MateClar
← Capitol

Manual · pagina 47

Probleme propuse · 1

Identifică tipul de progresie și rația fiecărei progresii din imagine.
a)3,−1,13,−19,127,−181,…3, -1, \frac13, -\frac19, \frac1{27}, -\frac1{81}, \dots
b)2,7,12,17,22,27,…2, 7, 12, 17, 22, 27, \dots
c)23,18,543,486,14583,…2\sqrt3, 18, 54\sqrt3, 486, 1458\sqrt3, \dots
d)1−2,1−2,1−2,1−2,…1-\sqrt2, 1-\sqrt2, 1-\sqrt2, 1-\sqrt2, \dots

a)3,−1,13,−19,127,−181,…3, -1, \frac13, -\frac19, \frac1{27}, -\frac1{81}, \dots

Uită-te la semne: +, −, +, −…

  1. 1. Ce ni se cere

    Avem șirul 3,−1,13,−19,127,−181,…3, -1, \frac13, -\frac19, \frac1{27}, -\frac1{81}, \dots

    Trebuie să afli două lucruri: ce fel de progresie este (aritmetică, geometrică, ambele sau niciuna) și cât este rația ei.

  2. 2. Ce observi întâi? Semnele

    Pune termenii pe un grafic. Semnul se schimbă la fiecare pas, așa că punctele fac zigzag în jurul lui 0:
    −10123123456n

    De ce nu poate fi PA? La o PA aduni mereu același număr rr. Dacă r>0r > 0, șirul doar urcă. Dacă r<0r < 0, doar coboară. Dacă r=0r = 0, stă pe loc. Nu poate urca, apoi coborî, apoi urca din nou.

    Confirmăm cu două diferențe: −1−3=−4-1 - 3 = -4, dar 13−(−1)=43\frac13 - (-1) = \frac43. Nu sunt egale, deci nu e PA.

    De ce încercăm PG? Semnul se schimbă la fiecare pas. Așa se întâmplă când înmulțești mereu cu același număr negativ. Ai văzut asta în lecție: 1,−2,4,−8,…1, -2, 4, -8, \dots Deci facem testul raportului.

  3. 3. Împarte fiecare termen la cel dinainte

    Ține minte: a împărți la o fracție înseamnă a înmulți cu inversa ei.
    VeciniiRaportul
    3→−13 \to -1−13=−13\frac{-1}{3} = -\frac13
    −1→13-1 \to \frac1313:(−1)=−13\frac13 : (-1) = -\frac13
    13→−19\frac13 \to -\frac19−19:13=−19⋅3=−13-\frac19 : \frac13 = -\frac19 \cdot 3 = -\frac13
    −19→127-\frac19 \to \frac1{27}127:(−19)=127⋅(−9)=−13\frac1{27} : \left(-\frac19\right) = \frac1{27} \cdot (-9) = -\frac13
    127→−181\frac1{27} \to -\frac1{81}−181:127=−2781=−13-\frac1{81} : \frac1{27} = -\frac{27}{81} = -\frac13
    Raportul e mereu −13-\frac13. Deci fiecare termen se obține din cel dinainte înmulțind cu −13-\frac13:
    33⋅(−13)\cdot\left(-\tfrac13\right)−1-1⋅(−13)\cdot\left(-\tfrac13\right)13\tfrac13⋅(−13)\cdot\left(-\tfrac13\right)−19-\tfrac19
    Înmulțirea cu −13-\frac13 face două lucruri deodată: schimbă semnul (din cauza minusului) și micșorează de 3 ori (din cauza lui 13\frac13).

    Verifică-te

    Ce termen urmează după −181-\frac1{81}?
Răspuns
Progresie geometrică, cu rația q=−13q = -\frac13.

b)2,7,12,17,22,27,…2, 7, 12, 17, 22, 27, \dots

Uită-te la salturi: cu cât crește șirul de la un termen la următorul? Saltul e mereu același?

  1. 1. Ce ni se cere

    Avem șirul 2,7,12,17,22,27,…2, 7, 12, 17, 22, 27, \dots

    Trebuie să afli ce fel de progresie este (aritmetică, geometrică, ambele sau niciuna) și cât este rația ei.

  2. 2. Cu ce test începem și de ce

    Termenii cresc, dar încet și regulat: din ochi, saltul de la un termen la următorul pare mereu același. Salturi egale înseamnă că aduni mereu același număr.

    De aceea începem cu testul diferenței (testul pentru PA): scazi fiecare termen din următorul și te uiți dacă obții mereu același număr.

    La o PG cu termeni pozitivi care cresc ar fi altfel: salturile s-ar mări de la un pas la altul, ca la bacterii (+100+100, +200+200, +400+400).

  3. 3. Calculează diferențele

    7−2=57 - 2 = 5, 12−7=512 - 7 = 5, 17−12=517 - 12 = 5, 22−17=522 - 17 = 5, 27−22=527 - 22 = 5.
    Diferența e mereu 5. Deci fiecare termen se obține din cel dinainte adunând 5:
    22+5+577+5+51212+5+51717+5+52222
    Șirul este o progresie aritmetică, cu rația r=5r = 5.

    Verifică-te

    Ce termen urmează după 27?

  4. 4. Poate fi și PG?

    Printre variante e și „ambele”, deci trebuie să verifici și testul raportului. Ajung primele două rapoarte:

    72=3,5\frac72 = 3{,}5, dar 127≈1,71\frac{12}{7} \approx 1{,}71.

    Rapoartele nu sunt egale, deci șirul nu este PG. Un singur raport diferit e suficient ca să excluzi PG.

Răspuns
Progresie aritmetică, cu rația r=5r = 5.

c)23,18,543,486,14583,…2\sqrt3, 18, 54\sqrt3, 486, 1458\sqrt3, \dots

Observă cât de repede cresc termenii și că 3\sqrt3 apare, dispare, apare din nou…

  1. 1. Ce ni se cere

    Avem șirul 23,18,543,486,14583,…2\sqrt3, 18, 54\sqrt3, 486, 1458\sqrt3, \dots

    Trebuie să afli ce fel de progresie este (aritmetică, geometrică, ambele sau niciuna) și cât este rația ei.

  2. 2. Cu ce test începem și de ce

    Estimează termenii, cu 3≈1,73\sqrt3 \approx 1{,}73: 23≈3,462\sqrt3 \approx 3{,}46, apoi 1818, apoi 543≈93,554\sqrt3 \approx 93{,}5, apoi 486486.

    Salturile cresc enorm: 18−23≈14,518 - 2\sqrt3 \approx 14{,}5, dar 543−18≈75,554\sqrt3 - 18 \approx 75{,}5. Diferențele nu sunt egale, deci nu e PA.

    Când salturile cresc tot mai mult, e un semn că înmulțim cu același număr, ca la bacterii. Și mai e un semn: 3\sqrt3 apare și dispare din doi în doi. Asta se întâmplă dacă înmulțim cu ceva ce conține 3\sqrt3, pentru că 3⋅3=3\sqrt3 \cdot \sqrt3 = 3 și radicalul dispare.

    Deci facem testul raportului (testul pentru PG).

  3. 3. Primul raport și radicalul de la numitor

    b2b1=1823\frac{b_2}{b_1} = \frac{18}{2\sqrt3}
    Împarți al doilea termen la primul.
    1823=93\frac{18}{2\sqrt3} = \frac{9}{\sqrt3}
    Simplifici cu 2.
    93=9⋅33⋅3=933\frac{9}{\sqrt3} = \frac{9 \cdot \sqrt3}{\sqrt3 \cdot \sqrt3} = \frac{9\sqrt3}{3}
    Nu lăsăm radical la numitor. Amplifici cu 3\sqrt3, pentru că 3⋅3=3\sqrt3 \cdot \sqrt3 = 3 și numitorul devine un număr fără radical. Asta se numește raționalizarea numitorului.
    933=33\frac{9\sqrt3}{3} = 3\sqrt3
    Simplifici cu 3.
    Pe scurt: 1823=93=933=33\frac{18}{2\sqrt3} = \frac{9}{\sqrt3} = \frac{9\sqrt3}{3} = 3\sqrt3. Un singur raport nu ajunge, însă: trebuie să fie același la fiecare pas.

    Verifică-te

    Calculează tu al doilea raport: 54318= ?\frac{54\sqrt3}{18} = \ ?

  4. 4. Verifică restul rapoartelor

    Al treilea raport are tot radical la numitor: 486543=93=33\frac{486}{54\sqrt3} = \frac{9}{\sqrt3} = 3\sqrt3 (pentru că 486:54=9486 : 54 = 9, iar 93\frac{9}{\sqrt3} l-ai raționalizat deja).

    Al patrulea: 14583486=33\frac{1458\sqrt3}{486} = 3\sqrt3 (pentru că 1458:486=31458 : 486 = 3).

    Toate rapoartele sunt 333\sqrt3:

    232\sqrt3⋅33\cdot 3\sqrt31818⋅33\cdot 3\sqrt354354\sqrt3⋅33\cdot 3\sqrt3486486
Răspuns
Progresie geometrică, cu rația q=33q = 3\sqrt3.

d)1−2,1−2,1−2,1−2,…1-\sqrt2, 1-\sqrt2, 1-\sqrt2, 1-\sqrt2, \dots

Nu te speria de 2\sqrt2. Privește 1−21-\sqrt2 ca pe un singur număr: cum arată șirul atunci?

  1. 1. Ce ni se cere

    Avem șirul 1−2,1−2,1−2,1−2,…1-\sqrt2, 1-\sqrt2, 1-\sqrt2, 1-\sqrt2, \dots

    Trebuie să afli ce fel de progresie este (aritmetică, geometrică, ambele sau niciuna) și rația. Atenție: dacă e „ambele”, are două rații, rr și qq.

  2. 2. Ce observi și ce teste faci

    Radicalul doar sperie. Notează a=1−2a = 1-\sqrt2. Șirul devine a,a,a,a,…a, a, a, a, \dots: toți termenii sunt egali. E un șir constant.

    În lecție ai văzut că un șir constant poate trece ambele teste. De aceea nu te oprești după primul test care merge: le faci pe amândouă.

  3. 3. Testul diferenței

    Scazi un termen din următorul: (1−2)−(1−2)=0(1-\sqrt2) - (1-\sqrt2) = 0. La fel la fiecare pas, pentru că toți termenii sunt egali.
    1−21-\sqrt2+0+01−21-\sqrt2+0+01−21-\sqrt2
    Diferența e mereu 0, deci șirul este PA, cu rația r=0r = 0.

  4. 4. Testul raportului

    Ca să împarți, întâi te asiguri că nu împarți la 0. Cum 2≈1,41\sqrt2 \approx 1{,}41, iar 1,41≠11{,}41 \ne 1, avem 1−2≈−0,41≠01-\sqrt2 \approx -0{,}41 \ne 0. Termenii sunt nenuli.

    Acum împarți: 1−21−2=1\frac{1-\sqrt2}{1-\sqrt2} = 1, la fiecare pas.

    1−21-\sqrt2⋅1\cdot 11−21-\sqrt2⋅1\cdot 11−21-\sqrt2
    Raportul e mereu 1, deci șirul este și PG, cu rația q=1q = 1.

    Verifică-te

    De ce a trebuit să verifici că 1−2≠01-\sqrt2 \ne 0 înainte de testul raportului?
Răspuns
Șir constant: este și progresie aritmetică, cu r=0r = 0, și progresie geometrică, cu q=1q = 1. Răspunsul este „ambele”.