Culegere Burtea · Progresii geometrice · exemplu rezolvat 4

Exemplu rezolvat 4 · Trei termeni pozitivi care depind de $x$

Să se determine

x \in \mathbb{R}

știind că numerele

3x + 2

x + 4

8 - x

sunt termeni pozitivi ai unei progresii geometrice.

Află valorile lui $x$ .

Într-o progresie geometrică cu termeni pozitivi, termenul din mijloc este media geometrică a vecinilor: pătratul lui este egal cu produsul vecinilor. Scrie asta pentru cele trei expresii și obții o ecuație în

x

1. Ce ni se cere
Cele trei numere depind de $x$ : pentru fiecare valoare a lui $x$ obții alte trei numere. Căutăm valorile lui $x$ pentru care ele sunt termeni ai unei progresii geometrice. Ca în rezolvarea din culegere, le luăm drept trei termeni consecutivi, în ordinea dată: $3x + 2$ primul, $x + 4$ la mijloc, $8 - x$ al treilea.
Enunțul cere două lucruri deodată: numerele trebuie să fie în progresie geometrică și toate trei trebuie să fie pozitive.
2. Ideea: termenul din mijloc este media geometrică
Ia trei termeni consecutivi ai unei progresii geometrice și numește-i $a$ , $b$ , $c$ . Termenul din mijloc, $b$ , se obține din $a$ înmulțind cu rația, iar $c$ se obține din $b$ tot înmulțind cu rația: $a = \frac{b}{q}$ și $c = b \cdot q$ . Înmulțind vecinii, rația se simplifică:
$a \cdot c = \frac{b}{q} \cdot (b \cdot q) = b^2$
Deci pătratul termenului din mijloc este egal cu produsul vecinilor. Când numerele sunt pozitive, asta înseamnă $b = \sqrt{a \cdot c}$ : termenul din mijloc este media geometrică a vecinilor. E proprietatea 2 din breviarul culegerii. Ea merge și invers: dacă trei numere pozitive verifică $b^2 = a \cdot c$ , ele sunt în progresie geometrică.
Seamănă cu progresia aritmetică, unde termenul din mijloc este media aritmetică a vecinilor.
Verifică-te
Care dintre aceste triplete este în progresie geometrică, în ordinea dată?
3. Ecuația pentru $x$
La noi, termenul din mijloc este $x + 4$ , iar vecinii lui sunt $3x + 2$ și $8 - x$ . Termenii sunt pozitivi, deci $x + 4$ este media geometrică a vecinilor:
$x + 4 = \sqrt{(3x + 2)(8 - x)}$
Ridicăm la pătrat ambii membri, ca să scăpăm de radical:
$(x + 4)^2 = (3x + 2)(8 - x)$
În stânga folosim formula din gimnaziu $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ , cu $a = x$ și $b = 4$ . Aici $a$ și $b$ sunt literele formulei, nu termenii de la pasul 2:
$(x + 4)^2 = x^2 + 8x + 16$
$2 \cdot x \cdot 4 = 8x$ și $4^2 = 16$ .
În dreapta înmulțim fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua.
Verifică-te
Cât este $(3x + 2)(8 - x)$ , după ce strângi termenii?
4. Rezolvăm ecuația
Punem cele două dezvoltări în ecuație:
$\begin{aligned} &x^2 + 8x + 16 \\ &= -3x^2 + 22x + 16 \end{aligned}$
Aducem totul în stânga, cu semn schimbat. Cei doi 16 se reduc:
$4x^2 - 14x = 0$
Strângi termenii asemenea: $x^2 + 3x^2 = 4x^2$ și $8x - 22x = -14x$ .
Ecuația nu are termen liber, deci putem da factor comun pe $2x$ , ca în gimnaziu:
$2x(2x - 7) = 0$
Un produs este 0 doar dacă unul dintre factori este 0.
Verifică-te
Ce soluții are ecuația $2x(2x - 7) = 0$ ?
5. Verificăm semnele termenilor
Enunțul cere termeni pozitivi, așa că înlocuim fiecare soluție în cele trei expresii:
Expresia $x = 0$ $x = \frac72$
$3x + 2$ $2$ $12{,}5$
$x + 4$ $4$ $7{,}5$
$8 - x$ $8$ $4{,}5$
Toți termenii sunt pozitivi, pentru ambele valori ✓
Pentru $x = 0$ progresia este $2, 4, 8$ , cu rația 2.
Verifică-te
Pentru $x = \frac72$ , care este rația progresiei $12{,}5;\ 7{,}5;\ 4{,}5$ ?
De ce verificăm semnele
Relația $b^2 = a \cdot c$ este adevărată și în progresii geometrice cu termeni de semne diferite (rație negativă), de exemplu $2, -4, 8$ , cu rația $-2$ . Ecuația singură nu știe că termenii trebuie să fie pozitivi, așa că verificarea o facem noi. Aici ambele soluții trec. Termenii sunt toți pozitivi exact când $-\frac23 < x < 8$ , iar 0 și $\frac72$ sunt în acest interval.

Expresia	$x = 0$	$x = \frac72$
$3x + 2$	$2$	$12{,}5$
$x + 4$	$4$	$7{,}5$
$8 - x$	$8$	$4{,}5$

Răspuns

x \in \left\{0, \frac72\right\}

. Pentru

x = 0

termenii sunt

2, 4, 8

, cu rația 2, iar pentru

x = \frac72

sunt

12{,}5;\ 7{,}5;\ 4{,}5

, cu rația

\frac35

Exemplu rezolvat 4 · Trei termeni pozitivi care depind de xxx

Află valorile lui xxx.

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: termenul din mijloc este media geometrică ✓

3. Ecuația pentru xxx ✓

4. Rezolvăm ecuația ✓

5. Verificăm semnele termenilor ✓

Exemplu rezolvat 4 · Trei termeni pozitivi care depind de $x$

Află valorile lui $x$ .

1. Ce ni se cere

2. Ideea: termenul din mijloc este media geometrică

3. Ecuația pentru $x$

4. Rezolvăm ecuația

5. Verificăm semnele termenilor