Exercițiul 2 · Primii termeni dintr-o recurență

a) $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = a_n + 2$

Pune

n = 1

în relație ca să afli

a_2

din

a_1

, apoi

n = 2

,

n = 3

,

n = 4

. Pentru

a_{n+2}

folosește relația de două ori: întâi pentru

a_{n+2}

din

a_{n+1}

, apoi pentru

a_{n+1}

din

a_n

.

1. Ce ni se cere
Șirul nu e dat printr-o formulă $a_n = \ldots$ , ci printr-o relație de recurență: știi primul termen, $a_1 = 2$ , și o regulă care spune cum afli un termen din cel dinainte, $a_{n+1} = a_n + 2$ . Adică fiecare termen este precedentul plus 2.
Ai de făcut două lucruri: să calculezi $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ , $a_5$ și să scrii $a_{n+2}$ folosind doar $a_n$ , fără termenul din mijloc.
2. Ideea: dăm lui $n$ valorile $1, 2, 3, 4$
Așa procedează culegerea la exemplul ei rezolvat 4: dă lui $n$ pe rând valorile 1, 2, 3, …, iar fiecare rezultat îl folosește la pasul următor. Pentru $n = 1$ , relația devine $a_2 = a_1 + 2$ :
$a_2 = a_1 + 2 = 2 + 2 = 4$
Verifică-te
Pentru $n = 2$ , relația este $a_3 = a_2 + 2$ . Cât este $a_3$ ?
Mai departe, la fel: pentru $n = 3$ ai $a_4 = a_3 + 2 = 8$ , iar pentru $n = 4$ ai $a_5 = a_4 + 2 = 10$ .
$2$ $+2$ $4$ $+2$ $6$ $+2$ $8$ $+2$ $10$
3. Cum scriem $a_{n+2}$ cu ajutorul lui $a_n$
Relația $a_{n+1} = a_n + 2$ e valabilă pentru orice $n$ , deci și pentru $n + 1$ în loc de $n$ . Atunci $a_{n+2}$ se obține din $a_{n+1}$ :
$\begin{aligned} a_{n+2} &= a_{n+1} + 2 \\ a_{n+1} &= a_n + 2 \end{aligned}$
A doua egalitate e relația inițială, iar prima e aceeași relație, cu $n + 1$ în loc de $n$ .
Termenul $a_{n+1}$ apare în ambele rânduri, deci îl poți înlocui în primul cu ceea ce e egal.
Verifică-te
Cât este $a_{n+2}$ în funcție de $a_n$ ?
Verificare: pentru $n = 1$ , $a_3 = a_1 + 4 = 6$ ✓, iar pentru $n = 2$ , $a_4 = a_2 + 4 = 8$ ✓.

Răspuns

a_2 = 4

,

a_3 = 6

,

a_4 = 8

,

a_5 = 10

și

a_{n+2} = a_n + 4

.

b) $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = n(a_n + 1)$

Ca la a), dai lui

n

valorile 1, 2, 3, 4. Acum

n

apare și în relație: la fiecare pas folosești valoarea lui

n

de la pasul acela. Pentru

a_{n+2}

pui

n + 1

în locul lui

n

în relație.

1. Ce e nou: $n$ apare în relație
Metoda e cea de la a), dar acum relația conține și factorul $n$ . La fiecare pas folosești valoarea curentă a lui $n$ și ultimul termen aflat:
$\begin{aligned} a_2 &= 1 \cdot (a_1 + 1) = 2 \\ a_3 &= 2 \cdot (a_2 + 1) = 6 \end{aligned}$
Prima linie e pentru $n = 1$ (factorul 1), a doua pentru $n = 2$ (factorul 2).
Verifică-te
Pentru $n = 3$ , cât este $a_4 = 3(a_3 + 1)$ ?
Pentru $n = 4$ folosești factorul 4 și termenul $a_4 = 21$ : $a_5 = 4 \cdot (21 + 1) = 88$ .
2. Cum scriem $a_{n+2}$ cu ajutorul lui $a_n$
Relația e valabilă pentru orice $n$ , deci și pentru $n + 1$ . Atunci factorul din față devine $n + 1$ , nu $n$ :
$\begin{aligned} a_{n+2} &= (n+1)(a_{n+1} + 1) \\ a_{n+1} &= n(a_n + 1) \end{aligned}$
Verifică-te
Înlocuiești $a_{n+1}$ în primul rând. Ce obții pentru $a_{n+2}$ ?
Verificare: pentru $n = 1$ , $2 \cdot (1 \cdot 1 + 1 + 1) = 6 = a_3$ ✓; pentru $n = 2$ , $3 \cdot (2 \cdot 2 + 2 + 1) = 21 = a_4$ ✓.

Răspuns

a_2 = 2

,

a_3 = 6

,

a_4 = 21

,

a_5 = 88

și

a_{n+2} = (n+1)(n\,a_n + n + 1)

.

c) $a_1 = 1$ , $a_n = \frac1n\,a_{n+1} + 5$

Relația îl dă pe

a_n

din

a_{n+1}

, invers decât la a) și b). Mai întâi scoate din ea pe

a_{n+1}

: scazi 5 din ambii membri, apoi înmulțești cu

n

.

1. Ce e nou: relația e scrisă „pe dos”
Până acum relația spunea cum afli termenul următor. Aici e scrisă invers: $a_n$ este exprimat prin $a_{n+1}$ . Ca s-o poți folosi pas cu pas, o rescrii ca să-l scoți pe $a_{n+1}$ în stânga. Operațiile se fac în ambii membri:
$\begin{aligned} a_n - 5 &= \frac1n\,a_{n+1} \\ n\,(a_n - 5) &= a_{n+1} \end{aligned}$
Întâi scazi 5, apoi înmulțești cu $n$ . Se poate, pentru că $n \in \mathbb{N}^*$ , deci $n \ne 0$ .
Verifică-te
Pentru $n = 1$ , relația nouă este $a_2 = 1 \cdot (a_1 - 5)$ . Cât este $a_2$ ?
2. Termenii $a_3$ , $a_4$ , $a_5$
Cu $a_{n+1} = n(a_n - 5)$ , dai lui $n$ valorile 2, 3, 4, la fel ca la b):
$\begin{aligned} a_3 &= 2(-4 - 5) = -18 \\ a_4 &= 3(-18 - 5) = -69 \end{aligned}$
Verifică-te
Pentru $n = 4$ , cât este $a_5 = 4\,(a_4 - 5)$ ?
3. Cum scriem $a_{n+2}$ cu ajutorul lui $a_n$
Relația $a_{n+1} = n(a_n - 5)$ e valabilă și cu $n + 1$ în loc de $n$ . Ea îl dă pe $a_{n+2}$ din $a_{n+1}$ :
$a_{n+2} = (n+1)(a_{n+1} - 5)$
Acum îl înlocuiești pe $a_{n+1} = n(a_n - 5)$ și desfaci parantezele: $n(a_n - 5) - 5 = na_n - 5n - 5$ . Rezultatul este
$\begin{aligned} a_{n+2} &= (n+1) \\ &\quad \cdot (na_n - 5n - 5) \end{aligned}$
Verifică-te
Verifică formula pentru $n = 1$ : cât dă $2\,(1 \cdot a_1 - 5 - 5)$ , cu $a_1 = 1$ ?

Răspuns

a_2 = -4

,

a_3 = -18

,

a_4 = -69

,

a_5 = -296

și

a_{n+2} = (n+1)(n\,a_n - 5n - 5)

.

d) $a_1 = \sqrt3$ , $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 3}$

Dai lui

n

valorile 1, 2, 3, 4 și pui de fiecare dată termenul dinainte sub radical, adunat cu 3. Radicalii nu se simplifică: fiecare termen are un radical în plus. Pentru

a_{n+2}

folosești relația de două ori.

1. Ce e nou: termenii sunt radicali suprapuși
Metoda e aceeași: pui termenul dinainte în relație. Doar că aici nu se calculează nimic până la capăt, pentru că $3 + \sqrt3$ nu se poate aduna și nu se simplifică. Fiecare termen nou înglobează pe cel vechi sub un radical:
$\begin{aligned} a_2 &= \sqrt{a_1 + 3} \\ &= \sqrt{3 + \sqrt3} \\ a_3 &= \sqrt{a_2 + 3} \\ &= \sqrt{3 + \sqrt{3 + \sqrt3}} \end{aligned}$
Pentru $a_3$ pornești de la $a_2$ întreg, cu radicalul lui.
Verifică-te
Câți radicali are $a_4$ ?
Poți scrie $a_4$ și $a_5$ la fel: $a_4 = \sqrt{a_3 + 3}$ și $a_5 = \sqrt{a_4 + 3}$ , cu încă un radical de fiecare dată. Cu zecimale, termenii sunt aproximativ $1{,}73$ ; $2{,}18$ ; $2{,}28$ ; $2{,}30$ ; $2{,}30$ : cresc tot mai încet.
2. Cum scriem $a_{n+2}$ cu ajutorul lui $a_n$
Relația e valabilă și cu $n + 1$ în loc de $n$ : $a_{n+2} = \sqrt{a_{n+1} + 3}$ . Îl înlocuiești pe $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 3}$ sub radical.
Verifică-te
Ce obții pentru $a_{n+2}$ ?
Verificare: pentru $n = 1$ ai $\sqrt{3 + \sqrt{\sqrt3 + 3}} = \sqrt{3 + a_2} = a_3$ ✓.

Răspuns

a_2 = \sqrt{3 + \sqrt3}

,

a_3 = \sqrt{3 + \sqrt{3 + \sqrt3}}

,

a_4 = \sqrt{3 + \sqrt{3 + \sqrt{3 + \sqrt3}}}

, iar

a_5

are încă un radical. Mai departe,

a_{n+2} = \sqrt{3 + \sqrt{a_n + 3}}

.

Exercițiul 2 · Primii termeni dintr-o recurență

a)a1=2a_1 = 2a1​=2, an+1=an+2a_{n+1} = a_n + 2an+1​=an​+2

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: dăm lui nnn valorile 1,2,3,41, 2, 3, 41,2,3,4 ✓

3. Cum scriem an+2a_{n+2}an+2​ cu ajutorul lui ana_nan​ ✓

b)a1=1a_1 = 1a1​=1, an+1=n(an+1)a_{n+1} = n(a_n + 1)an+1​=n(an​+1)

1. Ce e nou: nnn apare în relație ✓

2. Cum scriem an+2a_{n+2}an+2​ cu ajutorul lui ana_nan​ ✓

c)a1=1a_1 = 1a1​=1, an=1n an+1+5a_n = \frac1n\,a_{n+1} + 5an​=n1​an+1​+5

1. Ce e nou: relația e scrisă „pe dos” ✓

2. Termenii a3a_3a3​, a4a_4a4​, a5a_5a5​ ✓

3. Cum scriem an+2a_{n+2}an+2​ cu ajutorul lui ana_nan​ ✓

d)a1=3a_1 = \sqrt3a1​=3​, an+1=an+3a_{n+1} = \sqrt{a_n + 3}an+1​=an​+3​

1. Ce e nou: termenii sunt radicali suprapuși ✓

2. Cum scriem an+2a_{n+2}an+2​ cu ajutorul lui ana_nan​ ✓

a) $a_1 = 2$ , $a_{n+1} = a_n + 2$

1. Ce ni se cere

2. Ideea: dăm lui $n$ valorile $1, 2, 3, 4$

3. Cum scriem $a_{n+2}$ cu ajutorul lui $a_n$

b) $a_1 = 1$ , $a_{n+1} = n(a_n + 1)$

1. Ce e nou: $n$ apare în relație

2. Cum scriem $a_{n+2}$ cu ajutorul lui $a_n$

c) $a_1 = 1$ , $a_n = \frac1n\,a_{n+1} + 5$

1. Ce e nou: relația e scrisă „pe dos”

2. Termenii $a_3$ , $a_4$ , $a_5$

3. Cum scriem $a_{n+2}$ cu ajutorul lui $a_n$

d) $a_1 = \sqrt3$ , $a_{n+1} = \sqrt{a_n + 3}$

1. Ce e nou: termenii sunt radicali suprapuși

2. Cum scriem $a_{n+2}$ cu ajutorul lui $a_n$