MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii geometrice · ex. 8

Exercițiul 8 · Nu pot fi termeni consecutivi ai unei progresii geometrice

Să se arate că numerele următoare nu pot fi termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

a)2, 3, 11\sqrt2,\ \sqrt3,\ \sqrt{11}

Presupune că ar fi trei termeni consecutivi a,b,ca, b, c ai unei progresii geometrice. Atunci b2=a⋅cb^2 = a \cdot c. Calculează cele două părți și vezi dacă egalitatea poate fi adevărată.

  1. 1. Ce ni se cere

    Cerința e diferită de cele obișnuite: nu trebuie să găsești ceva, ci să arăți că ceva nu se poate. Numerele 2,3,11\sqrt2, \sqrt3, \sqrt{11} nu pot fi trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, oricare ar fi rația.

    Un astfel de enunț se demonstrează prin reducere la absurd. Presupui contrariul, adică faci ca și cum numerele ar fi în progresie geometrică, și scoți de aici o consecință. Dacă ea iese falsă, presupunerea nu poate fi adevărată.

  2. 2. Ideea: ce trebuie să se întâmple într-o progresie geometrică

    Fie a,b,ca, b, c trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice de rație qq. Atunci b=a⋅qb = a \cdot q și c=b⋅qc = b \cdot q, deci a=bqa = \frac{b}{q}. Înmulțind vecinii lui bb, rația se simplifică, exact ca în exemplul rezolvat 4:

    Verifică-te

    Cât este produsul vecinilor, a⋅c=bq⋅(b⋅q)a \cdot c = \frac{b}{q} \cdot (b \cdot q)?
    a⋅c=bq⋅(b⋅q)=b2a \cdot c = \frac{b}{q} \cdot (b \cdot q) = b^2

    Așadar, într-o progresie geometrică, termenul din mijloc la pătrat este egal cu produsul vecinilor. Pentru numere pozitive este proprietatea 2 din breviar (media geometrică). Relația se obține fără nicio condiție de semn, deci e adevărată pentru orice progresie geometrică.

    Dacă numerele noastre ar fi în progresie geometrică, relația ar trebui să fie adevărată. Dacă iese falsă, am terminat.

  3. 3. Calculăm cele două părți

    Presupunem că 2,3,11\sqrt2, \sqrt3, \sqrt{11} sunt termeni consecutivi, deci a=2a = \sqrt2, b=3b = \sqrt3, c=11c = \sqrt{11}. Ar trebui să avem (3)2=2⋅11\left(\sqrt3\right)^2 = \sqrt2 \cdot \sqrt{11}.

    Partea stângă. 3\sqrt3 este numărul pozitiv al cărui pătrat este 3, deci (3)2=3\left(\sqrt3\right)^2 = 3.

    Partea dreaptă. Din gimnaziu, radicalii se înmulțesc sub același radical: x⋅y=x⋅y\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{x \cdot y}.

    Verifică-te

    Cât este 2⋅11\sqrt2 \cdot \sqrt{11}?
    b2=(3)2=3a⋅c=2⋅11=22\begin{aligned} b^2 &= \left(\sqrt3\right)^2 = 3 \\ a \cdot c &= \sqrt2 \cdot \sqrt{11} = \sqrt{22} \end{aligned}

  4. 4. Comparăm și tragem concluzia

    Egalitatea ar fi 3=223 = \sqrt{22}. Numerele sunt pozitive, deci le putem compara după pătratele lor: 32=93^2 = 9, iar (22)2=22\left(\sqrt{22}\right)^2 = 22. Cum 9≠229 \ne 22, avem 3≠223 \ne \sqrt{22}. (Și cu zecimale: 22≈4,69\sqrt{22} \approx 4{,}69.)

    Verifică-te

    Ce concluzie tragem din 3≠223 \ne \sqrt{22}?
    Relația b2=a⋅cb^2 = a \cdot c ar fi trebuit să fie adevărată dacă numerele erau în progresie geometrică, dar nu este.
Răspuns
Dacă 2,3,11\sqrt2, \sqrt3, \sqrt{11} ar fi termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, ar trebui să avem b2=a⋅cb^2 = a \cdot c, adică 3=223 = \sqrt{22}. Dar 9≠229 \ne 22, deci egalitatea e falsă și numerele nu pot fi în progresie geometrică.

b)3, 4, 5\sqrt3,\ 4,\ \sqrt5

Ca la a): presupune că sunt în progresie geometrică, scrie b2=a⋅cb^2 = a \cdot c și compară cele două părți. Atenție: aici termenul din mijloc este 44.

  1. 1. Scriem relația și calculăm

    Metoda e cea de la a). Presupunem că 3,4,5\sqrt3, 4, \sqrt5 sunt termeni consecutivi ai unei progresii geometrice, deci a=3a = \sqrt3, b=4b = 4, c=5c = \sqrt5. Ar trebui să avem b2=a⋅cb^2 = a \cdot c.

    Ce e nou: termenul din mijloc este un număr întreg. Pătratul lui se calculează direct, 42=164^2 = 16, fără radicali. Produsul vecinilor este tot un produs de radicali.

    Verifică-te

    Cât este 3⋅5\sqrt3 \cdot \sqrt5?

  2. 2. Comparăm

    b2=42=16a⋅c=3⋅5=15\begin{aligned} b^2 &= 4^2 = 16 \\ a \cdot c &= \sqrt3 \cdot \sqrt5 = \sqrt{15} \end{aligned}

    Egalitatea ar fi 16=1516 = \sqrt{15}. Pătratele numerelor pozitive sunt 162=25616^2 = 256 și (15)2=15\left(\sqrt{15}\right)^2 = 15, diferite. (Cu zecimale: 15≈3,87\sqrt{15} \approx 3{,}87, mult sub 16.)

    Relația b2=a⋅cb^2 = a \cdot c e falsă, deci presupunerea cade: numerele nu pot fi termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Răspuns
Ar trebui să avem b2=a⋅cb^2 = a \cdot c, adică 16=1516 = \sqrt{15}. Dar 256≠15256 \ne 15, deci numerele nu pot fi termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

c)2, 3, 52,\ \sqrt3,\ \sqrt5

Ca la a): presupune că sunt în progresie geometrică și scrie b2=a⋅cb^2 = a \cdot c. Ca să compari, pune 2⋅52 \cdot \sqrt5 sub un singur radical: 2=42 = \sqrt4.

  1. 1. Scriem relația și calculăm

    Metoda e cea de la a). Presupunem că 2,3,52, \sqrt3, \sqrt5 sunt termeni consecutivi, deci a=2a = 2, b=3b = \sqrt3, c=5c = \sqrt5. Ar trebui să avem b2=a⋅cb^2 = a \cdot c, adică (3)2=2⋅5\left(\sqrt3\right)^2 = 2 \cdot \sqrt5.

    Partea stângă este 33. Ce e nou la partea dreaptă: 2⋅52 \cdot \sqrt5 nu are doi radicali de înmulțit. Dar 2=42 = \sqrt4, pentru că 4\sqrt4 este numărul pozitiv cu pătratul 4, și atunci produsul se scrie sub un radical.

    Verifică-te

    Cum scrii 2⋅52 \cdot \sqrt5 sub un singur radical?

  2. 2. Comparăm

    b2=(3)2=3a⋅c=2⋅5=20\begin{aligned} b^2 &= \left(\sqrt3\right)^2 = 3 \\ a \cdot c &= 2 \cdot \sqrt5 = \sqrt{20} \end{aligned}

    Egalitatea ar fi 3=203 = \sqrt{20}. Pătratele sunt 32=93^2 = 9 și (20)2=20\left(\sqrt{20}\right)^2 = 20, diferite. (Cu zecimale: 20≈4,47\sqrt{20} \approx 4{,}47.)

    Relația b2=a⋅cb^2 = a \cdot c e falsă, deci numerele nu pot fi termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Răspuns
Ar trebui să avem b2=a⋅cb^2 = a \cdot c, adică 3=203 = \sqrt{20}. Dar 9≠209 \ne 20, deci numerele nu pot fi termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

d)7, 10, 11\sqrt7,\ 10,\ \sqrt{11}

Ca la b): termenul din mijloc este întreg, b2=102b^2 = 10^2. Compară cu produsul 7⋅11\sqrt7 \cdot \sqrt{11}.

  1. 1. Scriem relația și calculăm

    Metoda e cea de la a) și b). Presupunem că 7,10,11\sqrt7, 10, \sqrt{11} sunt termeni consecutivi, deci a=7a = \sqrt7, b=10b = 10, c=11c = \sqrt{11}. Ar trebui să avem b2=a⋅cb^2 = a \cdot c.

    Partea stângă este 102=10010^2 = 100. Partea dreaptă este un produs de radicali.

    Verifică-te

    Cât este 7⋅11\sqrt7 \cdot \sqrt{11}?

  2. 2. Comparăm

    b2=102=100a⋅c=7⋅11=77\begin{aligned} b^2 &= 10^2 = 100 \\ a \cdot c &= \sqrt7 \cdot \sqrt{11} = \sqrt{77} \end{aligned}

    Egalitatea ar fi 100=77100 = \sqrt{77}. Pătratele sunt 1002=10 000100^2 = 10\,000 și (77)2=77\left(\sqrt{77}\right)^2 = 77, diferite. (Cu zecimale: 77≈8,77\sqrt{77} \approx 8{,}77, sub 10 și cu atât mai sub 100.)

    Relația b2=a⋅cb^2 = a \cdot c e falsă, deci numerele nu pot fi termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.

Răspuns
Ar trebui să avem b2=a⋅cb^2 = a \cdot c, adică 100=77100 = \sqrt{77}. Dar 10 000≠7710\,000 \ne 77, deci numerele nu pot fi termeni consecutivi ai unei progresii geometrice.