MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii geometrice · ex. 10

Exercițiul 10 · Trei numere în progresie geometrică crescătoare

Suma a trei numere în progresie geometrică crescătoare este 26. Dacă la aceste numere se adaugă 1, 6, respectiv 3, se formează o progresie aritmetică. Aflați numerele.

Află cele trei numere.

Scrie numerele ca b, bq, bq2b,\ bq,\ bq^2. Suma lor dă o ecuație. Apoi b+1, bq+6, bq2+3b + 1,\ bq + 6,\ bq^2 + 3 sunt în progresie aritmetică, deci cel din mijloc este media aritmetică a vecinilor: a doua ecuație. Împarte-le ca să scapi de bb.

  1. 1. Ce ni se cere

    Căutăm trei numere x1,x2,x3x_1, x_2, x_3, care formează o progresie geometrică crescătoare și au suma 26. În plus, adăugând numerele 1, 6 și 3 la cele căutate, se obține o progresie aritmetică.

    Ultima condiție se poate citi greșit, așa că o încercăm întâi pe un exemplu.

    Verifică-te

    Dacă numerele căutate ar fi 2,5,72, 5, 7, care ar fi cele trei numere ce trebuie să fie în progresie aritmetică?

  2. 2. Ideea: bb, qq și suma

    Ca la exemplele rezolvate 2 și 5 de la progresii geometrice, scriem cele trei numere prin primul termen bb și rația qq, cu xn=b⋅qn−1x_n = b \cdot q^{n-1}:
    x1=b,x2=bq,x3=bq2x_1 = b, \quad x_2 = bq, \quad x_3 = bq^2
    Suma lor este 26. Dăm factor comun pe bb:
    b+bq+bq2=26b (1+q+q2)=26(1)\begin{aligned} b + bq + bq^2 &= 26 \\ b\,(1 + q + q^2) &= 26 \qquad (1) \end{aligned}
    Mai avem nevoie de a doua ecuație, pe care o scoate condiția cu progresia aritmetică.

  3. 3. Ecuația din progresia aritmetică

    În progresia aritmetică b+1, bq+6, bq2+3b + 1,\ bq + 6,\ bq^2 + 3, termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor (exemplul rezolvat 4 de la progresii aritmetice), adică de două ori termenul din mijloc este suma vecinilor:
    2(bq+6)=(b+1)+(bq2+3)\begin{aligned} 2(bq + 6) &= (b + 1) \\ &\quad + (bq^2 + 3) \end{aligned}
    Desfacem parantezele: 2bq+12=bq2+b+42bq + 12 = bq^2 + b + 4. Mutăm termenii cu bb în dreapta și numerele în stânga, apoi dăm factor comun pe bb. Paranteza care rămâne este un pătrat perfect din gimnaziu: q2−2q+1=(q−1)2q^2 - 2q + 1 = (q - 1)^2.
    bq2−2bq+b=b (q2−2q+1)=b (q−1)2\begin{aligned} &bq^2 - 2bq + b \\ &= b\,(q^2 - 2q + 1) \\ &= b\,(q - 1)^2 \end{aligned}

    Verifică-te

    Ce număr rămâne în stânga, dacă din 2bq+12=bq2+b+42bq + 12 = bq^2 + b + 4 muți termenii cu bb în dreapta și numerele în stânga?
    b (q−1)2=8(2)b\,(q - 1)^2 = 8 \qquad (2)

  4. 4. Împărțim ecuațiile și aflăm qq

    Împărțim (1) la (2), ca să dispară bb (se poate, pentru că (2) arată că b (q−1)2=8b\,(q - 1)^2 = 8 nu este 0, deci nici bb, nici q−1q - 1 nu sunt 0):
    b (1+q+q2)b (q−1)2=2681+q+q2(q−1)2=134\begin{aligned} \frac{b\,(1 + q + q^2)}{b\,(q - 1)^2} &= \frac{26}{8} \\ \frac{1 + q + q^2}{(q - 1)^2} &= \frac{13}{4} \end{aligned}
    Înmulțim în cruce și desfacem (q−1)2=q2−2q+1(q - 1)^2 = q^2 - 2q + 1 în a doua linie:
    4(1+q+q2)=13(q−1)24+4q+4q2=13q2−26q+13\begin{aligned} 4(1 + q + q^2) &= 13(q - 1)^2 \\ 4 + 4q + 4q^2 &= 13q^2 \\ &\quad - 26q + 13 \end{aligned}
    Aducem totul în dreapta și strângem termenii asemenea: 0=9q2−30q+90 = 9q^2 - 30q + 9. Împărțim cu 3:
    3q2−10q+3=03q^2 - 10q + 3 = 0
    Ecuație de gradul al doilea, rezolvată cu formula din gimnaziu: Δ=(−10)2−4⋅3⋅3=64\Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 64, iar q=10±82⋅3q = \frac{10 \pm 8}{2 \cdot 3}.

    Verifică-te

    Ce soluții are ecuația 3q2−10q+3=03q^2 - 10q + 3 = 0?

  5. 5. Alegem rația potrivită

    Avem două rații. Enunțul cere progresie crescătoare, iar suma 26 este pozitivă, deci primul termen bb e pozitiv (din (1), pentru că 1+q+q2>01 + q + q^2 > 0 oricare ar fi qq).

    Verifică-te

    Ce rație are o progresie geometrică crescătoare cu primul termen pozitiv?
    Calculăm, pentru fiecare rație, primul termen din (1) și cele trei numere:
    RațiaPrimul termen bbNumerele
    q=3q = 3261+3+9=2\frac{26}{1 + 3 + 9} = 22, 6, 182,\ 6,\ 18
    q=13q = \frac13261+13+19=18\frac{26}{1 + \frac13 + \frac19} = 1818, 6, 218,\ 6,\ 2
    Pentru q=3>1q = 3 > 1 numerele cresc: 2,6,182, 6, 18. Pentru q=13q = \frac13 ele scad, deci a doua variantă nu respectă enunțul („crescătoare”) și o respingem.

  6. 6. Verificăm

    Suma: 2+6+18=262 + 6 + 18 = 26 ✓. Adăugăm 1, 6, respectiv 3:
    2+1=36+6=1218+3=21\begin{aligned} 2 + 1 &= 3 \\ 6 + 6 &= 12 \\ 18 + 3 &= 21 \end{aligned}
    Numerele 3,12,213, 12, 21 cresc din 9 în 9, deci sunt în progresie aritmetică ✓
Răspuns
Numerele sunt 2, 6, 182,\ 6,\ 18, în progresie geometrică de rație 33. Adăugând 1, 6, respectiv 3, obținem 3, 12, 213,\ 12,\ 21, progresie aritmetică. Soluția 18, 6, 218,\ 6,\ 2 este respinsă, pentru că progresia ei este descrescătoare.