Culegere Burtea · Șiruri · ex. 6

Exercițiul 6 · Un șir cu radicali este mărginit

Se consideră șirul

(a_n)_{n\in\mathbb N^*}

definit prin

a_n = \sqrt{n+3} - \sqrt{n+2}

. Să se arate că șirul este mărginit.

Arată că șirul este mărginit.

Diferența a doi radicali care cresc amândoi e greu de estimat. Amplifică cu suma lor,

\sqrt{n+3} + \sqrt{n+2}

, și folosește formula din gimnaziu

(x - y)(x + y) = x^2 - y^2

1. Ce ni se cere
Breviarul culegerii spune că un șir este mărginit dacă există un interval $[a, b]$ care conține toți termenii lui:
$a \le a_n \le b$
Pentru orice $n \in \mathbb{N}^*$ . Numerele $a$ și $b$ sunt fixe: aceleași pentru toți termenii, oricât de mare ar fi $n$ .
Așa că trebuie să găsim două numere, unul sub toți termenii și unul peste toți termenii. Să vedem întâi câțiva termeni, cu $\sqrt3 \approx 1{,}732$ și $\sqrt5 \approx 2{,}236$ :
$a_1 = \sqrt4 - \sqrt3 = 2 - \sqrt3 \approx 0{,}268$
$a_2 = \sqrt5 - \sqrt4 = \sqrt5 - 2 \approx 0{,}236$
$a_3 = \sqrt6 - \sqrt5 \approx 0{,}213$
Termenii par pozitivi și tot mai mici. Dar câteva exemple nu dovedesc nimic despre toți termenii. Avem nevoie de un argument care merge pentru orice $n$ .

2. De ce e greu de estimat direct

În forma

a_n = \sqrt{n+3} - \sqrt{n+2}

, ambii radicali cresc când crește

n

, și cresc oricât de mult. Uită-te la ce se scade:

$n$	$\sqrt{n+3}$	$\sqrt{n+2}$	$a_n$
$1$	$2$	$1{,}732$	$0{,}268$
$100$	$10{,}149$	$10{,}100$	$0{,}049$
$1000$	$31{,}670$	$31{,}654$	$0{,}016$

Scădem două numere mari, aproape egale. Din forma de diferență nu se vede cât de mare e rezultatul, nici măcar că rămâne mic.

O primă idee: $\sqrt{n+2}$ e pozitiv, deci scăzându-l obții ceva mai mic decât $\sqrt{n+3}$ . Adică $a_n < \sqrt{n+3}$ .

Verifică-te

Inegalitatea

a_n < \sqrt{n+3}

e adevărată. De ce nu ajunge ca să arăți că șirul are o margine de sus?

Avem nevoie de altă scriere a lui

a_n

, din care marginile să se vadă ușor. Așa face și culegerea în exemplul rezolvat 6a): observă întâi că

0 \le \frac{2n-1}{n+1}

, apoi rescrie fracția ca

2 - \frac{3}{n+1}

și abia de aici dă marginea de sus.

3. Ideea: amplificăm cu suma radicalilor
Trucul nu apare în exemplele rezolvate ale culegerii, dar seamănă cu ceva ce știi. În problema 1c din manual ai avut $\frac{9}{\sqrt3}$ și ai amplificat cu $\sqrt3$ , pentru că $\sqrt3 \cdot \sqrt3 = 3$ și radicalul dispare. Aici folosim aceeași unealtă, amplificarea, dar cu alt scop: vrem să scăpăm de diferența de radicali, care e greu de estimat.
Pentru o diferență de radicali, acel „ceva” este suma lor, datorită formulei din gimnaziu:
$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$
Ca să fie mai ușor de scris, notăm $x = \sqrt{n+3}$ și $y = \sqrt{n+2}$ . Atunci $a_n = x - y$ , iar $x^2 = n + 3$ și $y^2 = n + 2$ . Amplificăm cu $x + y$ , adică înmulțim și împărțim cu același număr:
$a_n = \dfrac{(x - y)(x + y)}{x + y}$
$a_n = \dfrac{x^2 - y^2}{x + y}$
Valoarea nu se schimbă: $\frac{x + y}{x + y} = 1$ , iar $x + y > 0$ , deci nu împărțim la 0.
Verifică-te
Cât este numărătorul $x^2 - y^2 = (n + 3) - (n + 2)$ ?
Revenind la radicali:
$a_n = \dfrac{1}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n+2}}$
Radicalii nu au dispărut de tot: s-au mutat la numitor, iar diferența a devenit o sumă. Exact asta voiam. O diferență de doi radicali care cresc e greu de estimat, dar o sumă de doi radicali pozitivi care cresc e ușor de estimat: e pozitivă și crește și ea.
Regula din problema 1c, „nu lăsăm radical la numitor”, e despre cum scrii la final un număr fix. Aici nu căutăm forma finală a unui număr, ci o formă din care să se vadă marginile, așa că radicalii de la numitor ne ajută.
De ce cu suma, și nu cu aceeași diferență?
În problema 1c din manual ai amplificat chiar cu radicalul de la numitor. Aici asta n-ar ajuta: $(x - y)(x - y) = x^2 - 2xy + y^2$ , iar termenul $2xy$ are tot radical. Produsul dintre diferență și sumă, în schimb, scapă de ambii radicali. Suma $\sqrt{n+3} + \sqrt{n+2}$ se numește conjugata diferenței.
4. Din noua formă se văd marginile
Acum $a_n$ este o fracție cu numărătorul fix, $1$ , și numitorul $\sqrt{n+3} + \sqrt{n+2}$ .
Marginea de jos. Numitorul este o sumă de doi radicali pozitivi, deci e pozitiv. O fracție cu numărător și numitor pozitive este pozitivă, așa că $a_n > 0$ pentru orice $n$ .
Marginea de sus. Când $n$ crește, crește și numărul de sub fiecare radical, deci crește fiecare radical: de exemplu, $\sqrt5 > \sqrt4$ . Prin urmare, numitorul crește odată cu $n$ .
Verifică-te
Numitorul crește când crește $n$ , iar numărătorul rămâne 1. Ce se întâmplă cu $a_n$ ?
Cel mai mic numitor este deci cel de la $n = 1$ :
${\sqrt{n+3} + \sqrt{n+2} \ge 2 + \sqrt3}$
Pentru orice $n \ge 1$ : la $n = 1$ numitorul este $\sqrt4 + \sqrt3 = 2 + \sqrt3$ , apoi crește.
Numitor mai mare înseamnă fracție mai mică, așa că fiecare termen este cel mult egal cu fracția de la $n = 1$ :
$a_n \le \dfrac{1}{2 + \sqrt3}$
5. Cât este $\frac{1}{2 + \sqrt3}$
Marginea de sus, $\frac{1}{2 + \sqrt3}$ , nu mai depinde de $n$ : este un singur număr fix. Pe el chiar vrem să-l scriem simplu, fără radical la numitor, ca în problema 1c. E alt scop decât în pasul 3, unde am căutat o formă din care să se vadă marginile. Amplificăm cu $2 - \sqrt3$ , pentru că produsul de la numitor devine 1:
$\begin{aligned} &(2 + \sqrt3)(2 - \sqrt3) \\ &= 2^2 - (\sqrt3)^2 = 4 - 3 = 1 \end{aligned}$
Verifică-te
De ce nu amplificăm cu $\sqrt3$ , ca în problema 1c din manual?
${\dfrac{1}{2 + \sqrt3} = \dfrac{2 - \sqrt3}{(2 + \sqrt3)(2 - \sqrt3)}}$
Înmulțești cu $2 - \sqrt3$ și sus, și jos.
${\dfrac{1}{2 + \sqrt3} = \dfrac{2 - \sqrt3}{1} = 2 - \sqrt3}$
Cu zecimale, $2 - \sqrt3 \approx 0{,}268$ .
Observă că $2 - \sqrt3$ este chiar $a_1 = \sqrt4 - \sqrt3$ . Are sens: șirul scade, deci cel mai mare termen este primul.
6. Concluzia
Am arătat că, pentru orice $n \in \mathbb{N}^*$ ,
$0 < a_n \le 2 - \sqrt3$
Deci toți termenii se află în intervalul $[0,\ 2 - \sqrt3]$ . Este exact ce cere definiția din breviar, cu $a = 0$ și $b = 2 - \sqrt3$ , așa că șirul este mărginit.
Verificare cu termenii calculați: $a_1 \approx 0{,}268$ , $a_{100} \approx 0{,}049$ , $a_{1000} \approx 0{,}016$ . Toți sunt pozitivi și niciunul nu trece de $2 - \sqrt3 \approx 0{,}268$ .
Marginea de sus este atinsă, cea de jos nu
$a_1 = 2 - \sqrt3$ , deci marginea de sus este chiar un termen al șirului. Pe 0 însă niciun termen nu îl atinge: termenii scad, dar rămân pozitivi. Pentru mărginire nu contează asta: ajunge ca toți termenii să fie între cele două numere.

Răspuns

Pentru orice

n \in \mathbb{N}^*

a_n = \frac{1}{\sqrt{n+3} + \sqrt{n+2}}

, deci

0 < a_n \le 2 - \sqrt3

. Toți termenii sunt în intervalul

[0,\ 2 - \sqrt3]

, așa că șirul este mărginit.

Exercițiul 6 · Un șir cu radicali este mărginit

Arată că șirul este mărginit.

1. Ce ni se cere ✓

2. De ce e greu de estimat direct ✓

3. Ideea: amplificăm cu suma radicalilor ✓

4. Din noua formă se văd marginile ✓

5. Cât este 12+3\frac{1}{2 + \sqrt3}2+3​1​ ✓

6. Concluzia ✓

1. Ce ni se cere

2. De ce e greu de estimat direct

3. Ideea: amplificăm cu suma radicalilor

4. Din noua formă se văd marginile

5. Cât este $\frac{1}{2 + \sqrt3}$

6. Concluzia