MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii geometrice · ex. 9

Exercițiul 9 · O progresie geometrică legată de una aritmetică

Să se determine o progresie geometrică formată din patru termeni a1,a2,a3,a4a_1, a_2, a_3, a_4, știind că a1−1, a2−2, a3−9, a4−28a_1 - 1,\ a_2 - 2,\ a_3 - 9,\ a_4 - 28 sunt în progresie aritmetică.

Află cei patru termeni.

Scrie termenii prin primul termen bb și rația qq: b, bq, bq2, bq3b,\ bq,\ bq^2,\ bq^3. Apoi folosește faptul că, într-o progresie aritmetică, fiecare termen din mijloc este media aritmetică a vecinilor lui. Obții două ecuații cu bb și qq.

  1. 1. Ce ni se cere

    Avem două progresii în joc. Prima este progresia geometrică căutată, cu termenii a1,a2,a3,a4a_1, a_2, a_3, a_4, pe care nu o cunoaștem. A doua este formată din numerele de mai jos, care trebuie să fie în progresie aritmetică:
    Termen1234
    Progresia geometricăa1a_1a2a_2a3a_3a4a_4
    Scădem1122992828
    Rezultat (în PA)a1−1a_1 - 1a2−2a_2 - 2a3−9a_3 - 9a4−28a_4 - 28
    Nu știm nici primul termen, nici rația progresiei geometrice, deci avem două necunoscute. Ne trebuie două ecuații, iar condiția de progresie aritmetică le poate da.

  2. 2. Ideea: totul prin bb și qq, apoi media aritmetică

    Ca în exemplele rezolvate 2 și 5 de la progresii geometrice, scriem termenii progresiei geometrice prin primul termen bb și rația qq, cu formula an=b⋅qn−1a_n = b \cdot q^{n-1}:
    a1=b,a2=bq,a3=bq2,a4=bq3\begin{aligned} a_1 &= b, & a_2 &= bq, \\ a_3 &= bq^2, & a_4 &= bq^3 \end{aligned}
    Pentru progresia aritmetică folosim proprietatea de la progresiile aritmetice (exemplul rezolvat 4 de acolo): fiecare termen din mijloc este media aritmetică a vecinilor lui. Numim cele patru numere din tabel x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4 și le scriem condiția de progresie aritmetică.

    Verifică-te

    Care relații spun că x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4 sunt în progresie aritmetică?

  3. 3. Prima ecuație

    Cu x1=b−1x_1 = b - 1, x2=bq−2x_2 = bq - 2 și x3=bq2−9x_3 = bq^2 - 9, relația 2x2=x1+x32x_2 = x_1 + x_3 devine:
    2(bq−2)=(b−1)+(bq2−9)\begin{aligned} 2(bq - 2) &= (b - 1) \\ &\quad + (bq^2 - 9) \end{aligned}
    Desfacem parantezele: 2bq−4=b+bq2−102bq - 4 = b + bq^2 - 10. Mutăm termenii cu bb în dreapta și numerele în stânga, ca să rămână bb-urile pe aceeași parte:
    10−4=bq2−2bq+b10 - 4 = bq^2 - 2bq + b
    Numărul −10-10 trece în stânga ca +10+10, iar 2bq2bq trece în dreapta ca −2bq-2bq.
    În dreapta dăm factor comun pe bb: b (q2−2q+1)b\,(q^2 - 2q + 1). Paranteza este o formulă de calcul prescurtat din gimnaziu.

    Verifică-te

    Cu ce este egal q2−2q+1q^2 - 2q + 1?
    b (q−1)2=6(1)b\,(q - 1)^2 = 6 \qquad (1)

  4. 4. A doua ecuație

    La fel pentru ultimii trei termeni, x2=bq−2x_2 = bq - 2, x3=bq2−9x_3 = bq^2 - 9 și x4=bq3−28x_4 = bq^3 - 28, cu relația 2x3=x2+x42x_3 = x_2 + x_4:
    2(bq2−9)=(bq−2)+(bq3−28)\begin{aligned} 2(bq^2 - 9) &= (bq - 2) \\ &\quad + (bq^3 - 28) \end{aligned}
    Desfacem parantezele: 2bq2−18=bq+bq3−302bq^2 - 18 = bq + bq^3 - 30. Aducem termenii cu bb pe o parte, numerele pe cealaltă, apoi dăm factor comun pe bqbq:
    30−18=bq3−2bq2+bq12=bq (q2−2q+1)\begin{aligned} 30 - 18 &= bq^3 - 2bq^2 + bq \\ 12 &= bq\,(q^2 - 2q + 1) \end{aligned}
    Aceeași paranteză q2−2q+1=(q−1)2q^2 - 2q + 1 = (q - 1)^2 apare din nou, deci:
    bq (q−1)2=12(2)bq\,(q - 1)^2 = 12 \qquad (2)

  5. 5. Împărțim ecuațiile

    Avem un sistem cu necunoscutele bb și qq. Procedăm ca în exemplul rezolvat 5 de la progresii geometrice: împărțim cele două relații, ca să dispară ce au în comun. Se poate, pentru că din (1) știm că b (q−1)2=6b\,(q - 1)^2 = 6 nu este 0, deci împărțim la un număr nenul:
    bq (q−1)2b (q−1)2=126\frac{bq\,(q - 1)^2}{b\,(q - 1)^2} = \frac{12}{6}

    Verifică-te

    Ce rămâne în partea stângă după simplificare?
    Deci q=126=2q = \frac{12}{6} = 2. Înlocuim în (1) ca să găsim primul termen: b (2−1)2=6b\,(2 - 1)^2 = 6, adică b⋅1=6b \cdot 1 = 6, deci b=6b = 6.
    a1=6,a2=12,a3=24,a4=48\begin{aligned} a_1 &= 6, & a_2 &= 12, \\ a_3 &= 24, & a_4 &= 48 \end{aligned}
    Rația q=2q = 2: fiecare termen este dublul celui dinainte.

  6. 6. Verificăm

    Scădem din termenii progresiei geometrice numerele 1,2,9,281, 2, 9, 28 și vedem dacă obținem o progresie aritmetică:
    Termen1234
    ana_n66121224244848
    Scădem1122992828
    Rezultat55101015152020
    Numerele 5,10,15,205, 10, 15, 20 cresc din 5 în 5, deci sunt în progresie aritmetică, cu rația 5 ✓
Răspuns
Progresia geometrică este 6, 12, 24, 486,\ 12,\ 24,\ 48, cu primul termen 66 și rația 22. Numerele a1−1, a2−2, a3−9, a4−28a_1 - 1,\ a_2 - 2,\ a_3 - 9,\ a_4 - 28 sunt 5, 10, 15, 205,\ 10,\ 15,\ 20, în progresie aritmetică.