Culegere Burtea · Progresii geometrice · ex. 3

Exercițiul 3 · Patru numere între 2 și 8

Să se intercaleze între 2 și 8 patru numere astfel încât cele șase numere să fie în progresie geometrică.

Află cele patru numere și rația progresiei.

Cu 2 la început și 8 la sfârșit, progresia are șase termeni:

b_1 = 2

și

b_6 = 8

. Scrie

b_6

cu formula

b_n = b_1 \cdot q^{n-1}

și obții o ecuație cu necunoscuta

q

1. Ce ni se cere
A intercala înseamnă a pune între. Între 2 și 8 punem patru numere noi, iar 2 și 8 rămân la capete. Hai să numărăm locurile:
$2$ $\cdot q$ $?$ $\cdot q$ $?$ $\cdot q$ $?$ $\cdot q$ $?$ $\cdot q$ $8$
Sunt șase numere în total: cele patru noi plus 2 și 8. Ele trebuie să formeze o progresie geometrică $(b_n)$ , așa că fiecare se obține din cel dinainte înmulțind cu aceeași rație $q$ (săgețile din desen).
Primul termen este $b_1 = 2$ . Cele patru numere căutate sunt $b_2, b_3, b_4, b_5$ , iar 8 vine după ele.
Verifică-te
Al câtelea termen al progresiei este 8?
2. Ideea: scriem $b_6$ prin $b_1$ și $q$
Nu știm niciunul dintre cele patru numere. Dar o progresie geometrică e complet stabilită de două numere: primul termen și rația. Pe $b_1 = 2$ îl știm, deci mai trebuie aflată doar rația. Odată ce o avem, toate numerele ies prin înmulțiri repetate.
Ca s-o aflăm, folosim singura informație pe care o mai avem: ultimul termen este 8. Îl scriem prin $b_1$ și $q$ cu formula termenului general din breviarul culegerii:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
De la $b_1$ până la $b_n$ faci $n - 1$ pași, iar la fiecare pas înmulțești cu $q$ .
Așa lucrează și culegerea în exemplele rezolvate 2 și 5 de la progresii geometrice: termenul dat ( $b_7 = 16$ , respectiv $a_6 = 81$ ) se scrie prin primul termen și rație, și se obține o ecuație.
În desenul de la pasul 1 sunt cinci săgeți de la 2 la 8, adică cinci înmulțiri cu $q$ .
Verifică-te
Cum se scrie $b_6$ prin $b_1$ și $q$ ?
3. Ecuația pentru $q$
În $b_6 = b_1 \cdot q^5$ înlocuiești $b_1 = 2$ și $b_6 = 8$ :
$2 \cdot q^5 = 8$
Verifică-te
Ce obții din $2 \cdot q^5 = 8$ ?
$q^5 = 4$
Căutăm un număr care, înmulțit cu el însuși de cinci ori, dă 4.
4. Ce număr la puterea a cincea dă 4?
Aici apare ceva nou față de exemplele culegerii. În exemplul rezolvat 5 se ajunge la $q^3 = 27$ și se vede imediat $q = 3$ , pentru că $3^3 = 27$ . La noi, 4 nu este puterea a cincea a unui număr întreg: $1^5 = 1$ e prea mic, iar $2^5 = 32$ e prea mare. Deci $q$ este undeva între 1 și 2.
Ai mai întâlnit situația asta în gimnaziu, cu pătratele: niciun număr întreg nu are pătratul 2, așa că numărul pozitiv al cărui pătrat este 2 a primit un nume, $\sqrt2$ . La fel facem acum, cu puterea a cincea. Un astfel de număr real există (mai jos arătăm că e unul singur); îl notăm $\sqrt[5]{4}$ și se citește „radical de ordinul 5 din 4”:
$\left(\sqrt[5]{4}\right)^5 = 4$
Cu zecimale, $\sqrt[5]{4} \approx 1{,}32$ . Verificare: $1{,}32^5 \approx 4{,}007$ .
Radicalii de ordin mai mare ca 2 îi vei studia pe larg în capitolul 3 al manualului, la lecția „Radicalul de ordin n”. Pentru problema noastră ne ajung câteva idei, pe care le explicăm pe loc.
De ce există un singur astfel de număr. Uită-te pe rând la numerele negative, la 0 și la cele pozitive.
Dacă $x$ e negativ, $x^5$ e un produs de cinci factori negativi, deci tot negativ. Nu poate fi 4. Nici $0^5 = 0$ nu este 4.
Pentru numere pozitive, cu cât $x$ e mai mare, cu atât $x^5$ e mai mare: dacă $0 < x < y$ , atunci $x^5 < y^5$ . Așa că două numere pozitive diferite nu pot avea amândouă puterea a cincea egală cu 4.
Rămâne un singur număr real cu $q^5 = 4$ , și anume $q = \sqrt[5]{4}$ . Prin urmare, rația este unică, iar problema are o singură soluție.
Verifică-te
La $x^2 = 4$ avem două soluții, $x = 2$ și $x = -2$ . De ce $q^5 = 4$ nu are și o soluție negativă?

5. Calculăm cele patru numere

Fiecare număr se obține din formula

b_n = 2 \cdot q^{n-1}

, cu

q = \sqrt[5]{4}

. Primul e simplu:

b_2 = 2 \cdot q = 2\sqrt[5]{4}

Pentru celelalte avem nevoie de

q^2

q^3

și

q^4

. Ca la radicalii de ordinul 2, unde

\sqrt a \cdot \sqrt b = \sqrt{ab}

, și aici radicalii de ordinul 5 se înmulțesc sub același radical:

q^2 = \sqrt[5]{4} \cdot \sqrt[5]{4} = \sqrt[5]{16}

De ce:

\left(\sqrt[5]{4} \cdot \sqrt[5]{4}\right)^5 = 4 \cdot 4 = 16

, iar numărul e pozitiv, deci este chiar

\sqrt[5]{16}

La fel,

q^3 = \sqrt[5]{4^3} = \sqrt[5]{64}

și

q^4 = \sqrt[5]{4^4} = \sqrt[5]{256}

. Așadar

b_3 = 2\sqrt[5]{16}

b_4 = 2\sqrt[5]{64}

și

b_5 = 2\sqrt[5]{256}

Ultimele două se pot simplifica prin scoaterea factorilor de sub radical, ca în gimnaziu: acolo

\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt3

, pentru că 4 este un pătrat,

2^2

. La ordinul 5 scoți de sub radical o putere a cincea, iar cea mai la îndemână este

32 = 2^5

\sqrt[5]{64} = \sqrt[5]{2^5 \cdot 2} = 2\sqrt[5]{2}

64 = 32 \cdot 2

, iar

\sqrt[5]{32} = 2

, pentru că

2^5 = 32

Verifică-te

Simplifică

\sqrt[5]{256}

. Indiciu:

256 = 2^8

Deci

b_4 = 2 \cdot 2\sqrt[5]{2} = 4\sqrt[5]{2}

și

b_5 = 2 \cdot 2\sqrt[5]{8} = 4\sqrt[5]{8}

. Toate patru, cu valori aproximative:

Termen	Valoare	Aproximativ
$b_2 = 2q$	$2\sqrt[5]{4}$	$2{,}64$
$b_3 = 2q^2$	$2\sqrt[5]{16}$	$3{,}48$
$b_4 = 2q^3$	$4\sqrt[5]{2}$	$4{,}59$
$b_5 = 2q^4$	$4\sqrt[5]{8}$	$6{,}06$

6. Verificăm
Dacă am lucrat bine, înmulțind ultimul număr găsit, $b_5$ , cu rația trebuie să ajungem exact la 8:
$b_5 \cdot q = 4\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4} = 4\sqrt[5]{32}$
Radicalii se înmulțesc sub același radical: $8 \cdot 4 = 32$ .
$4\sqrt[5]{32} = 4 \cdot 2 = 8$
$\sqrt[5]{32} = 2$ , pentru că $2^5 = 32$ .
Și cu valorile aproximative se vede tiparul: $2 \to 2{,}64 \to 3{,}48 \to 4{,}59 \to 6{,}06 \to 8$ , iar fiecare număr este de aproximativ $1{,}32$ ori mai mare decât cel dinainte. ✓
Capcana numărătorii
Patru numere intercalate nu înseamnă patru termeni, ci șase: se adaugă și capetele. Dacă iei 8 drept $b_5$ , obții $q^4 = 4$ și intercalezi doar trei numere. Numără întotdeauna locurile, cu tot cu capete.

Răspuns

Numerele intercalate sunt

2\sqrt[5]{4}

2\sqrt[5]{16}

4\sqrt[5]{2}

și

4\sqrt[5]{8}

, iar rația este

q = \sqrt[5]{4}

. Progresia geometrică este

2,\ 2\sqrt[5]{4},\ 2\sqrt[5]{16},\ 4\sqrt[5]{2},\ 4\sqrt[5]{8},\ 8

Exercițiul 3 · Patru numere între 2 și 8

Află cele patru numere și rația progresiei.

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: scriem b6b_6b6​ prin b1b_1b1​ și qqq ✓

3. Ecuația pentru qqq ✓

4. Ce număr la puterea a cincea dă 4? ✓

5. Calculăm cele patru numere ✓

6. Verificăm ✓

1. Ce ni se cere

2. Ideea: scriem $b_6$ prin $b_1$ și $q$

3. Ecuația pentru $q$

4. Ce număr la puterea a cincea dă 4?

5. Calculăm cele patru numere

6. Verificăm