Exercițiul 7 · Monotonia unor șiruri

a) $a_n = 2n - 1$

Metoda din exemplul rezolvat 7a): scrie

a_{n+1}

, calculează

a_{n+1} - a_n

și află semnul rezultatului. Aici nu ai fracții, deci calculul e scurt.

1. Ce ni se cere și cum procedăm
„A studia monotonia” înseamnă să afli dacă șirul crește, scade sau nu face nici una, și să justifici pentru toți termenii, nu doar pentru primii.
Ca în exemplul rezolvat 7a), comparăm doi termeni vecini oarecare prin diferența lor:
$\begin{aligned} &a_n < a_{n+1} \\ &\iff a_{n+1} - a_n > 0 \end{aligned}$
Dacă diferența e pozitivă pentru orice $n$ , șirul este strict crescător. Dacă e negativă pentru orice $n$ , este strict descrescător.
Primii termeni: $a_1 = 1$ , $a_2 = 3$ , $a_3 = 5$ . Par să crească, dar asta trebuie dovedit pentru orice $n$ .
Ca în exemplul rezolvat 2, pentru $a_{n+1}$ înlocuiești $n$ cu $n + 1$ , cu tot cu paranteză.
Verifică-te
Cât este $a_{n+1}$ ?
2. Diferența și concluzia
$\begin{aligned} &a_{n+1} - a_n \\ &= (2n + 1) - (2n - 1) \\ &= 2n + 1 - 2n + 1 = 2 \end{aligned}$
Minusul din fața parantezei schimbă semnul ambilor termeni: $-(2n - 1) = -2n + 1$ .
Verifică-te
Ce este șirul?
Diferența este $2 > 0$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^*$ , deci $a_n < a_{n+1}$ pentru orice $n$ .
Verificare: $a_2 - a_1 = 3 - 1 = 2$ ✓. Un șir cu diferența constantă este chiar o progresie aritmetică, cu rația 2, iar rația pozitivă înseamnă crescător.

Răspuns

a_{n+1} - a_n = 2 > 0

pentru orice

n \in \mathbb{N}^*

, deci șirul este strict crescător.

b) $a_n = \dfrac{n-1}{n^2+1}$

Calculează

a_{n+1} - a_n

la numitor comun și descompune numărătorul în factori. Semnul lui nu rămâne același pentru toți

n

: calculează și primii termeni.

1. Diferența a doi termeni vecini
Metoda e cea din exemplul rezolvat 7a): semnul lui $a_{n+1} - a_n$ . Înlocuiești $n$ cu $n + 1$ și îl scrii pe $a_{n+1}$ :
$\begin{aligned} a_{n+1} &= \dfrac{(n+1) - 1}{(n+1)^2 + 1} \\ &= \dfrac{n}{n^2 + 2n + 2} \end{aligned}$
$\begin{aligned} &a_{n+1} - a_n \\ &= \dfrac{n}{n^2+2n+2} - \dfrac{n-1}{n^2+1} \end{aligned}$
Numitorul comun este produsul celor doi numitori, $D = (n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1)$ . Amplifici prima fracție cu $n^2 + 1$ și a doua cu $n^2 + 2n + 2$ :
$a_{n+1} - a_n = \dfrac{N}{D}$
Numărătorul este $N = n(n^2+1) - (n-1)(n^2+2n+2)$ .
La numărător desfaci parantezele. Primul produs este $n^3 + n$ , iar al doilea este $(n - 1)(n^2 + 2n + 2) = n^3 + n^2 - 2$ .
Verifică-te
Cât este numărătorul, adică $(n^3 + n) - (n^3 + n^2 - 2)$ ?
2. Semnul numărătorului nu e constant
Numitorul $(n^2 + 2n + 2)(n^2 + 1)$ este pozitiv, deci semnul diferenței este semnul numărătorului. Îl descompui în factori, ca la ecuațiile de gradul al doilea din gimnaziu: rădăcinile lui $-n^2 + n + 2 = 0$ sunt $-1$ și $2$ .
$\begin{aligned} &-n^2 + n + 2 \\ &= -(n - 2)(n + 1) \end{aligned}$
Verifică-te
Pentru $n = 5$ , ce semn are $a_6 - a_5$ ? Numitorul e pozitiv, deci contează numărătorul $-(n - 2)(n + 1)$ .
Pentru $n \in \mathbb{N}^*$ factorul $n + 1$ este pozitiv, așa că semnul depinde de $-(n - 2)$ .
Pentru $n = 1$ : $-(1 - 2) = 1 > 0$ , deci $a_2 > a_1$ .
Pentru $n \ge 3$ : $-(n - 2) < 0$ , deci $a_{n+1} < a_n$ .
Semnul se schimbă, deci șirul nu poate fi nici crescător, nici descrescător pe tot parcursul. Ca în exemplul rezolvat 7b), o arătăm cu termeni concreți. Cazul $n = 2$ l-am lăsat deoparte.
Verifică-te
În exemplul 7b) culegerea a luat trei termeni $a_1 < a_2 > a_3$ . De ce nu merge la fel aici?
Termenii sunt:
$a_1$ $a_2$ $a_3$ $a_4$
$0$ $\frac15$ $\frac15$ $\frac{3}{17}$
Așadar:
$a_3 > a_4$ arată că șirul nu este crescător, pentru că „crescător” cere $a_n \le a_{n+1}$ pentru orice $n$ .
$a_1 < a_2$ arată că șirul nu este descrescător, pentru că „descrescător” cere $a_n \ge a_{n+1}$ pentru orice $n$ .
Șirul nu este monoton. De la rangul 2 încolo scade, dar primul pas, de la $a_1$ la $a_2$ , a mers în sus.

$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$
$0$	$\frac15$	$\frac15$	$\frac{3}{17}$

Răspuns

a_{n+1} - a_n = \dfrac{-(n-2)(n+1)}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}

își schimbă semnul. Avem

a_1 < a_2

și

a_3 > a_4

, deci șirul nu este monoton.

c) $a_n = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \ldots + \dfrac{1}{2n}$

Scrie

a_{n+1}

cu atenție: suma începe acum de la

\frac{1}{n+2}

și se termină la

\frac{1}{2n+2}

. Compară cu

a_n

și vezi ce termeni dispar și ce termeni apar.

1. Ce e nou: $a_n$ este o sumă care își schimbă capetele
Metoda rămâne cea de la a): semnul lui $a_{n+1} - a_n$ . Nou este că $a_n$ are $n$ termeni, de la $\frac{1}{n+1}$ la $\frac{1}{2n}$ , deci și numărul de termeni, și capetele se schimbă odată cu $n$ .
Pentru $a_{n+1}$ înlocuiești $n$ cu $n + 1$ peste tot. Primul termen devine $\frac{1}{(n+1)+1} = \frac{1}{n+2}$ , iar ultimul $\frac{1}{2(n+1)} = \frac{1}{2n+2}$ . Suma are acum $n + 1$ termeni:
$\begin{aligned} a_{n+1} &= \dfrac{1}{n+2} + \dfrac{1}{n+3} + \ldots \\ &\quad + \dfrac{1}{2n} \\ &\quad + \dfrac{1}{2n+1} + \dfrac{1}{2n+2} \end{aligned}$
Pune-le față în față: $a_n$ începe cu $\frac{1}{n+1}$ , iar $a_{n+1}$ începe cu $\frac{1}{n+2}$ . Termenii de la $\frac{1}{n+2}$ până la $\frac{1}{2n}$ sunt în ambele sume și se reduc la scădere.
Verifică-te
Ce rămâne din $a_{n+1} - a_n$ după reducere?
2. Aducem la numitor comun
Observă că $2n + 2 = 2(n + 1)$ , deci $\frac{1}{n+1} = \frac{2}{2n+2}$ . Termenii $\frac{1}{2n+2}$ și $-\frac{1}{n+1} = -\frac{2}{2n+2}$ se combină. Diferența $a_{n+1} - a_n$ este:
$\begin{aligned} &\tfrac{1}{2n+1} + \tfrac{1}{2n+2} - \tfrac{2}{2n+2} \\ &= \dfrac{1}{2n+1} - \dfrac{1}{2n+2} \\ &= \dfrac{(2n+2) - (2n+1)}{(2n+1)(2n+2)} \\ &= \dfrac{1}{(2n+1)(2n+2)} \end{aligned}$
Numărătorul este $1$ , iar numitorul este un produs de numere pozitive. Diferența este pozitivă pentru orice $n \in \mathbb{N}^*$ , deci șirul este strict crescător.
Verificare: $a_1 = \frac12$ și $a_2 = \frac13 + \frac14 = \frac{7}{12}$ , deci $a_2 - a_1 = \frac{1}{12}$ . Formula, pentru $n = 1$ , dă $\frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$ ✓.

Răspuns

a_{n+1} - a_n = \dfrac{1}{(2n+1)(2n+2)} > 0

pentru orice

n \in \mathbb{N}^*

, deci șirul este strict crescător.

d) $a_n = \dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots + \dfrac{1}{n^2}$

Ca la c):

a_{n+1}

are aceiași termeni ca

a_n

și încă unul, ultimul. Diferența lor este chiar termenul nou.

1. Ce se adaugă când trecem de la $n$ la $n + 1$
Ca la c), $a_n$ este o sumă cu un număr de termeni care depinde de $n$ . Diferența de față este mai simplă: suma începe mereu cu $\frac{1}{1^2}$ , deci niciun termen nu pleacă. Pentru $a_{n+1}$ înlocuiești $n$ cu $n + 1$ și suma se oprește la $\frac{1}{(n+1)^2}$ :
$\begin{aligned} a_{n+1} &= \dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots \\ &\quad + \dfrac{1}{(n+1)^2} \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $a_{n+1} - a_n$ ?
2. Concluzia
Diferența $\frac{1}{(n+1)^2}$ este o fracție cu numărătorul și numitorul pozitive, deci este pozitivă pentru orice $n \in \mathbb{N}^*$ . Atunci $a_n < a_{n+1}$ și șirul este strict crescător: la fiecare pas se adaugă un număr pozitiv.
Verificare: $a_1 = 1$ , $a_2 = 1 + \frac14 = 1{,}25$ , $a_3 = 1{,}25 + \frac19 \approx 1{,}361$ . Diferențele sunt $\frac14$ și $\frac19$ , adică exact $\frac{1}{2^2}$ și $\frac{1}{3^2}$ ✓.

Răspuns

a_{n+1} - a_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} > 0

pentru orice

n \in \mathbb{N}^*

, deci șirul este strict crescător.

e) $a_n = \dfrac{1-n}{n+2}$

Metoda de la exemplul 7a):

a_{n+1} - a_n

la numitorul comun

(n+3)(n+2)

. Atenție la semnul din

1 - (n+1)

.

1. Scriem diferența
Înlocuiești $n$ cu $n + 1$ : la numărător $1 - (n + 1) = -n$ , iar la numitor $(n + 1) + 2 = n + 3$ . Deci $a_{n+1} = \frac{-n}{n+3}$ .
$\begin{aligned} &a_{n+1} - a_n \\ &= \dfrac{-n}{n+3} - \dfrac{1-n}{n+2} \\ &= \dfrac{N}{(n+3)(n+2)} \end{aligned}$
Numărătorul este $N = -n(n+2) - (1-n)(n+3)$ . Desfaci parantezele. Primul produs este $-n^2 - 2n$ . Pentru al doilea, înmulțești fiecare termen din $1 - n$ cu fiecare din $n + 3$ :
$\begin{aligned} &(1 - n)(n + 3) \\ &= n + 3 - n^2 - 3n \\ &= -n^2 - 2n + 3 \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este numărătorul $(-n^2 - 2n) - (-n^2 - 2n + 3)$ ?
2. Concluzia
$a_{n+1} - a_n = \dfrac{-3}{(n+2)(n+3)}$
Numitorul este pozitiv, iar numărătorul este $-3 < 0$ . Diferența este negativă pentru orice $n \in \mathbb{N}^*$ , deci $a_{n+1} < a_n$ și șirul este strict descrescător.
Verificare: $a_1 = 0$ , $a_2 = -\frac14$ , $a_3 = -\frac25$ . Diferența $a_2 - a_1 = -\frac14$ , iar formula dă pentru $n = 1$ : $\frac{-3}{3 \cdot 4} = -\frac14$ ✓.

Răspuns

a_{n+1} - a_n = \dfrac{-3}{(n+2)(n+3)} < 0

pentru orice

n \in \mathbb{N}^*

, deci șirul este strict descrescător.

f) $a_n = \dfrac{n^2+1}{n+2}$

Metoda de la a) din exemplul 7:

a_{n+1} - a_n

la numitorul comun

(n+3)(n+2)

. Numărătorul e un polinom cu toți coeficienții pozitivi.

1. Scriem diferența
Pentru $a_{n+1}$ înlocuiești $n$ cu $n + 1$ : $(n + 1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 2$ la numărător și $n + 3$ la numitor.
$\begin{aligned} &a_{n+1} - a_n \\ &= \dfrac{n^2+2n+2}{n+3} - \dfrac{n^2+1}{n+2} \\ &= \dfrac{N}{(n+3)(n+2)} \end{aligned}$
Numărătorul $N$ este diferența produselor obținute la amplificare, adică:
$\begin{aligned} N &= (n^2+2n+2)(n+2) \\ &\quad - (n^2+1)(n+3) \end{aligned}$
Primul produs este $n^3 + 4n^2 + 6n + 4$ , al doilea este $n^3 + 3n^2 + n + 3$ .
Verifică-te
Cât este numărătorul diferenței, adică primul produs minus al doilea?
2. Concluzia
$a_{n+1} - a_n = \dfrac{n^2 + 5n + 1}{(n+2)(n+3)}$
Pentru $n \in \mathbb{N}^*$ , numărătorul $n^2 + 5n + 1$ este o sumă de numere pozitive, deci pozitiv, iar numitorul e pozitiv. Diferența este pozitivă pentru orice $n$ , deci șirul este strict crescător.
Verificare: $a_1 = \frac23$ și $a_2 = \frac54$ , deci $a_2 - a_1 = \frac{7}{12}$ . Formula, pentru $n = 1$ , dă $\frac{7}{3 \cdot 4} = \frac{7}{12}$ ✓.

Răspuns

a_{n+1} - a_n = \dfrac{n^2+5n+1}{(n+2)(n+3)} > 0

pentru orice

n \in \mathbb{N}^*

, deci șirul este strict crescător.

g) $a_n = \dfrac{n^2-2n}{n^2+1}$

Metoda de la a) din exemplul 7. La

a_{n+1}

observă că

(n+1)^2 - 2(n+1) = n^2 - 1

. Numărătorul diferenței nu e pozitiv „de la sine”: studiază-l pentru

n \ge 1

.

1. Scriem diferența
La $a_{n+1}$ , numărătorul este $(n + 1)^2 - 2(n + 1)$ . Îl desfaci:
$\begin{aligned} &(n+1)^2 - 2(n+1) \\ &= n^2 + 2n + 1 - 2n - 2 \\ &= n^2 - 1 \end{aligned}$
Numitorul este $(n + 1)^2 + 1 = n^2 + 2n + 2$ .
$\begin{aligned} &a_{n+1} - a_n \\ &= \dfrac{n^2-1}{n^2+2n+2} - \dfrac{n^2-2n}{n^2+1} \\ &= \dfrac{N}{(n^2+2n+2)(n^2+1)} \end{aligned}$
Numărătorul $N$ se obține amplificând fiecare fracție cu numitorul celeilalte:
$\begin{aligned} N &= (n^2-1)(n^2+1) \\ &\quad - (n^2-2n) \\ &\quad \cdot (n^2+2n+2) \end{aligned}$
Primul produs este $n^4 - 1$ . Al doilea se desface în $2$ pași:
$\begin{aligned} &(n^2-2n)(n^2+2n+2) \\ &= n^4 + 2n^3 + 2n^2 \\ &\quad - 2n^3 - 4n^2 - 4n \\ &= n^4 - 2n^2 - 4n \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este numărătorul, adică $(n^4 - 1) - (n^4 - 2n^2 - 4n)$ ?
2. Semnul numărătorului
Numitorul este pozitiv. Numărătorul $2n^2 + 4n - 1$ are și un termen negativ, deci nu e evident pozitiv. Dar pentru $n \ge 1$ avem $2n^2 \ge 2$ și $4n \ge 4$ , deci $2n^2 + 4n \ge 6$ , iar
$\begin{aligned} 2n^2 + 4n - 1 &\ge 6 - 1 \\ &= 5 > 0 \end{aligned}$
Diferența $a_{n+1} - a_n$ este pozitivă pentru orice $n \in \mathbb{N}^*$ , deci șirul este strict crescător.
Verificare: $a_1 = -\frac12$ , $a_2 = 0$ , $a_3 = \frac{3}{10}$ . Diferența $a_2 - a_1 = \frac12$ , iar formula dă pentru $n = 1$ : $\frac{5}{5 \cdot 2} = \frac12$ ✓.

Răspuns

a_{n+1} - a_n = \dfrac{2n^2+4n-1}{(n^2+2n+2)(n^2+1)} > 0

pentru orice

n \in \mathbb{N}^*

, deci șirul este strict crescător.

Exercițiul 7 · Monotonia unor șiruri

a)an=2n−1a_n = 2n - 1an​=2n−1

1. Ce ni se cere și cum procedăm ✓

2. Diferența și concluzia ✓

b)an=n−1n2+1a_n = \dfrac{n-1}{n^2+1}an​=n2+1n−1​

1. Diferența a doi termeni vecini ✓

2. Semnul numărătorului nu e constant ✓

c)an=1n+1+1n+2+…+12na_n = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \ldots + \dfrac{1}{2n}an​=n+11​+n+21​+…+2n1​

1. Ce e nou: ana_nan​ este o sumă care își schimbă capetele ✓

2. Aducem la numitor comun ✓

d)an=112+122+…+1n2a_n = \dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots + \dfrac{1}{n^2}an​=121​+221​+…+n21​

1. Ce se adaugă când trecem de la nnn la n+1n + 1n+1 ✓

2. Concluzia ✓

e)an=1−nn+2a_n = \dfrac{1-n}{n+2}an​=n+21−n​

1. Scriem diferența ✓

2. Concluzia ✓

f)an=n2+1n+2a_n = \dfrac{n^2+1}{n+2}an​=n+2n2+1​

1. Scriem diferența ✓

2. Concluzia ✓

g)an=n2−2nn2+1a_n = \dfrac{n^2-2n}{n^2+1}an​=n2+1n2−2n​

1. Scriem diferența ✓

2. Semnul numărătorului ✓

a) $a_n = 2n - 1$

1. Ce ni se cere și cum procedăm

2. Diferența și concluzia

b) $a_n = \dfrac{n-1}{n^2+1}$

1. Diferența a doi termeni vecini

2. Semnul numărătorului nu e constant

c) $a_n = \dfrac{1}{n+1} + \dfrac{1}{n+2} + \ldots + \dfrac{1}{2n}$

1. Ce e nou: $a_n$ este o sumă care își schimbă capetele

2. Aducem la numitor comun

d) $a_n = \dfrac{1}{1^2} + \dfrac{1}{2^2} + \ldots + \dfrac{1}{n^2}$

1. Ce se adaugă când trecem de la $n$ la $n + 1$

2. Concluzia

e) $a_n = \dfrac{1-n}{n+2}$

1. Scriem diferența

2. Concluzia

f) $a_n = \dfrac{n^2+1}{n+2}$

1. Scriem diferența

2. Concluzia

g) $a_n = \dfrac{n^2-2n}{n^2+1}$

1. Scriem diferența

2. Semnul numărătorului