MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Progresii geometrice · exemplu rezolvat 5

Exemplu rezolvat 5 · Primul termen și rația din a6a_6 și a3a_3

Să se determine primul termen și rația progresiei geometrice (an)(a_n) știind că a6=81a_6 = 81 și a3=3a_3 = 3.

Află primul termen a1a_1 și rația qq.

Scrie a6a_6 și a3a_3 cu formula an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}. Apoi împarte cele două relații: a1a_1 se simplifică și rămâne o ecuație doar în qq.

  1. 1. Ce ni se cere

    Aici culegerea notează progresia geometrică cu (an)(a_n), nu cu (bn)(b_n). Litera nu schimbă nimic: regulile sunt aceleași, fiecare termen se obține din cel dinainte înmulțind cu rația qq.

    Știm doi termeni, a6=81a_6 = 81 și a3=3a_3 = 3, și trebuie să aflăm primul termen a1a_1 și rația qq. Sunt două necunoscute și avem două condiții, deci ne așteptăm să le putem afla pe amândouă.

  2. 2. Ideea: scriem totul prin a1a_1 și qq

    O progresie geometrică e complet stabilită de primul termen și de rație. Orice termen se scrie prin ei cu formula termenului general:
    an=a1⋅qn−1a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
    De la a1a_1 până la ana_n sunt n−1n - 1 pași, iar la fiecare pas înmulțești cu qq.
    Pentru a6a_6 sunt cinci pași, deci a6=a1⋅q5a_6 = a_1 \cdot q^5.

    Verifică-te

    Cum se scrie a3a_3 prin a1a_1 și qq?
    Cele două condiții devin un sistem cu necunoscutele a1a_1 și qq:
    {a1q5=81a1q2=3\begin{cases} a_1 q^5 = 81 \\ a_1 q^2 = 3 \end{cases}

  3. 3. Împărțim cele două relații

    În exemplul rezolvat 6 de la progresii aritmetice, necunoscutele apăreau în sume, așa că am eliminat una dintre ele prin metoda reducerii: am înmulțit ecuațiile cu numere potrivite și le-am adunat. Aici a1a_1 apare înmulțit cu o putere a lui qq. Ca să dispară un factor, împărțim: culegerea face raportul dintre a6a_6 și a3a_3.

    Avem voie să împărțim: din definiția din breviar, primul termen și rația nu sunt 0, deci nici a3=a1q2a_3 = a_1 q^2 nu este 0.

    a1q5a1q2=813\dfrac{a_1 q^5}{a_1 q^2} = \dfrac{81}{3}

    Verifică-te

    Ce rămâne în stânga după simplificare?
    În dreapta, 81:3=2781 : 3 = 27. Am obținut o ecuație în care a1a_1 nu mai apare:
    q3=27q^3 = 27

  4. 4. Aflăm qq, apoi a1a_1

    Căutăm un număr care, ridicat la puterea a treia, dă 27. Cum 33=3⋅3⋅3=273^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27, avem q=3q = 3.

    Nu există altă soluție. Un număr negativ la puterea a treia dă un rezultat negativ, deci nu poate da 27. Iar dintre numerele pozitive, cele mai mici decât 3 dau cuburi mai mici decât 27, iar cele mai mari dau cuburi mai mari.

    Acum, că știm qq, îl înlocuim în relația mai simplă, a1q2=3a_1 q^2 = 3. Cum q2=9q^2 = 9, ea devine:

    9⋅a1=39 \cdot a_1 = 3

    Verifică-te

    Cât este a1a_1?

  5. 5. Verificăm în enunț

    Pornim de la a1=13a_1 = \frac13 și înmulțim cu q=3q = 3, pas cu pas, până la a6a_6:
    13→1→3→9→27→81\tfrac13 \to 1 \to 3 \to 9 \to 27 \to 81
    Aceștia sunt a1,a2,a3,a4,a5,a6a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6.
    Al treilea termen este a3=3a_3 = 3 ✓, iar al șaselea este a6=81a_6 = 81 ✓. Ambele condiții sunt îndeplinite.
Răspuns
Primul termen este a1=13a_1 = \frac13, iar rația este q=3q = 3.