Exercițiul 18 · Valori ale lui x pentru care trei expresii sunt în progresie geometrică

a) $5 - x,\ x + 7,\ 3x + 11$

Pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul vecinilor:

(x + 7)^2 = (5 - x)(3x + 11)

. Rezolvă ecuația de gradul al doilea, apoi verifică dacă niciun termen nu e 0.

1. Ce ni se cere
Pentru fiecare valoare a lui $x$ , expresiile dintr-un triplet devin trei numere. Căutăm valorile lui $x$ pentru care cele trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, în ordinea dată. La a): primul este $5 - x$ , al doilea $x + 7$ , al treilea $3x + 11$ .
Avem de făcut două lucruri: să găsim valorile lui $x$ pentru care numerele par să fie în progresie geometrică și apoi să verificăm, pentru fiecare valoare găsită, că numerele chiar respectă definiția din breviar.
2. Ideea: pătratul termenului din mijloc
Pentru trei termeni consecutivi $a, b, c$ ai unei progresii geometrice avem $a = \frac{b}{q}$ și $c = bq$ , deci $a \cdot c = b^2$ . Este relația din proprietatea 2 a breviarului (exemplul rezolvat 4). Aici nimeni nu spune că termenii ar fi pozitivi, așa că scriem relația cu pătrate, fără radical.
Verifică-te
De ce, după ce rezolvi ecuația $b^2 = a \cdot c$ , verifici la final că niciun termen nu este 0?
Relația merge și invers, dar doar cu numere nenule: dacă $b^2 = a \cdot c$ și $a, b, c \ne 0$ , atunci $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$ . Același număr, rația, ne duce de la $a$ la $b$ și de la $b$ la $c$ .
3. Scriem și rezolvăm ecuația
La a), termenul din mijloc este $x + 7$ , iar vecinii sunt $5 - x$ și $3x + 11$ :
$(x + 7)^2 = (5 - x)(3x + 11)$
În stânga: $(x + 7)^2 = x^2 + 14x + 49$ . În dreapta înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare din a doua.
Verifică-te
Cât este $(5 - x)(3x + 11)$ , după ce strângi termenii?
Punem totul în stânga: $x^2 + 14x + 49 + 3x^2 - 4x - 55 = 0$ . Strângem termenii asemenea: $4x^2 + 10x - 6 = 0$ . Împărțim cu 2:
$2x^2 + 5x - 3 = 0$
Formula din gimnaziu: $\Delta = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$ , deci $x = \frac{-5 \pm 7}{4}$ .
Verifică-te
Ce soluții are $2x^2 + 5x - 3 = 0$ ?
4. Verificăm că niciun termen nu e 0
Înlocuim fiecare soluție în cele trei expresii:
Expresia $x = \frac12$ $x = -3$
$5 - x$ $4{,}5$ $8$
$x + 7$ $7{,}5$ $4$
$3x + 11$ $12{,}5$ $2$
Niciun termen nu e 0, deci ambele valori sunt bune. Mai verificăm că numerele sunt cu adevărat în progresie geometrică, prin raportul fiecărui termen la cel dinainte.
Verifică-te
Pentru $x = -3$ , termenii sunt $8, 4, 2$ . Care este rația?
Pentru $x = \frac12$ , termenii $4{,}5;\ 7{,}5;\ 12{,}5$ au rația $\frac{7{,}5}{4{,}5} = \frac{12{,}5}{7{,}5} = \frac53$ ✓

Expresia	$x = \frac12$	$x = -3$
$5 - x$	$4{,}5$	$8$
$x + 7$	$7{,}5$	$4$
$3x + 11$	$12{,}5$	$2$

Răspuns

x \in \left\{-3,\ \frac12\right\}

. Pentru

x = -3

termenii sunt

8, 4, 2

, cu rația

\frac12

, iar pentru

x = \frac12

sunt

4{,}5;\ 7{,}5;\ 12{,}5

, cu rația

\frac53

.

b) $x - 1,\ x + 1,\ 2x + 5$

Ca la a):

(x + 1)^2 = (x - 1)(2x + 5)

. Atenție: nu cere nimeni termeni pozitivi, deci o soluție cu termeni negativi poate fi bună.

1. Scriem și rezolvăm ecuația
Metoda e cea de la a): pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul vecinilor, apoi verificăm că niciun termen nu e 0. Aici termenul din mijloc este $x + 1$ :
$(x + 1)^2 = (x - 1)(2x + 5)$
Stânga: $x^2 + 2x + 1$ . Dreapta: $2x^2 + 5x - 2x - 5 = 2x^2 + 3x - 5$ . Punem totul în dreapta (așa $x^2$ rămâne pozitiv) și strângem termenii asemenea:
$\begin{aligned} 0 &= 2x^2 + 3x - 5 \\ &\quad - x^2 - 2x - 1 \\ &= x^2 + x - 6 \end{aligned}$
Verifică-te
Ce soluții are $x^2 + x - 6 = 0$ ?
2. Verificăm termenii
Nou față de a): pentru una dintre valori, toți cei trei termeni ies negativi. Înainte să vezi calculul, întreabă-te dacă asta îi strică.
Verifică-te
Poate o progresie geometrică să aibă toți termenii negativi?
Expresia $x = 2$ $x = -3$
$x - 1$ $1$ $-4$
$x + 1$ $3$ $-2$
$2x + 5$ $9$ $-1$
Niciun termen nu e 0. Pentru $x = 2$ rația este $3$ ( $3 : 1 = 9 : 3$ ), iar pentru $x = -3$ rația este $\frac12$ ( $\frac{-2}{-4} = \frac{-1}{-2}$ ). Ambele valori sunt bune ✓

Expresia	$x = 2$	$x = -3$
$x - 1$	$1$	$-4$
$x + 1$	$3$	$-2$
$2x + 5$	$9$	$-1$

Răspuns

x \in \{-3,\ 2\}

. Pentru

x = 2

termenii sunt

1, 3, 9

, cu rația

3

, iar pentru

x = -3

sunt

-4, -2, -1

, cu rația

\frac12

.

c) $|x + 1|,\ 2,\ |x - 2|$

Ca la a):

2^2 = |x + 1| \cdot |x - 2|

. Produsul modulelor este modulul produsului, iar

|w| = 4

înseamnă

w = 4

sau

w = -4

.

1. Relația cu module
Metoda e cea de la a): pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul vecinilor. Aici termenul din mijloc este $2$ , iar vecinii sunt $|x + 1|$ și $|x - 2|$ :
$2^2 = |x + 1| \cdot |x - 2|$
Ce e nou: modulele. Din gimnaziu știi două lucruri. Întâi, produsul modulelor este modulul produsului, $|u| \cdot |v| = |u \cdot v|$ . Apoi, $|w| = 4$ înseamnă că $w$ este la distanța 4 de 0 pe axa numerelor. Cu primul, relația devine $|(x + 1)(x - 2)| = 4$ .
Verifică-te
Ce înseamnă $|(x + 1)(x - 2)| = 4$ ?
2. Cele două ecuații
Desfacem produsul din interiorul modulului:
$\begin{aligned} &(x + 1)(x - 2) \\ &= x^2 - 2x + x - 2 \\ &= x^2 - x - 2 \end{aligned}$
Cele două cazuri sunt:
Cazul 1: $x^2 - x - 2 = 4$ , adică $x^2 - x - 6 = 0$ .
Cazul 2: $x^2 - x - 2 = -4$ , adică $x^2 - x + 2 = 0$ .
La cazul 1: $\Delta = 1 + 24 = 25$ , deci $x = \frac{1 \pm 5}{2}$ , adică $x = 3$ sau $x = -2$ . La cazul 2, mai întâi vezi semnul lui $\Delta$ .
Verifică-te
Ce semn are $\Delta = b^2 - 4ac$ pentru $x^2 - x + 2 = 0$ ?
3. Verificăm termenii
Expresia $x = 3$ $x = -2$
$\lvert x + 1 \rvert$ $4$ $1$
$2$ $2$ $2$
$\lvert x - 2 \rvert$ $1$ $4$
Termenii sunt nenuli, ceea ce era sigur: produsul $|x + 1| \cdot |x - 2|$ este 4, deci niciun factor nu poate fi 0. Pentru $x = 3$ progresia $4, 2, 1$ are rația $\frac12$ , iar pentru $x = -2$ progresia $1, 2, 4$ are rația $2$ ✓

Expresia	$x = 3$	$x = -2$
$\lvert x + 1 \rvert$	$4$	$1$
$2$	$2$	$2$
$\lvert x - 2 \rvert$	$1$	$4$

Răspuns

x \in \{-2,\ 3\}

. Pentru

x = 3

termenii sunt

4, 2, 1

, cu rația

\frac12

, iar pentru

x = -2

sunt

1, 2, 4

, cu rația

2

.

d) $2x - 1,\ \sqrt{x + 2},\ 2x + 1$

Ca la a):

\left(\sqrt{x + 2}\right)^2 = (2x - 1)(2x + 1)

, cu domeniul

x \ge -2

. Verifică la final și semnele termenilor.

1. Domeniul și ecuația
Metoda e cea de la a): pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul vecinilor. Ce e nou: termenul din mijloc este un radical, $\sqrt{x + 2}$ , care există doar când $x + 2 \ge 0$ , adică $x \ge -2$ . Reținem această condiție pentru final.
Pătratul unui radical este chiar numărul de sub el, atâta timp cât radicalul există: $\left(\sqrt{x + 2}\right)^2 = x + 2$ .
$x + 2 = (2x - 1)(2x + 1)$
Verifică-te
Cât este $(2x - 1)(2x + 1)$ ?
Ecuația devine $x + 2 = 4x^2 - 1$ . Punem totul în dreapta:
$4x^2 - x - 3 = 0$
Formula din gimnaziu: $\Delta = 1 + 48 = 49$ , deci $x = \frac{1 \pm 7}{8}$ .
Verifică-te
Ce soluții are $4x^2 - x - 3 = 0$ ?
2. Domeniul, termenii nenuli și semnele
Domeniul. Amândouă soluțiile verifică $x \ge -2$ (avem $1 \ge -2$ și $-\frac34 \ge -2$ ), deci radicalul există pentru amândouă.
Termenii. Pentru $x = 1$ avem $2x - 1 = 1$ , $\sqrt{x + 2} = \sqrt3$ și $2x + 1 = 3$ . Raportul $\frac{\sqrt3}{1} = \frac{3}{\sqrt3} = \sqrt3$ , deci este progresie geometrică, cu rația $\sqrt3$ .
Pentru $x = -\frac34$ capetele sunt $2x - 1 = -\frac52$ și $2x + 1 = -\frac12$ , ambele negative, iar mijlocul $\sqrt{x + 2} = \sqrt{\frac54} = \frac{\sqrt5}{2}$ este pozitiv. Semnele nu sunt aceleași.
Verifică-te
Pot cele trei numere, cu semnele $-,\ +,\ -$ , să fie în progresie geometrică?
Raportul este $\frac{\sqrt5 / 2}{-5 / 2} = -\frac{1}{\sqrt5}$ , iar al treilea raport este $\frac{-1/2}{\sqrt5 / 2} = -\frac{1}{\sqrt5}$ . Sunt egale, deci este progresie geometrică, cu rația $-\frac{1}{\sqrt5} \approx -0{,}45$ ✓

Răspuns

x \in \left\{-\frac34,\ 1\right\}

. Pentru

x = 1

termenii sunt

1, \sqrt3, 3

, cu rația

\sqrt3

, iar pentru

x = -\frac34

sunt

-\frac52, \frac{\sqrt5}{2}, -\frac12

, cu rația

-\frac{1}{\sqrt5}

.

e) $x - 1,\ \sqrt{3x - 2},\ \sqrt{x + 7} + 1$

Ca la a):

\left(\sqrt{3x - 2}\right)^2 = (x - 1)\left(\sqrt{x + 7} + 1\right)

, cu domeniul

x \ge \frac23

. După ridicarea la pătrat apar rădăcini în plus, deci verifică fiecare soluție.

1. Domeniul și relația
Metoda e cea de la a): pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul vecinilor. Aici avem radicali, deci întâi domeniul: $3x - 2 \ge 0$ dă $x \ge \frac23$ , iar $x + 7 \ge 0$ dă $x \ge -7$ . Ambele sunt îndeplinite când $x \ge \frac23$ .
Pătratul termenului din mijloc este $\left(\sqrt{3x - 2}\right)^2 = 3x - 2$ , iar relația este:
$\begin{aligned} &3x - 2 \\ &= (x - 1)\left(\sqrt{x + 7} + 1\right) \end{aligned}$
Desfacem paranteza din dreapta: $(x - 1)\sqrt{x + 7} + (x - 1)$ . Trecem termenul $x - 1$ în stânga.
Verifică-te
Cât este $3x - 2 - (x - 1)$ ?
$(x - 1)\sqrt{x + 7} = 2x - 1$
2. Ridicăm la pătrat
Aceasta este o ecuație cu radical. Culegerea nu are un exemplu de așa ceva, iar ecuațiile cu radicali le vei învăța în capitolul 3C al manualului. Aici folosim ideea de bază: radicalul rămâne singur într-o parte, apoi ridicăm ambii membri la pătrat.
Atenție, ridicarea la pătrat poate aduce soluții în plus. Din $u = v$ rezultă $u^2 = v^2$ , dar $u^2 = v^2$ înseamnă și $u = -v$ . Așa că la sfârșit verificăm soluțiile.
Putem reține o condiție acum. Pe domeniu, $2x - 1 \ge \frac13 > 0$ , iar $\sqrt{x + 7} > 0$ . Produsul $(x - 1)\sqrt{x + 7}$ trebuie să fie pozitiv, deci $x - 1 > 0$ , adică $x > 1$ .
Ridicăm la pătrat: $(x - 1)^2 (x + 7) = (2x - 1)^2$ . În stânga, $(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$ se înmulțește cu $x + 7$ .
Verifică-te
Cât este $(x^2 - 2x + 1)(x + 7)$ , după ce strângi termenii?
În dreapta, $(2x - 1)^2 = 4x^2 - 4x + 1$ :
$\begin{aligned} &x^3 + 5x^2 - 13x + 7 \\ &= 4x^2 - 4x + 1 \end{aligned}$
Trecem tot în stânga, cu semnul schimbat, și strângem termenii asemenea:
$x^3 + x^2 - 9x + 6 = 0$
3. Descompunem ecuația de gradul 3
Nu avem o formulă simplă pentru ecuații de gradul 3, dar putem încerca să găsim o rădăcină întreagă. Dacă ecuația $x^3 + x^2 - 9x + 6 = 0$ are o rădăcină întreagă, ea trebuie să împartă termenul liber, 6. Candidații sunt $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ .
Verifică-te
Care dintre numerele $1$ , $2$ , $3$ este rădăcină?
Cum $x = 2$ este rădăcină, polinomul se împarte la $x - 2$ . Câtul este $x^2 + 3x - 3$ , ceea ce verificăm prin înmulțire:
$\begin{aligned} &(x - 2)(x^2 + 3x - 3) \\ &= x^3 + 3x^2 - 3x \\ &\quad - 2x^2 - 6x + 6 \\ &= x^3 + x^2 - 9x + 6 \end{aligned}$
Ecuația este $(x - 2)(x^2 + 3x - 3) = 0$ . Prima paranteză dă $x = 2$ . A doua are $\Delta = 9 + 12 = 21$ , deci $x = \frac{-3 \pm \sqrt{21}}{2}$ .
4. Alegem soluțiile bune
Avem trei candidați. Îi încercăm pe rând, cu $\sqrt{21} \approx 4{,}58$ :
Candidat Valoare aproximativă
$x = 2$ $2$
$x = \frac{-3 + \sqrt{21}}{2}$ $0{,}79$
$x = \frac{-3 - \sqrt{21}}{2}$ $-3{,}79$
Verifică-te
De ce respingem $x = \frac{-3 + \sqrt{21}}{2} \approx 0{,}79$ ?
Celălalt candidat cu radical, $\approx -3{,}79$ , este mai mic decât $\frac23$ , deci este în afara domeniului. Rămâne $x = 2$ , care respectă $x > 1$ .
Verificare: $x - 1 = 1$ , $\sqrt{3x - 2} = \sqrt4 = 2$ și $\sqrt{x + 7} + 1 = \sqrt9 + 1 = 4$ . Termenii $1, 2, 4$ au rația 2 ✓ și niciunul nu e 0.

Candidat	Valoare aproximativă
$x = 2$	$2$
$x = \frac{-3 + \sqrt{21}}{2}$	$0{,}79$
$x = \frac{-3 - \sqrt{21}}{2}$	$-3{,}79$

Răspuns

x = 2

. Termenii sunt

1, 2, 4

, cu rația

2

. Cele două rădăcini ale lui

x^2 + 3x - 3 = 0

sunt respinse: una nu respectă

x > 1

, cealaltă e în afara domeniului.

Exercițiul 18 · Valori ale lui xxx pentru care trei expresii sunt în progresie geometrică

a)5−x, x+7, 3x+115 - x,\ x + 7,\ 3x + 115−x, x+7, 3x+11

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: pătratul termenului din mijloc ✓

3. Scriem și rezolvăm ecuația ✓

4. Verificăm că niciun termen nu e 0 ✓

b)x−1, x+1, 2x+5x - 1,\ x + 1,\ 2x + 5x−1, x+1, 2x+5

1. Scriem și rezolvăm ecuația ✓

2. Verificăm termenii ✓

c)∣x+1∣, 2, ∣x−2∣|x + 1|,\ 2,\ |x - 2|∣x+1∣, 2, ∣x−2∣

1. Relația cu module ✓

2. Cele două ecuații ✓

3. Verificăm termenii ✓

d)2x−1, x+2, 2x+12x - 1,\ \sqrt{x + 2},\ 2x + 12x−1, x+2​, 2x+1

1. Domeniul și ecuația ✓

2. Domeniul, termenii nenuli și semnele ✓

e)x−1, 3x−2, x+7+1x - 1,\ \sqrt{3x - 2},\ \sqrt{x + 7} + 1x−1, 3x−2​, x+7​+1

1. Domeniul și relația ✓

2. Ridicăm la pătrat ✓

3. Descompunem ecuația de gradul 3 ✓

4. Alegem soluțiile bune ✓

Exercițiul 18 · Valori ale lui $x$ pentru care trei expresii sunt în progresie geometrică

a) $5 - x,\ x + 7,\ 3x + 11$

1. Ce ni se cere

2. Ideea: pătratul termenului din mijloc

3. Scriem și rezolvăm ecuația

4. Verificăm că niciun termen nu e 0

b) $x - 1,\ x + 1,\ 2x + 5$

1. Scriem și rezolvăm ecuația

2. Verificăm termenii

c) $|x + 1|,\ 2,\ |x - 2|$

1. Relația cu module

2. Cele două ecuații

3. Verificăm termenii

d) $2x - 1,\ \sqrt{x + 2},\ 2x + 1$

1. Domeniul și ecuația

2. Domeniul, termenii nenuli și semnele

e) $x - 1,\ \sqrt{3x - 2},\ \sqrt{x + 7} + 1$

1. Domeniul și relația

2. Ridicăm la pătrat

3. Descompunem ecuația de gradul 3

4. Alegem soluțiile bune