Culegere Burtea · Progresii geometrice · exemplu rezolvat 1

Exemplu rezolvat 1 · Termenii de rang 4, 5 și 12

Se consideră progresia geometrică

1, \frac13, \frac19, \dots

. Să se determine termenii de rang 4, 5 și 12.

Află termenii de rang 4, 5 și 12.

Află întâi rația: împarte al doilea termen la primul. Apoi folosește formula termenului general,

b_n = b_1 \cdot q^{n-1}

1. Ce ni se cere
Progresia începe cu $1, \frac13, \frac19$ , iar cele trei puncte spun că termenii continuă după aceeași regulă. Ca în breviarul culegerii, notăm termenii cu $b_1, b_2, b_3, \dots$ , deci $b_1 = 1$ , $b_2 = \frac13$ și $b_3 = \frac19$ .
Rangul unui termen este locul pe care stă în șir. Termenul de rang 4 este al patrulea termen, $b_4$ . La fel, cel de rang 5 este $b_5$ , iar cel de rang 12 este $b_{12}$ . Pe primii trei îi vedem în enunț, iar pe aceștia trebuie să-i aflăm.
2. Ideea: întâi aflăm rația
Într-o progresie geometrică, fiecare termen se obține din cel dinaintea lui înmulțind cu același număr $q$ , numit rație. Dacă știm rația, putem merge din termen în termen oricât de departe. Așa că primul lucru de aflat este $q$ .
Din $b_2 = b_1 \cdot q$ rezultă că $q$ arată de câte ori se schimbă un termen față de cel dinainte: împarți termenul la cel dinaintea lui. Breviarul scrie asta așa:
$q = \frac{b_n}{b_{n-1}}, \quad n \ge 2$
Orice termen, împărțit la cel dinaintea lui, dă rația.
Verifică-te
Cât este rația aici, $q = b_2 : b_1$ ?
Verificăm și cu perechea următoare:
$b_3 : b_2 = \frac19 : \frac13 = \frac19 \cdot 3 = \frac13$
Ca în gimnaziu, a împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei.
Iese același număr, deci rația este $q = \frac13$ : fiecare termen este o treime din cel dinaintea lui.
3. Termenii de rang 4 și 5
Cu rația aflată, putem continua șirul: $b_4 = b_3 \cdot q = \frac19 \cdot \frac13 = \frac1{27}$ .
Breviarul dă și o formulă care sare direct la orice termen, formula termenului general:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
De la $b_1$ până la $b_n$ sunt $n - 1$ pași, iar la fiecare pas înmulțești cu $q$ .
Pentru $n = 4$ sunt trei pași, deci $q$ apare la puterea a treia:
$b_4 = b_1 \cdot q^3 = 1 \cdot \left(\frac13\right)^3 = \frac1{27}$
Ridici la putere și numărătorul, și numitorul: $\frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$ .
Ambele drumuri dau același rezultat. Până acum, șirul arată așa:
$1$ $\cdot \frac13$ $\frac13$ $\cdot \frac13$ $\frac19$ $\cdot \frac13$ $\frac1{27}$
Verifică-te
Termină tu: $b_5 = \ ?$
4. Termenul de rang 12
Până la $b_{12}$ am avea de înmulțit cu $\frac13$ încă de multe ori. Aici formula termenului general ne scutește de muncă: scriem direct $b_{12}$ prin $b_1$ și $q$ .
Verifică-te
Cum se scrie $b_{12}$ prin $b_1$ și $q$ ?
$b_{12} = 1 \cdot \left(\frac13\right)^{11} = \frac{1}{3^{11}}$
Culegerea lasă rezultatul ca putere, $\left(\frac13\right)^{11}$ , și e perfect corect așa. Dacă vrei totuși numărul: $3^{11} = 177\,147$ , deci $b_{12} = \frac{1}{177\,147}$ , aproximativ $0{,}0000056$ . Termenii scad foarte repede.
5. Verificăm
Uită-te la numitorii termenilor: $1 = 3^0$ , $3 = 3^1$ , $9 = 3^2$ , $27 = 3^3$ , $81 = 3^4$ . Termenul de rang $n$ are la numitor pe $3^{n-1}$ , adică exponentul este mereu cu 1 mai mic decât rangul. Exact asta spune și formula:
$b_n = \left(\frac13\right)^{n-1} = \frac{1}{3^{n-1}}$
Pentru rangul 4 exponentul este 3, pentru rangul 5 este 4, iar pentru rangul 12 este 11, cum am obținut ✓
Rangul nu este exponentul
Termenul de rang $n$ conține $q$ la puterea $n - 1$ , nu $n$ . Primul termen, $b_1$ , nu a fost încă înmulțit cu $q$ , iar fiecare termen de după el aduce încă o înmulțire.

Răspuns

Rația este

q = \frac13

, iar termenii ceruți sunt

b_4 = \frac1{27}

b_5 = \frac1{81}

și

b_{12} = \left(\frac13\right)^{11} = \frac{1}{3^{11}}

Exemplu rezolvat 1 · Termenii de rang 4, 5 și 12

Află termenii de rang 4, 5 și 12.

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: întâi aflăm rația ✓

3. Termenii de rang 4 și 5 ✓

4. Termenul de rang 12 ✓

5. Verificăm ✓

1. Ce ni se cere

2. Ideea: întâi aflăm rația

3. Termenii de rang 4 și 5

4. Termenul de rang 12

5. Verificăm