Culegere Burtea · Progresii geometrice · exemplu rezolvat 2

Exemplu rezolvat 2 · Primii doi termeni din $b_7$ și $q$

Să se determine primii doi termeni ai progresiei geometrice

(b_n)

știind că

b_7 = 16

și

q = 2

Află $b_1$ și $b_2$ .

Scrie

b_7

cu formula

b_n = b_1 \cdot q^{n-1}

. Obții o ecuație în care singura necunoscută este

b_1

1. Ce ni se cere
Despre progresia geometrică $(b_n)$ știm rația, $q = 2$ , și termenul de pe locul al șaptelea, $b_7 = 16$ . Trebuie să aflăm primii doi termeni, $b_1$ și $b_2$ .
De obicei pornim de la $b_1$ și mergem înainte, înmulțind cu rația. Aici e invers: știm un termen aflat mai departe în șir și trebuie să ne întoarcem la început.
2. Ideea: scriem $b_7$ prin $b_1$ și $q$
Ce leagă $b_7$ de $b_1$ ? Formula termenului general din breviarul culegerii:
$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$
De la $b_1$ până la $b_n$ sunt $n - 1$ pași, iar la fiecare pas înmulțești cu $q$ .
Dacă scriem $b_7$ cu această formulă, în relația $b_7 = 16$ apar doar $b_1$ și $q$ . Pe $q$ îl știm, așa că rămâne o ecuație cu o singură necunoscută, $b_1$ .
Verifică-te
Cum se scrie $b_7$ prin $b_1$ și $q$ ?
3. Aflăm $b_1$
În $b_7 = b_1 \cdot q^6$ înlocuim $b_7 = 16$ și $q = 2$ :
$b_1 \cdot 2^6 = 16$
Puterea se calculează repede: $2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$ . Ecuația devine:
$64 \cdot b_1 = 16$
Verifică-te
Cât este $b_1$ ?
Deci primul termen este $b_1 = \frac{16}{2^6} = \frac{16}{64} = \frac14$ .
4. Aflăm $b_2$
Acum mergem înainte, ca de obicei: al doilea termen se obține din primul înmulțind cu rația.
Verifică-te
Cât este $b_2$ ?
5. Verificăm
Putem ajunge la $b_1$ și pe alt drum. Fiecare termen este dublul celui dinainte, deci, invers, fiecare termen este jumătate din cel de după el. Pornim de la $b_7 = 16$ și împărțim la 2, pas cu pas, până la $b_1$ :
$\begin{aligned} &16 \to 8 \to 4 \to 2 \\ &\to 1 \to \tfrac12 \to \tfrac14 \end{aligned}$
De la $b_7$ înapoi la $b_1$ : șase împărțiri la 2, adică o împărțire la $2^6 = 64$ .
Ultimii doi pași dau $b_2 = \frac12$ și $b_1 = \frac14$ , exact ce am obținut cu formula ✓
Înainte și înapoi
Într-o progresie geometrică, când mergi înainte în șir înmulțești cu $q$ , iar când mergi înapoi împarți la $q$ . Pentru un salt mare folosești o putere: de la $b_7$ la $b_1$ împarți la $q^6$ .

Răspuns

Primii doi termeni sunt

b_1 = \frac14

și

b_2 = \frac12

Exemplu rezolvat 2 · Primii doi termeni din b7b_7b7​ și qqq

Află b1b_1b1​ și b2b_2b2​.

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: scriem b7b_7b7​ prin b1b_1b1​ și qqq ✓

3. Aflăm b1b_1b1​ ✓

4. Aflăm b2b_2b2​ ✓

5. Verificăm ✓

Exemplu rezolvat 2 · Primii doi termeni din $b_7$ și $q$

Află $b_1$ și $b_2$ .

1. Ce ni se cere

2. Ideea: scriem $b_7$ prin $b_1$ și $q$

3. Aflăm $b_1$

4. Aflăm $b_2$

5. Verificăm