Exercițiul 4 · Termenul general din primii termeni

a) $\frac13, \frac15, \frac17, \frac19, \ldots$

Numărătorii sunt toți 1. Concentrează-te pe numitori: 3, 5, 7, 9. Ce urmează și cum îi scrii cu ajutorul rangului

n

?

1. Ce ni se cere
Ți se dau primii termeni ai unui șir și trebuie să găsești formula $a_n = \ldots$ , adică regula care dă termenul de pe locul $n$ .
Când termenii sunt fracții, procedezi ca la exemplul rezolvat 1 al culegerii: cauți regula separat pentru numărător și pentru numitor. Notezi rangul sub fiecare termen, ca să vezi cum depind de el:
Rang $n$ $1$ $2$ $3$ $4$
Termen $a_n$ $\frac13$ $\frac15$ $\frac17$ $\frac19$
2. Ideea: regula numitorului
Numărătorul este 1 la toți termenii, deci rămâne 1. Numitorii sunt $3, 5, 7, 9$ , numerele impare, începând cu 3. Ca la exercițiul 3, calculezi saltul dintre ei: $5 - 3 = 2$ , $7 - 5 = 2$ , $9 - 7 = 2$ . Saltul e mereu 2, deci numitorul de rang $n$ este 3 plus $n - 1$ salturi de câte 2:
$3 + 2(n - 1)$
Verifică-te
Desfaci paranteza. Cât este numitorul de rang $n$ ?
Termenul de rang $n$ este numărătorul 1 împărțit la numitorul de rang $n$ .
3. Verificăm
$a_n = \frac{1}{2n + 1}$
$n$ $\frac{1}{2n+1}$ Din enunț
$1$ $\frac13$ $\frac13$ ✓
$2$ $\frac15$ $\frac15$ ✓
$3$ $\frac17$ $\frac17$ ✓
$4$ $\frac19$ $\frac19$ ✓

Rang $n$	$1$	$2$	$3$	$4$
Termen $a_n$	$\frac13$	$\frac15$	$\frac17$	$\frac19$

$n$	$\frac{1}{2n+1}$	Din enunț
$1$	$\frac13$	$\frac13$ ✓
$2$	$\frac15$	$\frac15$ ✓
$3$	$\frac17$	$\frac17$ ✓
$4$	$\frac19$	$\frac19$ ✓

Răspuns

a_n = \dfrac{1}{2n + 1}

, pentru

n \in \mathbb{N}^*

.

b) $-1, \frac12, -\frac13, \frac14, \ldots$

Scrie

-1

ca

-\frac11

. Atunci toți termenii au forma

\pm\frac1n

. Semnul alternează: ce expresie dă

-1, +1, -1, +1, \ldots

?

1. Ce e nou: semnul alternează
Ca la a), separi regula în două. Dacă scrii primul termen ca $-\frac11$ , observi că numărătorii sunt 1 și numitorii sunt chiar rangurile: $1, 2, 3, 4$ . Deci în valoare absolută termenul de rang $n$ este $\frac1n$ .
Partea nouă e semnul: minus, plus, minus, plus. Minus pe rangurile impare, plus pe cele pare. Ca să scrii asta cu o formulă îți trebuie o putere a lui $-1$ . Din gimnaziu știi că $-1$ la o putere impară dă $-1$ , iar la o putere pară dă $1$ . Rămâne să alegi exponentul.
Verifică-te
Care factor are semnele $-, +, -, +, \ldots$ , în ordinea rangurilor $1, 2, 3, 4, \ldots$ ?
2. Formula și verificarea
$a_n = \frac{(-1)^n}{n}$
$n$ $\frac{(-1)^n}{n}$ Din enunț
$1$ $-1$ $-1$ ✓
$2$ $\frac12$ $\frac12$ ✓
$3$ $-\frac13$ $-\frac13$ ✓
$4$ $\frac14$ $\frac14$ ✓

$n$	$\frac{(-1)^n}{n}$	Din enunț
$1$	$-1$	$-1$ ✓
$2$	$\frac12$	$\frac12$ ✓
$3$	$-\frac13$	$-\frac13$ ✓
$4$	$\frac14$	$\frac14$ ✓

Răspuns

a_n = \dfrac{(-1)^n}{n}

, pentru

n \in \mathbb{N}^*

.

c) $\frac12, \frac23, \frac34, \frac45, \ldots$

Compară numărătorul și numitorul fiecărui termen cu rangul lui. Numărătorii sunt

1, 2, 3, 4

, iar numitorii

2, 3, 4, 5

.

1. Ce e nou: și numărătorul variază
Cauți regula separat pentru numărător și numitor, ca la a) și ca la exemplul rezolvat 1 al culegerii, unde primul factor din numitor era chiar rangul. Aici ambele cresc:
Rang $n$ $1$ $2$ $3$ $4$
Numărător $1$ $2$ $3$ $4$
Numitor $2$ $3$ $4$ $5$
Numărătorul coincide cu rangul. Numitorul e rangul plus ceva, la fel pentru toți termenii.
Verifică-te
Cu cât este numitorul mai mare decât rangul?
2. Formula și verificarea
$a_n = \frac{n}{n + 1}$
Verifici pe termenii dați: pentru $n = 1, 2, 3, 4$ obții $\frac12, \frac23, \frac34, \frac45$ ✓. Termenii cresc și se apropie de 1, pentru că numitorul este mereu cu 1 mai mare decât numărătorul.

Rang $n$	$1$	$2$	$3$	$4$
Numărător	$1$	$2$	$3$	$4$
Numitor	$2$	$3$	$4$	$5$

Răspuns

a_n = \dfrac{n}{n + 1}

, pentru

n \in \mathbb{N}^*

.

d) $4, 5, 6, 7, 8, \ldots$

Compară fiecare termen cu rangul lui:

a_1 = 4

,

a_2 = 5

,

a_3 = 6

. Cu cât este termenul mai mare decât rangul?

1. Ideea: comparăm termenul cu rangul
Șirul crește cu 1 la fiecare pas, deci seamănă cu șirul rangurilor $1, 2, 3, 4, \ldots$ Doar că e deplasat. Pui termenii lângă ranguri:
Rang $n$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$
Termen $a_n$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$
Verifică-te
Cu cât este fiecare termen mai mare decât rangul lui?
2. Formula și verificarea
Termenul de rang $n$ este $n$ plus 3. Același rezultat îl dă metoda salturilor de la exercițiul 3: saltul este 1, iar $a_n = 4 + 1 \cdot (n - 1) = n + 3$ .
$a_n = n + 3$
Verificare: $1 + 3 = 4$ , $2 + 3 = 5$ , $3 + 3 = 6$ , $4 + 3 = 7$ , $5 + 3 = 8$ ✓.

Rang $n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
Termen $a_n$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$

Răspuns

a_n = n + 3

, pentru

n \in \mathbb{N}^*

.

e) $5, 8, 11, 14, \ldots$

Ai mai întâlnit acest șir la exercițiul 3, punctul a).

1. Recunoaștem șirul de la exercițiul 3
Termenii $5, 8, 11, 14$ sunt chiar cei de la exercițiul 3. Atunci regula e deja găsită acolo: saltul este 3, iar de la $a_1 = 5$ la $a_n$ sunt $n - 1$ salturi.
$a_n = 5 + 3(n - 1) = 3n + 2$
Aceeași formulă ca la exercițiul 3, a).
Verificare rapidă: $3 \cdot 1 + 2 = 5$ și $3 \cdot 4 + 2 = 14$ ✓.
2. Folosim formula
Cu formula poți merge direct la orice termen îndepărtat, fără să scrii toți termenii dinainte.
Verifică-te
Cât este $a_{20}$ ?

Răspuns

a_n = 3n + 2

, pentru

n \in \mathbb{N}^*

.

f) $1, 5, 5, 9, 9, 13, 13, \ldots$

Termenii se repetă câte doi. Studiază separat rangurile impare (

a_1, a_3, a_5, \ldots

) și rangurile pare (

a_2, a_4, a_6, \ldots

). Apoi unește cele două formule cu

(-1)^n

.

1. Ce e nou: separăm rangurile impare de cele pare
Șirul nu urcă regulat: $1$ , apoi $5, 5$ , apoi $9, 9$ , apoi $13, 13$ . O singură regulă nu merge pe tot șirul, așa că privești separat termenii de pe locuri impare și cei de pe locuri pare:
$n$ $a_n$
$1$ $1$
$2$ $5$
$3$ $5$
$4$ $9$
$5$ $9$
$6$ $13$
$7$ $13$
Rangurile impare $1, 3, 5, 7$ dau termenii $1, 5, 9, 13$ . Termenii cresc cu 4 când rangul crește cu 2, deci cu 2 când rangul crește cu 1. Formula e de forma $a_n = 2n + c$ . Din $a_1 = 1$ obții $2 + c = 1$ , deci $c = -1$ : pe rangurile impare, $a_n = 2n - 1$ .
Verifică-te
Rangurile pare $2, 4, 6$ dau termenii $5, 9, 13$ . Care formulă se potrivește?
2. Unim cele două formule
Avem $2n - 1$ pe ranguri impare și $2n + 1$ pe ranguri pare. Deci $a_n$ este $2n$ plus un semn: minus când $n$ e impar, plus când $n$ e par. La 4b ai scris un astfel de semn alternant cu o putere a lui $-1$ .
Verifică-te
Care formulă dă $a_1 = 1$ și $a_2 = 5$ ?
$n$ $2n + (-1)^n$ Din enunț
$1$ $1$ $1$ ✓
$2$ $5$ $5$ ✓
$3$ $5$ $5$ ✓
$4$ $9$ $9$ ✓
$5$ $9$ $9$ ✓
$6$ $13$ $13$ ✓
$7$ $13$ $13$ ✓
Toți cei șapte termeni se potrivesc cu enunțul ✓.

$n$	$a_n$
$1$	$1$
$2$	$5$
$3$	$5$
$4$	$9$
$5$	$9$
$6$	$13$
$7$	$13$

$n$	$2n + (-1)^n$	Din enunț
$1$	$1$	$1$ ✓
$2$	$5$	$5$ ✓
$3$	$5$	$5$ ✓
$4$	$9$	$9$ ✓
$5$	$9$	$9$ ✓
$6$	$13$	$13$ ✓
$7$	$13$	$13$ ✓

Răspuns

a_n = 2n + (-1)^n

, pentru

n \in \mathbb{N}^*

.

Exercițiul 4 · Termenul general din primii termeni

a)13,15,17,19,…\frac13, \frac15, \frac17, \frac19, \ldots31​,51​,71​,91​,…

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: regula numitorului ✓

3. Verificăm ✓

b)−1,12,−13,14,…-1, \frac12, -\frac13, \frac14, \ldots−1,21​,−31​,41​,…

1. Ce e nou: semnul alternează ✓

2. Formula și verificarea ✓

c)12,23,34,45,…\frac12, \frac23, \frac34, \frac45, \ldots21​,32​,43​,54​,…

1. Ce e nou: și numărătorul variază ✓

2. Formula și verificarea ✓

d)4,5,6,7,8,…4, 5, 6, 7, 8, \ldots4,5,6,7,8,…

1. Ideea: comparăm termenul cu rangul ✓

2. Formula și verificarea ✓

e)5,8,11,14,…5, 8, 11, 14, \ldots5,8,11,14,…

1. Recunoaștem șirul de la exercițiul 3 ✓

2. Folosim formula ✓

f)1,5,5,9,9,13,13,…1, 5, 5, 9, 9, 13, 13, \ldots1,5,5,9,9,13,13,…

1. Ce e nou: separăm rangurile impare de cele pare ✓

2. Unim cele două formule ✓

a) $\frac13, \frac15, \frac17, \frac19, \ldots$

1. Ce ni se cere

2. Ideea: regula numitorului

3. Verificăm

b) $-1, \frac12, -\frac13, \frac14, \ldots$

1. Ce e nou: semnul alternează

2. Formula și verificarea

c) $\frac12, \frac23, \frac34, \frac45, \ldots$

1. Ce e nou: și numărătorul variază

2. Formula și verificarea

d) $4, 5, 6, 7, 8, \ldots$

1. Ideea: comparăm termenul cu rangul

2. Formula și verificarea

e) $5, 8, 11, 14, \ldots$

1. Recunoaștem șirul de la exercițiul 3

2. Folosim formula

f) $1, 5, 5, 9, 9, 13, 13, \ldots$

1. Ce e nou: separăm rangurile impare de cele pare

2. Unim cele două formule