Exercițiul 2 · Suma primilor n termeni

a) $S_3 = 40$ , $S_6 = 60$ . Calculați $S_9$ .

Scrie

S_3

și

S_6

cu formula sumei și împarte-le:

b_1

și

1 - q

se simplifică. Pentru

1 - q^6

folosește diferența de pătrate, cu

q^3

în loc de

x

.

1. Ce ni se cere
$S_n$ este suma primilor $n$ termeni: $S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n$ . Știm $S_3 = 40$ (primii trei termeni) și $S_6 = 60$ (primii șase), iar $S_9$ este suma primilor nouă.
Avem două condiții, iar progresia are două necunoscute, $b_1$ și $q$ . Folosim formula sumei din breviarul culegerii, pentru $q \neq 1$ :
$S_n = \dfrac{b_1 (1 - q^n)}{1 - q}$
Cazul $q = 1$ nu poate fi aici: atunci toți termenii ar fi egali cu $b_1$ , deci $S_3 = 3b_1$ și $S_6 = 6b_1 = 2 S_3 = 80$ , nu 60. Prin urmare $q \neq 1$ și formula de mai sus se aplică.
2. Ideea: împărțim $S_6$ la $S_3$
Scriem cele două sume cu formula și le împărțim, ca în exemplul rezolvat 5, ca să dispară $b_1$ :
$\begin{aligned} \dfrac{S_6}{S_3} &= \dfrac{\dfrac{b_1 (1 - q^6)}{1 - q}}{\dfrac{b_1 (1 - q^3)}{1 - q}} \\ &= \dfrac{1 - q^6}{1 - q^3} \end{aligned}$
Se simplifică $b_1$ și $1 - q$ . Împărțirea e permisă pentru că $S_3 = 40 \neq 0$ .
Din gimnaziu, diferența de pătrate este $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ . Scrie $1 - q^6$ ca diferență de pătrate, cu $x = 1$ și $y = q^3$ , pentru că $q^6 = (q^3)^2$ .
Verifică-te
Ce rămâne din $\dfrac{1 - q^6}{1 - q^3}$ după simplificare?
În stânga avem $\frac{S_6}{S_3} = \frac{60}{40} = \frac32$ , deci $1 + q^3 = \frac32$ .
$q^3 = \dfrac12$
3. Calculăm $S_9$
Nu trebuie să aflăm $q$ (este $\sqrt[3]{\frac12}$ , un număr care nu se scrie simplu) și nici $b_1$ . Același procedeu dă pe $S_9$ în funcție de $S_3$ :
$\begin{aligned} S_9 &= \dfrac{b_1 (1 - q^9)}{1 - q} \\ &= \dfrac{b_1 (1 - q^3)}{1 - q} \\ &\quad \cdot (1 + q^3 + q^6) \\ &= S_3 \cdot (1 + q^3 + q^6) \end{aligned}$
Am folosit diferența de cuburi din gimnaziu, $1 - x^3 = (1 - x)(1 + x + x^2)$ , cu $x = q^3$ : $1 - q^9 = (1 - q^3)(1 + q^3 + q^6)$ . Cum $q^3 = \frac12$ , avem $q^6 = \left(q^3\right)^2 = \frac14$ .
Verifică-te
Cât este $1 + q^3 + q^6$ ?
$S_9 = 40 \cdot \dfrac74 = 70$
4. Verificăm
Aceeași formulă, aplicată la $S_6$ , dă $S_6 = S_3 (1 + q^3) = 40 \cdot \frac32 = 60$ ✓, adică exact valoarea din enunț. Mai avem o verificare din structură: termenii 4, 5, 6 sunt termenii 1, 2, 3 înmulțiți cu $q^3 = \frac12$ , deci suma lor este $\frac12 \cdot 40 = 20$ și $40 + 20 = 60$ . Următorii trei dau $\frac12 \cdot 20 = 10$ , deci $S_9 = 60 + 10 = 70$ ✓.

Răspuns

Suma primilor nouă termeni este

S_9 = 70

.

b) $b_8 = 3\sqrt3 \cdot b_5$ , $S_4 = 12(\sqrt3 + 3)$ . Calculați $b_1$ și $q$ .

Din prima relație,

b_8 = b_5 \cdot q^3

. Apoi

S_4

cu formula sumei, unde

q^4

se calculează ușor.

1. Rația din $b_8 = 3\sqrt3 \cdot b_5$
Metoda e aceeași ca la a): scriem condițiile prin $b_1$ și $q$ . Prima relație leagă doi termeni, iar de la $b_5$ la $b_8$ sunt trei pași, deci $b_8 = b_5 \cdot q^3$ . Egalând cu $3\sqrt3 \cdot b_5$ și împărțind la $b_5$ (nu e 0, altfel și $S_4$ ar fi 0), obținem $q^3 = 3\sqrt3$ .
Căutăm un număr real al cărui cub este $3\sqrt3$ . Cubul conține un radical, deci și $q$ conține unul: ce număr de forma $\sqrt{m}$ are cubul $3\sqrt3$ ? Observă că $3 = \sqrt3 \cdot \sqrt3$ .
Verifică-te
Cât este $q$ ?
2. Din $S_4$ aflăm $b_1$
Cu $q = \sqrt3$ avem $q^4 = \left(q^2\right)^2 = 3^2 = 9$ . Formula sumei devine
$\begin{aligned} S_4 &= \dfrac{b_1 (1 - q^4)}{1 - q} \\ &= \dfrac{b_1 (1 - 9)}{1 - \sqrt3} \\ &= \dfrac{8 b_1}{\sqrt3 - 1} \\ &= \dfrac{8 b_1 (\sqrt3 + 1)}{(\sqrt3 - 1)(\sqrt3 + 1)} \\ &= \dfrac{8 b_1 (\sqrt3 + 1)}{2} \\ &= 4 b_1 (\sqrt3 + 1) \end{aligned}$
Am amplificat cu conjugatul $\sqrt3 + 1$ , ca în gimnaziu: $(\sqrt3 - 1)(\sqrt3 + 1) = 3 - 1 = 2$ .
În enunț, $S_4 = 12(\sqrt3 + 3)$ , iar $\sqrt3 + 3 = \sqrt3 (1 + \sqrt3)$ . Deci $12(\sqrt3 + 3) = 12\sqrt3 (\sqrt3 + 1)$ și ecuația este
$\begin{gathered} 4 b_1 (\sqrt3 + 1) \\ = 12\sqrt3 (\sqrt3 + 1) \end{gathered}$
Verifică-te
Cât este $b_1$ ?
3. Verificăm în enunț
Cu $b_1 = 3\sqrt3$ și $q = \sqrt3$ primii termeni sunt $3\sqrt3,\ 9,\ 9\sqrt3,\ 27, \dots$ (fiecare se înmulțește cu $\sqrt3$ ).
$\begin{aligned} S_4 &= 3\sqrt3 + 9 + 9\sqrt3 + 27 \\ &= 12\sqrt3 + 36 \\ &= 12(\sqrt3 + 3) \end{aligned}$
Cele două sume se potrivesc cu enunțul.
Pentru prima relație: $b_5 = 27\sqrt3$ și $b_8 = b_5 \cdot q^3 = 27\sqrt3 \cdot 3\sqrt3 = 243$ , iar $3\sqrt3 \cdot b_5 = 3\sqrt3 \cdot 27\sqrt3 = 243$ ✓.

Răspuns

Primul termen este

b_1 = 3\sqrt3

, iar rația este

q = \sqrt3

.

c) $b_1 = \frac12$ , $b_n = \frac{1}{64}$ , $S_n = \frac{63}{64}$ . Calculați $n$ .

Formula sumei conține

q^n

, dar

b_n = b_1 q^{n-1}

îți dă

q^n = q \cdot q^{n-1}

. Înlocuiește și află întâi

q

, apoi

n

.

1. Ce e nou: $n$ este necunoscută
Până acum $n$ era dat. Aici trebuie aflat, și îl avem doar în exponenți. Pentru a scăpa de $q^n$ din formula sumei folosim ultimul termen: $b_n = b_1 q^{n-1}$ , deci $q \cdot b_n = b_1 q^n$ și
$\begin{aligned} S_n &= \dfrac{b_1 (1 - q^n)}{1 - q} \\ &= \dfrac{b_1 - q \cdot b_n}{1 - q} \end{aligned}$
Înlocuim $b_1 = \frac12$ , $b_n = \frac1{64}$ și $S_n = \frac{63}{64}$ , apoi eliminăm numitorii înmulțind cu 64 ( $1 - q$ nu e 0):
$\begin{aligned} \dfrac{\frac12 - \frac{q}{64}}{1 - q} &= \dfrac{63}{64} \\ 32 - q &= 63(1 - q) \\ 62 q &= 31 \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $q$ ?
2. Aflăm $n$ din $b_n = \frac1{64}$
Cu $q = \frac12$ , termenul general este $b_n = \frac12 \cdot \left(\frac12\right)^{n-1} = \left(\frac12\right)^n$ . Condiția $b_n = \frac{1}{64}$ înseamnă $\left(\frac12\right)^n = \frac{1}{64}$ , adică $2^n = 64$ .
Verifică-te
Care este numărul natural $n$ cu $2^n = 64$ ?
Verificare: termenii sunt $\frac12, \frac14, \frac18, \frac1{16}, \frac1{32}, \frac1{64}$ , iar $\frac1{64}$ este al șaselea. Suma lor este
$\dfrac{32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1}{64} = \dfrac{63}{64}$
Se potrivește cu $S_6 = \frac{63}{64}$ .

Răspuns

Rația este

q = \frac12

și

n = 6

.

d) $b_1 = 1$ , $\frac{S_{10}}{S_5} = 244$ . Calculați $S_3$ .

Scrie

S_{10}

și

S_5

cu formula sumei și simplifică raportul, ca la a). Folosește

1 - q^{10} = (1 - q^5)(1 + q^5)

.

1. Rația din raportul sumelor
Ca la a), scriem raportul cu formula sumei. Cu $b_1 = 1$ , $q \neq 1$ (dacă $q = 1$ , raportul ar fi $\frac{10}{5} = 2$ , nu 244):
$\begin{aligned} \dfrac{S_{10}}{S_5} &= \dfrac{1 - q^{10}}{1 - q^5} \\ &= \dfrac{(1 - q^5)(1 + q^5)}{1 - q^5} \\ &= 1 + q^5 \end{aligned}$
Diferența de pătrate, din gimnaziu: $1 - q^{10} = 1 - (q^5)^2$ .
Deci $1 + q^5 = 244$ , adică $q^5 = 243$ . Încearcă numere naturale mici: $2^5 = 32$ , deci $q$ e mai mare decât 2.
Verifică-te
Care este rația $q$ ?
2. Calculăm $S_3$
Cu $b_1 = 1$ și $q = 3$ , primii trei termeni sunt $1$ , $3$ și $9$ .
Verifică-te
Cât este $S_3 = 1 + 3 + 9$ ?
Cu formula sumei obținem același număr: $S_3 = \dfrac{1 - 3^3}{1 - 3} = \dfrac{-26}{-2} = 13$ . Verificare pentru raport: $S_5 = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121$ și $S_{10} = S_5 (1 + q^5) = 121 \cdot 244$ , deci $\frac{S_{10}}{S_5} = 244$ ✓.

Răspuns

Rația este

q = 3

și

S_3 = 13

.

e) $b_1 + b_5 = 51$ , $b_2 + b_6 = 102$ , $S_n = 3069$ . Calculați $n$ .

Scoate

b_1

factor comun în primele două relații și împarte-le. Apoi, cu

b_1

și

q

cunoscute, scrie

S_n = 3069

ca ecuație în

q^n

.

1. Aflăm $q$ și $b_1$
Scriem primele două relații prin $b_1$ și $q$ și scoatem factorul comun:
$\begin{aligned} b_1 + b_5 &= b_1 + b_1 q^4 \\ &= b_1 (1 + q^4) = 51 \\ b_2 + b_6 &= b_1 q + b_1 q^5 \\ &= b_1 q (1 + q^4) = 102 \end{aligned}$
A doua relație este prima înmulțită cu $q$ . Împărțim a doua la prima, ceea ce se poate pentru că $b_1 (1 + q^4) = 51 \neq 0$ :
Verifică-te
Ce obținem?
Cu $q = 2$ , prima relație este $b_1 (1 + 2^4) = 17 b_1 = 51$ , deci $b_1 = 3$ .
2. Din $S_n = 3069$ aflăm $n$
Formula sumei, cu $b_1 = 3$ și $q = 2$ :
$\begin{aligned} S_n &= \dfrac{3 (1 - 2^n)}{1 - 2} \\ &= 3 (2^n - 1) \\ 3 (2^n - 1) &= 3069 \\ 2^n - 1 &= 1023 \\ 2^n &= 1024 \end{aligned}$
Ca să găsim $n$ scriem puterile lui 2: $2^1 = 2$ , $2^2 = 4$ , $2^3 = 8$ , $2^4 = 16$ , $2^5 = 32$ . Încearcă să combini aceste puteri: $2^a \cdot 2^b = 2^{a+b}$ .
Verifică-te
Care este $n$ cu $2^n = 1024$ ?
Puterile lui 2 cresc strict, deci $n = 10$ este singura soluție. Verificare: termenii sunt $3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 1536$ , cu suma $3069$ ✓, iar $b_1 + b_5 = 3 + 48 = 51$ ✓ și $b_2 + b_6 = 6 + 96 = 102$ ✓.

Răspuns

Rația este

q = 2

, primul termen este

b_1 = 3

și

n = 10

.

Exercițiul 2 · Suma primilor nnn termeni

a)S3=40S_3 = 40S3​=40, S6=60S_6 = 60S6​=60. Calculați S9S_9S9​.

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: împărțim S6S_6S6​ la S3S_3S3​ ✓

3. Calculăm S9S_9S9​ ✓

4. Verificăm ✓

b)b8=33⋅b5b_8 = 3\sqrt3 \cdot b_5b8​=33​⋅b5​, S4=12(3+3)S_4 = 12(\sqrt3 + 3)S4​=12(3​+3). Calculați b1b_1b1​ și qqq.

1. Rația din b8=33⋅b5b_8 = 3\sqrt3 \cdot b_5b8​=33​⋅b5​ ✓

2. Din S4S_4S4​ aflăm b1b_1b1​ ✓

3. Verificăm în enunț ✓

c)b1=12b_1 = \frac12b1​=21​, bn=164b_n = \frac{1}{64}bn​=641​, Sn=6364S_n = \frac{63}{64}Sn​=6463​. Calculați nnn.

1. Ce e nou: nnn este necunoscută ✓

2. Aflăm nnn din bn=164b_n = \frac1{64}bn​=641​ ✓

d)b1=1b_1 = 1b1​=1, S10S5=244\frac{S_{10}}{S_5} = 244S5​S10​​=244. Calculați S3S_3S3​.

1. Rația din raportul sumelor ✓

2. Calculăm S3S_3S3​ ✓

e)b1+b5=51b_1 + b_5 = 51b1​+b5​=51, b2+b6=102b_2 + b_6 = 102b2​+b6​=102, Sn=3069S_n = 3069Sn​=3069. Calculați nnn.

1. Aflăm qqq și b1b_1b1​ ✓

2. Din Sn=3069S_n = 3069Sn​=3069 aflăm nnn ✓

Exercițiul 2 · Suma primilor $n$ termeni

a) $S_3 = 40$ , $S_6 = 60$ . Calculați $S_9$ .

1. Ce ni se cere

2. Ideea: împărțim $S_6$ la $S_3$

3. Calculăm $S_9$

4. Verificăm

b) $b_8 = 3\sqrt3 \cdot b_5$ , $S_4 = 12(\sqrt3 + 3)$ . Calculați $b_1$ și $q$ .

1. Rația din $b_8 = 3\sqrt3 \cdot b_5$

2. Din $S_4$ aflăm $b_1$

3. Verificăm în enunț

c) $b_1 = \frac12$ , $b_n = \frac{1}{64}$ , $S_n = \frac{63}{64}$ . Calculați $n$ .

1. Ce e nou: $n$ este necunoscută

2. Aflăm $n$ din $b_n = \frac1{64}$

d) $b_1 = 1$ , $\frac{S_{10}}{S_5} = 244$ . Calculați $S_3$ .

1. Rația din raportul sumelor

2. Calculăm $S_3$

e) $b_1 + b_5 = 51$ , $b_2 + b_6 = 102$ , $S_n = 3069$ . Calculați $n$ .

1. Aflăm $q$ și $b_1$

2. Din $S_n = 3069$ aflăm $n$