MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii geometrice · ex. 4

Exercițiul 4 · Trapezul isoscel cu cerc înscris

Considerăm un trapez isoscel în care înscriem un cerc. Fie 2a2a, 2b2b și rr bazele trapezului isoscel și, respectiv, raza cercului înscris. Să se arate că a,b,ra, b, r formează o progresie geometrică.

Trapez isoscel cu baze 2a2a, 2b2b și cerc înscris de rază rr. Arată că între aa, bb și rr există o relație de progresie geometrică.

Notează ABCDABCD trapezul. Mai întâi află lungimea laturii oblice cu ajutorul tangentelor la cerc, apoi înălțimea (în funcție de rr), apoi scrie teorema lui Pitagora într-un triunghi dreptunghic format cu înălțimea.

  1. 1. Ce ni se cere

    Notăm trapezul ABCDABCD, cu baza mare AB=2aAB = 2a jos și baza mică CD=2bCD = 2b sus, iar laturile neparalele ADAD și BCBC egale (trapez isoscel). Presupunem a≥ba \ge b; dacă nu, schimbăm între ele numele bazelor. Cercul înscris are raza rr și atinge toate cele patru laturi: ABAB în MM, BCBC în NN, CDCD în PP și DADA în QQ.

    Trebuie să legăm rr de aa și bb. Pentru o progresie geometrică, breviarul culegerii spune că orice termen din mijloc este media geometrică a vecinilor lui: bn=bn−1⋅bn+1b_n = \sqrt{b_{n-1} \cdot b_{n+1}}, pentru termeni pozitivi. Dacă ne așteptăm ca rr să fie la mijloc, adică numerele să fie a,r,ba, r, b, trebuie să arătăm că r2=abr^2 = ab. Problema se reduce la un calcul de lungimi în trapez.

    Facem calculul în trei pași: lungimea laturii oblice, înălțimea, apoi teorema lui Pitagora. Toate faptele de geometrie sunt din gimnaziu, iar îți le amintim când apar.

  2. 2. Latura oblică, din tangentele la cerc

    Din gimnaziu: două tangente duse dintr-un punct exterior la același cerc au lungimi egale. Din AA pleacă tangentele AMAM și AQAQ, deci AQ=AMAQ = AM. Din DD pleacă DPDP și DQDQ, deci DQ=DPDQ = DP.

    Punctele MM și PP sunt mijloacele bazelor. Într-adevăr, raza spre punctul de tangență este perpendiculară pe bază. Axa de simetrie a trapezului este și ea perpendiculară pe baze, iar centrul cercului e pe axă (cercul e simetric), deci razele OMOM și OPOP stau pe axă și MM, PP sunt capetele ei. Atunci

    AM=12AB=aDP=12CD=b\begin{aligned} AM &= \tfrac12 AB = a \\ DP &= \tfrac12 CD = b \end{aligned}
    Cu tangentele egale putem afla AQAQ și DQDQ. Cum QQ este pe latura ADAD, latura se compune din aceste două segmente.

    Verifică-te

    Cât măsoară latura oblică ADAD?
    Aceasta este o formă a teoremei lui Pitot din gimnaziu: într-un patrulater cu cerc înscris, sumele laturilor opuse sunt egale, AB+CD=AD+BCAB + CD = AD + BC, adică 2a+2b=2⋅AD2a + 2b = 2 \cdot AD.

  3. 3. Înălțimea trapezului este 2r2r

    Razele OMOM și OPOP sunt perpendiculare pe baze și sunt pe aceeași dreaptă (axa). Deci MPMP este perpendiculara comună a celor două baze paralele și are lungimea OM+OP=2rOM + OP = 2r, diametrul cercului. Distanța dintre bazele unui trapez este chiar înălțimea, deci
    h=MP=2rh = MP = 2r
    Ducem înălțimea DEDE din DD pe baza ABAB, cu EE pe ABAB. Într-un trapez isoscel, bazele diferă cu 2a−2b2a - 2b, iar această diferență se împarte în două bucăți egale, una la fiecare capăt: aceea de lângă AA este AEAE.

    Verifică-te

    Cât este AEAE?

  4. 4. Pitagora în triunghiul AEDAED

    Triunghiul AEDAED are unghi drept în EE, ipotenuza AD=a+bAD = a + b și catetele AE=a−bAE = a - b și DE=2rDE = 2r. Teorema lui Pitagora (AD2=AE2+DE2AD^2 = AE^2 + DE^2) dă
    (a+b)2=(a−b)2+(2r)2(a + b)^2 = (a - b)^2 + (2r)^2
    Mutăm (a−b)2(a - b)^2 în stânga:
    4r2=(a+b)2−(a−b)24r^2 = (a + b)^2 - (a - b)^2

    Verifică-te

    Cât este (a+b)2−(a−b)2(a + b)^2 - (a - b)^2? Desfă parantezele cu formulele de calcul prescurtat.
    Deci 4r2=4ab4r^2 = 4ab și, împărțind la 4, r2=abr^2 = ab.

  5. 5. Concluzie: a,r,ba, r, b este progresie geometrică

    Numerele aa, bb și rr sunt pozitive, deci r2=abr^2 = ab înseamnă r=abr = \sqrt{ab}: rr este media geometrică a lui aa și bb. Conform breviarului, un termen care este media geometrică a vecinilor lui se află într-o progresie geometrică, deci a,r,ba, r, b sunt trei termeni consecutivi, cu rația q=raq = \dfrac{r}{a}. Împărțind r2=abr^2 = ab la arar obținem ra=br\dfrac{r}{a} = \dfrac{b}{r}: raportul dintre al doilea și primul termen este egal cu raportul dintre al treilea și al doilea.

    Atenție la ordine. Progresia este a,r,ba, r, b, cu rr la mijloc, nu a,b,ra, b, r cum e scris în culegere (vezi nota de la începutul problemei).

    Verificare pe un exemplu. Fie a=4a = 4 și b=1b = 1, deci bazele sunt 88 și 22:
    MărimeValoare
    Latura oblică a+ba + b55
    AE=a−bAE = a - b33
    Înălțimea 52−32\sqrt{5^2 - 3^2}44, deci r=2r = 2
    r2=abr^2 = ab4=4⋅14 = 4 \cdot 1 ✓
    Numerele 4,2,14, 2, 1 formează o progresie geometrică de rație 12\frac12 ✓.
Răspuns
Latura oblică este a+ba + b și înălțimea este 2r2r, iar din teorema lui Pitagora 4r2=(a+b)2−(a−b)2=4ab4r^2 = (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab, adică r2=abr^2 = ab. Deci ra=br\frac{r}{a} = \frac{b}{r} și a,r,ba, r, b formează o progresie geometrică.