MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii geometrice · ex. 11

Exercițiul 11 · Rația din două diferențe

Numerele reale pozitive a,b,c,da, b, c, d sunt în progresie geometrică. Știind că d−a=7d - a = 7 și c−b=2c - b = 2, să se afle rația progresiei.

Află rația qq.

Scrie b,c,db, c, d prin aa și qq. Cele două condiții dau două ecuații cu aa și qq. Împarte-le, ca să dispară aa, și simplifică cu q−1q - 1.

  1. 1. Ce ni se cere

    Patru numere pozitive a,b,c,da, b, c, d sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, în această ordine. Nu cunoaștem nici aa, nici rația qq, dar cunoaștem două diferențe: d−a=7d - a = 7 și c−b=2c - b = 2. Avem două necunoscute și două ecuații, deci sistemul se poate rezolva.

    Ca în exemplul rezolvat 5, scriem totul prin primul termen și rație, cu formula xn=x1⋅qn−1x_n = x_1 \cdot q^{n-1}.

    Verifică-te

    Cum se scriu a,b,c,da, b, c, d prin aa și qq?

  2. 2. Cele două ecuații

    Înlocuim d=aq3d = aq^3 și aa în d−a=7d - a = 7, apoi dăm factor comun pe aa:
    aq3−a=7a (q3−1)=7(1)\begin{aligned} aq^3 - a &= 7 \\ a\,(q^3 - 1) &= 7 \qquad (1) \end{aligned}
    La fel pentru c−b=2c - b = 2, cu c=aq2c = aq^2 și b=aqb = aq. Aici factorul comun este aqaq:

    Verifică-te

    Cum arată aq2−aqaq^2 - aq după ce dai factor comun pe aqaq?
    aq (q−1)=2(2)aq\,(q - 1) = 2 \qquad (2)

  3. 3. Împărțim ecuațiile și aflăm qq

    Ca la exemplul rezolvat 5, împărțim (1) la (2), ca să dispară aa. Se poate: a≠0a \ne 0 (primul termen al unei progresii geometrice nu e 0), q≠0q \ne 0, iar q≠1q \ne 1, pentru că dacă q=1q = 1 am avea d−a=0d - a = 0, nu 7.

    Pentru q3−1q^3 - 1 folosim formula din gimnaziu x3−1=(x−1)(x2+x+1)x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1):

    a (q−1)(q2+q+1)aq (q−1)=72\frac{a\,(q - 1)(q^2 + q + 1)}{aq\,(q - 1)} = \frac72

    Verifică-te

    Ce rămâne în partea stângă după ce simplifici cu aa și cu q−1q - 1?
    Înmulțim în cruce: 2(q2+q+1)=7q2(q^2 + q + 1) = 7q, adică 2q2+2q+2−7q=02q^2 + 2q + 2 - 7q = 0:
    2q2−5q+2=02q^2 - 5q + 2 = 0
    Cu formula din gimnaziu: Δ=25−16=9\Delta = 25 - 16 = 9, deci q=5±34q = \frac{5 \pm 3}{4}.

    Verifică-te

    Ce soluții are 2q2−5q+2=02q^2 - 5q + 2 = 0?

  4. 4. Ce soluție convine?

    Sunt două rații posibile, dar una singură poate fi păstrată. Ca să le deosebim, aflăm pentru fiecare qq primul termen din (2), a=2q (q−1)a = \frac{2}{q\,(q - 1)}, și ne uităm la numerele obținute.

    Verifică-te

    Care condiție din enunț poate elimina una dintre cele două rații?
    RațiaPrimul termen aaTermenii
    q=2q = 222⋅1=1\frac{2}{2 \cdot 1} = 11, 2, 4, 81,\ 2,\ 4,\ 8
    q=12q = \frac12212⋅(−12)=−8\frac{2}{\frac12 \cdot \left(-\frac12\right)} = -8−8, −4, −2, −1-8,\ -4,\ -2,\ -1

    Pentru q=12q = \frac12 primul termen este −8<0-8 < 0, deci numerele nu sunt pozitive și respingem această rație. Rămâne q=2q = 2.

    Verificare: pentru 1,2,4,81, 2, 4, 8 avem d−a=8−1=7d - a = 8 - 1 = 7 ✓ și c−b=4−2=2c - b = 4 - 2 = 2 ✓. Toate numerele sunt pozitive ✓

Răspuns
Rația este q=2q = 2, iar numerele sunt 1, 2, 4, 81,\ 2,\ 4,\ 8. Rația q=12q = \frac12 este respinsă, pentru că ar da a=−8<0a = -8 < 0.