MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Șiruri · ex. 3

Exercițiul 3 · Termenul general și rangul unui număr

Se dă șirul definit descriptiv: 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots

a)Să se determine formula termenului general al șirului.

Uită-te la cât crește șirul de la un termen la următorul. Câte salturi de acest fel faci ca să ajungi de la a1a_1 la ana_n?

  1. 1. Ce ni se cere

    Un șir definit descriptiv nu vine cu formulă. Ți se dau doar primii termeni, 5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots, iar regula trebuie s-o descoperi tu.

    Cerința: o formulă an=…a_n = \ldots care, pentru orice rang nn, să dea termenul de pe locul nn. Ea trebuie să dea a1=5a_1 = 5, a2=8a_2 = 8, a3=11a_3 = 11, a4=14a_4 = 14.

  2. 2. Ideea: căutăm regula din salturi

    Ca la exemplul rezolvat 1 al culegerii, cauți regula care se repetă de la un termen la următorul. Acolo regula era în numitori, aici e în diferențele dintre termenii vecini. Le calculezi:
    8−5=311−8=314−11=3\begin{aligned} 8 - 5 &= 3 \\ 11 - 8 &= 3 \\ 14 - 11 &= 3 \end{aligned}
    Saltul este același de fiecare dată.
    Deci fiecare termen se obține din cel dinainte prin adunarea lui 3. Pornești de la a1=5a_1 = 5 și aduni de câte ori e nevoie:
    a2=5+3a3=5+3+3\begin{aligned} a_2 &= 5 + 3 \\ a_3 &= 5 + 3 + 3 \end{aligned}
    Primul termen, 5, e punctul de plecare și nu cere niciun salt.

    Verifică-te

    Câți de 3 trebuie adunați la 5 ca să ajungi la ana_n?

  3. 3. Scriem formula

    Termenul ana_n este 5 plus n−1n - 1 salturi de câte 3:
    an=5+3(n−1)a_n = 5 + 3(n - 1)

    Verifică-te

    Desfaci paranteza și reduci termenii asemenea. Ce formulă obții?

    Verificare pe termenii dați: 3⋅1+2=53 \cdot 1 + 2 = 5, 3⋅2+2=83 \cdot 2 + 2 = 8, 3⋅3+2=113 \cdot 3 + 2 = 11, 3⋅4+2=143 \cdot 4 + 2 = 14 ✓.

    Formula arată bine: termenul are forma „salt ori rang plus un număr”, iar numărul 22 este a1a_1 minus saltul: 5−3=25 - 3 = 2. Un șir în care diferența dintre doi termeni vecini e mereu aceeași se numește progresie aritmetică, tema paragrafului următor din culegere.

Răspuns
an=3n+2a_n = 3n + 2, pentru n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

b)Care dintre numerele 123123, 41334133, 50335033, 1024410244, 100045100045 sunt termeni ai șirului și ce rang au?

Folosește formula de la a), an=3n+2a_n = 3n + 2. Un număr xx este termen dacă ecuația 3n+2=x3n + 2 = x are o soluție n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Soluția este rangul lui.

  1. 1. Metoda: scriem an=xa_n = x și căutăm rangul

    Așa procedează culegerea la exemplul ei rezolvat 3: un număr xx este termen al șirului dacă există un rang n∈N∗n \in \mathbb{N}^* pentru care an=xa_n = x. Pornești de la formula de la a), an=3n+2a_n = 3n + 2, și rezolvi ecuația în nn. Dacă soluția nu e număr natural nenul, numărul nu e termen.

    Începi cu 123. Ecuația este 3n+2=1233n + 2 = 123, deci 3n=1213n = 121.

    Verifică-te

    Are ecuația 3n=1213n = 121 o soluție n∈N∗n \in \mathbb{N}^*?

  2. 2. Numerele 41334133, 50335033, 1024410244

    Din 3n+2=x3n + 2 = x obții n=x−23n = \frac{x - 2}{3}. Deci xx este termen exact când x−2x - 2 se împarte la 3 și câtul este nenul. Pentru primul număr:
    3n+2=4133n=41313=1377\begin{aligned} 3n + 2 &= 4133 \\ n &= \frac{4131}{3} = 1377 \end{aligned}
    3⋅1377=41313 \cdot 1377 = 4131, deci câtul e întreg: 4133 este termen, de rang 1377.

    Verifică-te

    Care este rangul lui 50335033?
    La fel pentru 10244: 3n=102423n = 10242, deci n=3414n = 3414, un număr natural. Atunci 10244 este termen, de rang 3414 (3⋅3414+2=102443 \cdot 3414 + 2 = 10244 ✓).

  3. 3. Numărul 100045100045

    Ecuația este 3n+2=1000453n + 2 = 100045, deci 3n=1000433n = 100043. Un număr se împarte la 3 exact când suma cifrelor lui se împarte la 3.

    Verifică-te

    Este 100045100045 termen al șirului?
    Număruln=(x−2):3n = (x - 2) : 3Concluzie
    12312340,33…40{,}33\ldotsnu este termen
    4133413313771377termen, rang 13771377
    5033503316771677termen, rang 16771677
    102441024434143414termen, rang 34143414
    10004510004533347,67…33347{,}67\ldotsnu este termen
Răspuns
Sunt termeni 41334133 (rang 13771377), 50335033 (rang 16771677) și 1024410244 (rang 34143414). Numerele 123123 și 100045100045 nu sunt termeni ai șirului.