimnaziu: $q^4 - 1 = (q^2)^2 - 1^2 = (q^2 - 1)(q^2 + 1)$ . Sistemul devine
$\begin{cases} b_1 (q^2 - 1)(q^2 + 1) = 80 \\ b_1 q (q^2 - 1) = 24 \end{cases}$
Împărțim prima relație la a doua. Se poate: $24 \neq 0$ , deci $b_1$ , $q$ și $q^2 - 1$ nu sunt 0.
Verifică-te
Ce rămâne în stânga după simplificare?
În dreapta, $80 : 24 = \frac{10}{3}$ . Ecuația pentru $q$ este
$\dfrac{q^2 + 1}{q} = \dfrac{10}{3}$
2. Ecuația de gradul al doilea în $q$
Înmulțim cu $3q$ și mutăm totul într-o parte:
$\begin{aligned} 3(q^2 + 1) &= 10q \\ 3q^2 - 10q + 3 &= 0 \end{aligned}$
Aplicăm formula rădăcinilor de la ecuația de gradul al doilea (din gimnaziu): $\Delta = 100 - 36 = 64$ , deci
$q = \dfrac{10 \pm 8}{6}$
Verifică-te
Câte valori ale lui $q$ obținem?
3. Pentru fiecare $q$ aflăm $b_1$
Fiecare rație dă un prim termen, din a doua relație (sau din prima). Pentru $q = 3$ , prima relație este $b_1 (3^4 - 1) = 80$ , adică $80 \, b_1 = 80$ , deci $b_1 = 1$ .
Pentru $q = \frac13$ avem $q^4 = \frac{1}{81}$ , deci
$\begin{aligned} b_1 \left( \dfrac{1}{81} - 1 \right) &= 80 \\ -\dfrac{80}{81}\, b_1 &= 80 \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $b_1$ ?

4. Verificăm: sunt două soluții

Ecuația în

q

a avut două rădăcini, iar împărțirea nu a pierdut nicio soluție. Ne asigurăm că ambele perechi verifică enunțul:

Relația	$b_1 = 1$ , $q = 3$	$b_1 = -81$ , $q = \frac13$
$b_5 - b_1$	$81 - 1 = 80$ ✓	$-1 + 81 = 80$ ✓
$b_4 - b_2$	$27 - 3 = 24$ ✓	$-3 + 27 = 24$ ✓

Termenii celei de-a doua progresii sunt

-81, -27, -9, -3, -1, \dots

, deci

b_5 = -1

,

b_4 = -3

,

b_2 = -27

. Problema are două soluții și amândouă sunt răspuns.

Răspuns

Sunt două soluții:

b_1 = 1

și

q = 3

, sau

b_1 = -81

și

q = \frac13

.

c) $b_4 + b_1 = \frac{7}{16}$ , $b_3 - b_2 + b_1 = \frac{7}{8}$ . Calculați $b_1$ și $q$ .

Scoate

b_1

factor comun în ambele relații. Apoi folosește

1 + q^3 = (1 + q)(1 - q + q^2)

și împarte relațiile.

1. Ce e nou: o sumă de cuburi
Metoda e cea de la a) și b): scriem termenii prin $b_1$ și $q$ , scoatem $b_1$ factor comun și împărțim relațiile.
$\begin{aligned} b_4 + b_1 &= b_1 q^3 + b_1 \\ &= b_1 (q^3 + 1) \\ b_3 - b_2 + b_1 &= b_1 q^2 \\ &\quad - b_1 q + b_1 \\ &= b_1 (q^2 - q + 1) \end{aligned}$
Paranteza $q^3 + 1$ se descompune cu formula sumei de cuburi, din gimnaziu: $x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ . Cu $x = q$ și $y = 1$ obținem $q^3 + 1 = (q + 1)(q^2 - q + 1)$ , iar $q^2 - q + 1$ este chiar factorul din a doua relație.
$\begin{cases} b_1 (q + 1)(q^2 - q + 1) = \dfrac{7}{16} \\ b_1 (q^2 - q + 1) = \dfrac{7}{8} \end{cases}$
Împărțim prima relație la a doua. Se poate: $\frac78 \neq 0$ , deci nici $b_1$ , nici $q^2 - q + 1$ nu sunt 0.
Verifică-te
Ce rămâne în stânga după simplificare?
În dreapta, $\frac{7}{16} : \frac{7}{8} = \frac12$ , deci $q + 1 = \frac12$ .
2. Aflăm $q$ și $b_1$
Din $q + 1 = \frac12$ obținem $q = -\frac12$ . Îl înlocuim în a doua relație, unde $q^2 - q + 1 = \frac14 + \frac12 + 1 = \frac74$ :
$\dfrac74 \, b_1 = \dfrac78$
Verifică-te
Cât este $b_1$ ?
3. Verificăm în enunț
Cu $b_1 = \frac12$ și $q = -\frac12$ termenii sunt:
$\tfrac12 \to -\tfrac14 \to \tfrac18 \to -\tfrac1{16}$
Aceștia sunt $b_1, b_2, b_3, b_4$ .
$b_4 + b_1 = -\frac{1}{16} + \frac12 = \frac{7}{16}$ ✓ și $b_3 - b_2 + b_1 = \frac18 + \frac14 + \frac12 = \frac78$ ✓.

Răspuns

Primul termen este

b_1 = \frac12

, iar rația este

q = -\frac12

.

d) $b_5 b_6 b_7 = 729$ . Calculați $b_6$ .

Termenii

b_5

și

b_7

sunt vecinii lui

b_6

:

b_5 = b_6 : q

și

b_7 = b_6 \cdot q

. Ce rămâne din produsul

b_5 b_6 b_7

?

1. Ce e nou: nu avem nevoie de $b_1$
Aici nu se cere să aflăm $b_1$ și $q$ . Se dă doar produsul a trei termeni consecutivi, iar $b_6$ este chiar cel din mijloc. Putem ocoli sistemul cu o proprietate a progresiilor.
Din definiție, fiecare termen este termenul dinainte înmulțit cu $q$ . Deci $b_7 = b_6 \cdot q$ , iar $b_6 = b_5 \cdot q$ înseamnă $b_5 = \dfrac{b_6}{q}$ . Vecinii lui $b_6$ sunt așadar $\dfrac{b_6}{q}$ și $b_6 q$ . Înlocuim în produs:
$b_5 b_6 b_7 = \dfrac{b_6}{q} \cdot b_6 \cdot b_6 q$
Verifică-te
Cât este produsul $b_5 b_6 b_7$ , scris prin $b_6$ ?
Aceasta este proprietatea din breviar: $b_5 \cdot b_7 = b_6^2$ , deoarece termenii egal depărtați de $b_6$ au produsul $b_6^2$ .
2. Rezolvăm $b_6^3 = 729$
Ecuația este $b_6^3 = 729$ . Căutăm un număr care, ridicat la puterea a treia, dă 729. Avem $9^3 = 9 \cdot 9 \cdot 9 = 81 \cdot 9 = 729$ , deci $b_6 = 9$ .
Ca la a), exponentul 3 este impar: un număr negativ la cub e negativ, iar pe numerele pozitive puterea a treia crește. Deci $9$ este singura soluție reală.
Verifică-te
Rația nu se cunoaște. De ce nu contează pentru $b_6$ ?

3. Verificăm cu două progresii

Rația nu se cunoaște, deci există mai multe progresii cu

b_6 = 9

. Luăm două și calculăm produsul

b_5 b_6 b_7

:

Rația	$b_5, b_6, b_7$	Produsul
$q = 3$	$3,\ 9,\ 27$	$3 \cdot 9 \cdot 27 = 729$ ✓
$q = 1$	$9,\ 9,\ 9$	$9 \cdot 9 \cdot 9 = 729$ ✓

Răspuns

Termenul din mijloc este

b_6 = 9

.

Exercițiul 1 · Termeni și rație din relații date

a)b5=10b_5 = 10b5​=10, b8=−10b_8 = -10b8​=−10. Calculați b6b_6b6​ și b13b_{13}b13​.

1. Ce ni se cere ✓

2. Scriem b5b_5b5​ și b8b_8b8​ prin b1b_1b1​ și qqq ✓

3. Împărțim relațiile și aflăm qqq ✓

4. Aflăm b1b_1b1​, apoi b6b_6b6​ și b13b_{13}b13​ ✓

5. Verificăm în enunț ✓

b)b5−b1=80b_5 - b_1 = 80b5​−b1​=80, b4−b2=24b_4 - b_2 = 24b4​−b2​=24. Calculați b1b_1b1​ și qqq.

1. Ce e nou: relațiile sunt diferențe ✓

2. Ecuația de gradul al doilea în qqq ✓

3. Pentru fiecare qqq aflăm b1b_1b1​ ✓

4. Verificăm: sunt două soluții ✓

c)b4+b1=716b_4 + b_1 = \frac{7}{16}b4​+b1​=167​, b3−b2+b1=78b_3 - b_2 + b_1 = \frac{7}{8}b3​−b2​+b1​=87​. Calculați b1b_1b1​ și qqq.

1. Ce e nou: o sumă de cuburi ✓

2. Aflăm qqq și b1b_1b1​ ✓

3. Verificăm în enunț ✓

d)b5b6b7=729b_5 b_6 b_7 = 729b5​b6​b7​=729. Calculați b6b_6b6​.

1. Ce e nou: nu avem nevoie de b1b_1b1​ ✓

2. Rezolvăm b63=729b_6^3 = 729b63​=729 ✓

3. Verificăm cu două progresii ✓

a) $b_5 = 10$ , $b_8 = -10$ . Calculați $b_6$ și $b_{13}$ .

1. Ce ni se cere

2. Scriem $b_5$ și $b_8$ prin $b_1$ și $q$

3. Împărțim relațiile și aflăm $q$

4. Aflăm $b_1$ , apoi $b_6$ și $b_{13}$

5. Verificăm în enunț

b) $b_5 - b_1 = 80$ , $b_4 - b_2 = 24$ . Calculați $b_1$ și $q$ .

1. Ce e nou: relațiile sunt diferențe

2. Ecuația de gradul al doilea în $q$

3. Pentru fiecare $q$ aflăm $b_1$

4. Verificăm: sunt două soluții

c) $b_4 + b_1 = \frac{7}{16}$ , $b_3 - b_2 + b_1 = \frac{7}{8}$ . Calculați $b_1$ și $q$ .

1. Ce e nou: o sumă de cuburi

2. Aflăm $q$ și $b_1$

3. Verificăm în enunț

d) $b_5 b_6 b_7 = 729$ . Calculați $b_6$ .

1. Ce e nou: nu avem nevoie de $b_1$

2. Rezolvăm $b_6^3 = 729$

3. Verificăm cu două progresii