Culegere Burtea · Progresii geometrice · exemplu rezolvat 3

Exemplu rezolvat 3 · Sumele $S_{20}$ și $S_8$

Să se calculeze suma

S_n

a progresiei geometrice

(b_n)

știind că:

a) $b_1 = \frac35$ , $q = 1$ și $n = 20$

Ce se întâmplă când înmulțești un număr cu 1? Gândește-te cum arată termenii progresiei, apoi uită-te în breviar la formula sumei pentru

q = 1

1. Ce ni se cere
$S_n$ este suma primilor $n$ termeni ai progresiei:
$S_n = b_1 + b_2 + \dots + b_n$
Aici $n = 20$ , deci trebuie să calculăm $S_{20}$ , suma primilor 20 de termeni. Știm primul termen, $b_1 = \frac35$ , și rația, $q = 1$ .
2. Ideea: ce înseamnă $q = 1$
Înainte de orice formulă, merită să ne uităm la termeni. Fiecare termen se obține din cel dinaintea lui înmulțind cu rația, iar aici rația este 1: $b_2 = b_1 \cdot 1$ , $b_3 = b_2 \cdot 1$ și așa mai departe.
Verifică-te
Cât este $b_{20}$ ?
Deci progresia este constantă: $\frac35, \frac35, \frac35, \dots$ Suma cerută are 20 de termeni, toți egali cu $\frac35$ .
3. Formula sumei: cazul $q = 1$
Breviarul culegerii dă formula sumei în două variante, după cum rația este 1 sau nu:
$S_n = \begin{cases} \dfrac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}, & q \ne 1 \\[4pt] n \cdot b_1, & q = 1 \end{cases}$
A doua variantă e chiar ce am văzut la pasul 2: dacă toți cei $n$ termeni sunt egali cu $b_1$ , suma lor este $n \cdot b_1$ .
Verifică-te
De ce nu putem folosi aici prima variantă, cea cu fracție?
4. Calculăm $S_{20}$
Folosim varianta pentru $q = 1$ , cu $n = 20$ și $b_1 = \frac35$ :
$S_{20} = 20 \cdot b_1 = 20 \cdot \frac35$
Verifică-te
Cât este $20 \cdot \frac35$ ?
5. Verificăm
O progresie constantă este și progresie aritmetică, cu rația $r = 0$ : fiecare termen este cel dinainte plus 0. Așa că putem verifica rezultatul și cu formula sumei de la progresii aritmetice, $S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$ :
$S_{20} = \frac{\left(\frac35 + \frac35\right) \cdot 20}{2} = \frac65 \cdot 10 = 12$
Primul și ultimul termen sunt amândoi $\frac35$ . Același rezultat ✓
Întâi te uiți la rație
Înainte să folosești formula cu fracție, verifică dacă $q = 1$ . Pentru $q = 1$ numitorul $1 - q$ devine 0, deci folosești $S_n = n \cdot b_1$ .

Răspuns

Suma primilor 20 de termeni este

S_{20} = 12

b) $b_2 = 32$ , $b_3 = 16$ , $n = 8$

Formula sumei cere

b_1

și

q

. Rația iese împărțind

b_3

b_2

, iar

b_1

îl afli mergând un pas înapoi de la

b_2

1. Ce e nou: aflăm întâi $q$ și $b_1$
Ca la a), avem de calculat o sumă, de data asta $S_8$ . Nou este că nu știm nici primul termen, nici rația, iar formula sumei are nevoie de amândouă. Le aflăm din cei doi termeni vecini dați.
Rația este un termen împărțit la cel dinaintea lui:
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{16}{32} = \frac12$
Primul termen este cu un pas înaintea lui $b_2$ . Dacă înainte înmulțești cu $q$ , înapoi împarți la $q$ : $b_1 = b_2 : q$ .
Verifică-te
Cât este $b_1 = 32 : \frac12$ ?
2. Suma, cu formula pentru $q \ne 1$
Acum $q = \frac12 \ne 1$ , deci folosim prima variantă a formulei din breviar, cu $b_1 = 64$ , $q = \frac12$ și $n = 8$ :
$S_8 = \dfrac{b_1(1 - q^8)}{1 - q}$
$S_8 = \dfrac{64\left(1 - \left(\frac12\right)^8\right)}{1 - \frac12}$
Calculăm pe bucăți. Mai întâi puterea: $\left(\frac12\right)^8 = \frac{1}{2^8} = \frac{1}{256}$ .
Verifică-te
Cât este $1 - \left(\frac12\right)^8$ ?
Numitorul este $1 - \frac12 = \frac12$ , iar a împărți la $\frac12$ înseamnă a înmulți cu 2. Așa că $64$ împărțit la numitor dă $128$ :
$S_8 = 128 \cdot \left(1 - \frac{1}{256}\right)$
$S_8 = 128 - \frac{128}{256}$
Desfaci paranteza: $128 \cdot 1 - 128 \cdot \frac{1}{256}$ .
$S_8 = 128 - \frac12 = \frac{255}{2}$
$\frac{128}{256} = \frac12$ , pentru că 256 este dublul lui 128.
3. Verificăm adunând termenii
Opt termeni se pot și aduna direct. Pornim de la $b_1 = 64$ și înjumătățim de fiecare dată:
$\begin{aligned} S_8 &= 64 + 32 + 16 + 8 \\ &\quad + 4 + 2 + 1 + \tfrac12 \end{aligned}$
Numerele întregi dau $127$ , plus $\frac12$ , deci $S_8 = 127{,}5 = \frac{255}{2}$ ✓
Pentru 8 termeni puteai aduna și de mână. Formula te ajută când sunt mulți termeni, de exemplu 30, pe care nu i-ai mai aduna unul câte unul.

Răspuns

Rația este

q = \frac12

, primul termen este

b_1 = 64

, iar suma primilor 8 termeni este

S_8 = \frac{255}{2} = 127{,}5

Exemplu rezolvat 3 · Sumele S20S_{20}S20​ și S8S_8S8​

a)b1=35b_1 = \frac35b1​=53​, q=1q = 1q=1 și n=20n = 20n=20

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: ce înseamnă q=1q = 1q=1 ✓

3. Formula sumei: cazul q=1q = 1q=1 ✓

4. Calculăm S20S_{20}S20​ ✓

5. Verificăm ✓

b)b2=32b_2 = 32b2​=32, b3=16b_3 = 16b3​=16, n=8n = 8n=8

1. Ce e nou: aflăm întâi qqq și b1b_1b1​ ✓

2. Suma, cu formula pentru q≠1q \ne 1q=1 ✓

3. Verificăm adunând termenii ✓

Exemplu rezolvat 3 · Sumele $S_{20}$ și $S_8$

a) $b_1 = \frac35$ , $q = 1$ și $n = 20$

1. Ce ni se cere

2. Ideea: ce înseamnă $q = 1$

3. Formula sumei: cazul $q = 1$

4. Calculăm $S_{20}$

5. Verificăm

b) $b_2 = 32$ , $b_3 = 16$ , $n = 8$

1. Ce e nou: aflăm întâi $q$ și $b_1$

2. Suma, cu formula pentru $q \ne 1$

3. Verificăm adunând termenii