Exercițiul 1 · Termeni dintr-o formulă

a) $a_n = 2n$

Termenul de rang

k

este

a_k

: înlocuiești

n

cu

k

în formula

a_n = 2n

. Pentru

a_{n+1}

înlocuiești

n

cu

(n + 1)

.

1. Ce ni se cere
Șirul este dat printr-o formulă a termenului general, $a_n = 2n$ . Numărul de sub $a$ se numește rang: el arată pe ce loc stă termenul în șir. Deci $a_3$ este termenul de rang 3, cel de pe locul al treilea.
Ți se cer cinci termeni. Primii patru, $a_1$ , $a_2$ , $a_3$ și $a_9$ , sunt numere. Al cincilea, $a_{n+1}$ , are rangul $n + 1$ , care nu e un număr anume, așa că rezultatul va fi o expresie cu $n$ .
2. Ideea: înlocuim $n$ cu rangul
Așa face și culegerea la exemplul ei rezolvat 2: formula îți dă termenul de pe orice loc, dacă pui în locul lui $n$ numărul acelui loc. Pentru primele două ranguri:
$\begin{aligned} a_1 &= 2 \cdot 1 = 2 \\ a_2 &= 2 \cdot 2 = 4 \end{aligned}$
Verifică-te
Termină tu: cât este $a_3$ ?
La fel, pentru rangul 9 pui $n = 9$ și obții $a_9 = 2 \cdot 9 = 18$ .
3. Termenul de rang $n + 1$
Regula e aceeași: în locul lui $n$ pui rangul, care acum este $n + 1$ . Îl scrii între paranteze, ca să fie clar că se înmulțește tot cu 2, apoi desfaci parantezele.
Verifică-te
Ce obții pentru $a_{n+1}$ ?
4. Verificăm
Formula $a_{n+1} = 2n + 2$ trebuie să dea, pentru $n = 1, 2, 8$ , termenii de rang 2, 3, 9:
$n$ $2n + 2$ Ar trebui să fie
$1$ $4$ $a_2 = 4$ ✓
$2$ $6$ $a_3 = 6$ ✓
$8$ $18$ $a_9 = 18$ ✓

$n$	$2n + 2$	Ar trebui să fie
$1$	$4$	$a_2 = 4$ ✓
$2$	$6$	$a_3 = 6$ ✓
$8$	$18$	$a_9 = 18$ ✓

Răspuns

a_1 = 2

,

a_2 = 4

,

a_3 = 6

,

a_9 = 18

și

a_{n+1} = 2n + 2

.

b) $a_n = 1 - 3n$

Aceeași metodă ca la a): pui în formulă rangul în locul lui

n

. Pentru

a_{n+1}

scrii

1 - 3(n + 1)

și desfaci parantezele cu grijă la semn.

1. Ce e nou: termenii sunt negativi
Metoda e cea de la a): înlocuiești $n$ cu rangul. Singura diferență e că acum ajungi la numere negative, deci ai grijă la semne.
$\begin{aligned} a_1 &= 1 - 3 \cdot 1 = -2 \\ a_2 &= 1 - 3 \cdot 2 = -5 \\ a_3 &= 1 - 3 \cdot 3 = -8 \end{aligned}$
Înmulțirea se face înaintea scăderii: $1 - 6$ , nu $(1 - 3) \cdot 2$ .
Verifică-te
Cât este $a_9 = 1 - 3 \cdot 9$ ?
2. Termenul de rang $n + 1$
Pui $(n + 1)$ în locul lui $n$ și ajungi la $a_{n+1} = 1 - 3(n + 1)$ . Atenția se mută pe semn: minusul din fața lui 3 se aplică întregii paranteze, nu doar lui $n$ .
Verifică-te
Cât este $a_{n+1}$ după ce reduci termenii?
Verificare: pentru $n = 1$ obții $-3 - 2 = -5 = a_2$ ✓.

Răspuns

a_1 = -2

,

a_2 = -5

,

a_3 = -8

,

a_9 = -26

și

a_{n+1} = -3n - 2

.

c) $a_n = n + \sqrt n$

Pui rangul în locul lui

n

în ambele locuri, și în afara radicalului, și sub el.

\sqrt1 = 1

și

\sqrt9 = 3

, dar

\sqrt2

și

\sqrt3

rămân scrise ca radicali.

1. Ce e nou: un radical în formulă
Metoda rămâne înlocuirea lui $n$ cu rangul. Ai grijă la fiecare loc în care apare $n$ în formulă.
$\begin{aligned} a_1 &= 1 + \sqrt1 = 1 + 1 = 2 \\ a_2 &= 2 + \sqrt2 \\ a_3 &= 3 + \sqrt3 \end{aligned}$
$\sqrt2$ și $\sqrt3$ nu sunt numere întregi. Le lași scrise cu radical, adică exact.
Verifică-te
Cât este $a_9 = 9 + \sqrt9$ ?
2. Termenul de rang $n + 1$
În locul lui $n$ pui rangul $n + 1$ . Numără câte ori apare $n$ în $n + \sqrt n$ și vezi ce devine fiecare apariție.
Verifică-te
Care este $a_{n+1}$ ?
Verificare cu $n = 8$ : $8 + 1 + \sqrt{9} = 12 = a_9$ ✓.

Răspuns

a_1 = 2

,

a_2 = 2 + \sqrt2

,

a_3 = 3 + \sqrt3

,

a_9 = 12

și

a_{n+1} = n + 1 + \sqrt{n+1}

.

d) $a_n = (-1)^n + n(n+1)$

(-1)^n

este

-1

pentru

n

impar și

1

pentru

n

par. Pentru

a_{n+1}

înlocuiești

n

cu

n + 1

peste tot, inclusiv în

n(n+1)

: acolo

n + 1

devine

(n + 1) + 1

.

1. Ce e nou: $(-1)^n$ depinde de paritatea lui $n$
Metoda e aceeași, dar aici apare puterea $(-1)^n$ . Știi din gimnaziu că $-1$ ridicat la o putere pară dă $1$ , iar ridicat la o putere impară dă $-1$ . Deci termenul $(-1)^n$ schimbă semnul de la un rang la altul.
$\begin{aligned} a_1 &= (-1)^1 + 2 = 1 \\ a_2 &= (-1)^2 + 6 = 7 \\ a_3 &= (-1)^3 + 12 = 11 \end{aligned}$
Produsele $n(n+1)$ sunt $1 \cdot 2 = 2$ , $2 \cdot 3 = 6$ și $3 \cdot 4 = 12$ .
Verifică-te
Cât este $a_9 = (-1)^9 + 9 \cdot 10$ ?
2. Termenul de rang $n + 1$
Înlocuiești $n$ cu $n + 1$ . Numără câte ori apare $n$ în $(-1)^n + n(n+1)$ și vezi ce devine fiecare apariție.
Verifică-te
Care este $a_{n+1}$ ?
Verificare cu $n = 2$ : $(-1)^3 + 3 \cdot 4 = 11 = a_3$ ✓. Poți lăsa $a_{n+1}$ factorizat sau îl poți desface: $(-1)^{n+1} + n^2 + 3n + 2$ .

Răspuns

a_1 = 1

,

a_2 = 7

,

a_3 = 11

,

a_9 = 89

și

a_{n+1} = (-1)^{n+1} + (n+1)(n+2)

.

Exercițiul 1 · Termeni dintr-o formulă

a)an=2na_n = 2nan​=2n

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: înlocuim nnn cu rangul ✓

3. Termenul de rang n+1n + 1n+1 ✓

4. Verificăm ✓

b)an=1−3na_n = 1 - 3nan​=1−3n

1. Ce e nou: termenii sunt negativi ✓

2. Termenul de rang n+1n + 1n+1 ✓

c)an=n+na_n = n + \sqrt nan​=n+n​

1. Ce e nou: un radical în formulă ✓

2. Termenul de rang n+1n + 1n+1 ✓

d)an=(−1)n+n(n+1)a_n = (-1)^n + n(n+1)an​=(−1)n+n(n+1)

1. Ce e nou: (−1)n(-1)^n(−1)n depinde de paritatea lui nnn ✓

2. Termenul de rang n+1n + 1n+1 ✓

a) $a_n = 2n$

1. Ce ni se cere

2. Ideea: înlocuim $n$ cu rangul

3. Termenul de rang $n + 1$

4. Verificăm

b) $a_n = 1 - 3n$

1. Ce e nou: termenii sunt negativi

2. Termenul de rang $n + 1$

c) $a_n = n + \sqrt n$

1. Ce e nou: un radical în formulă

2. Termenul de rang $n + 1$

d) $a_n = (-1)^n + n(n+1)$

1. Ce e nou: $(-1)^n$ depinde de paritatea lui $n$

2. Termenul de rang $n + 1$