Exercițiul 8 · Un șir care se repetă

a)Termenii $a_3$ , $a_4$ , $a_5$ , $a_6$ .

Ca în exemplul rezolvat 4: dă lui

n

valorile

1, 2, 3, 4

pe rând. Fiecare termen se obține din ceilalți doi dinaintea lui:

a_{n+2} = \frac{a_{n+1}}{a_n}

.

1. Ce ni se cere
Șirul e dat printr-o relație de recurență: știm primii doi termeni, $a_1 = 4$ și $a_2 = 8$ , iar fiecare termen următor se obține din ceilalți doi dinaintea lui, prin
$a_{n+2} = \dfrac{a_{n+1}}{a_n}$
Termenul nou este termenul de dinainte împărțit la cel de dinaintea lui.
Cerința e să afli $a_3$ , $a_4$ , $a_5$ , $a_6$ . Nu ai nevoie de o formulă în $n$ : ca în exemplul rezolvat 4, dai lui $n$ valorile $1, 2, 3, \ldots$ pe rând și îi afli pe rând pe $a_3$ , $a_4$ și așa mai departe.
2. Dăm lui $n$ valorile $1, 2, 3, 4$
Pentru $n = 1$ relația spune $a_3 = \frac{a_2}{a_1}$ . Indicii se citesc așa: $a_{n+2}$ pentru $n = 1$ este $a_3$ , $a_{n+1}$ este $a_2$ și $a_n$ este $a_1$ .
$a_3 = \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{8}{4} = 2$
Pentru $n = 2$ : $a_4 = \frac{a_3}{a_2}$ . Numărătorul este termenul pe care tocmai l-ai aflat.
Verifică-te
Cât este $a_4$ ?
Pentru $n = 3$ : $a_5 = \frac{a_4}{a_3} = \frac{1/4}{2}$ . Împărțirea unei fracții la 2 înseamnă înmulțirea cu $\frac12$ , deci $a_5 = \frac14 \cdot \frac12 = \frac18$ .
Verifică-te
Pentru $n = 4$ : $a_6 = \frac{a_5}{a_4} = \frac{1/8}{1/4}$ . Cât este $a_6$ ?
$a_1$ $a_2$ $a_3$ $a_4$ $a_5$ $a_6$
$4$ $8$ $2$ $\frac14$ $\frac18$ $\frac12$

$a_1$	$a_2$	$a_3$	$a_4$	$a_5$	$a_6$
$4$	$8$	$2$	$\frac14$	$\frac18$	$\frac12$

Răspuns

a_3 = 2

,

a_4 = \frac14

,

a_5 = \frac18

,

a_6 = \frac12

.

b)Verifică $a_1 = a_7$ și $a_2 = a_8$ .

Continuă calculul de la a):

a_7 = \frac{a_6}{a_5}

și

a_8 = \frac{a_7}{a_6}

. Pentru

a_6

și

a_5

folosește rezultatele de la a).

1. Încă doi termeni
Aceeași metodă ca la a), cu $n = 5$ și $n = 6$ . Din a) știm $a_5 = \frac18$ și $a_6 = \frac12$ .
$a_7 = \dfrac{a_6}{a_5} = \dfrac{1/2}{1/8} = \dfrac12 \cdot 8 = 4$
Verifică-te
Pentru $n = 6$ : $a_8 = \dfrac{a_7}{a_6}$ . Cât este $a_8$ ?
2. Concluzia: șirul se repetă
Am obținut $a_7 = 4 = a_1$ și $a_8 = 8 = a_2$ , deci verificarea este făcută.
Ce înseamnă asta? Fiecare termen depinde doar de ceilalți doi dinaintea lui. Dacă $a_7$ și $a_8$ sunt aceiași ca $a_1$ și $a_2$ , următorul, $a_9$ , se calculează la fel ca $a_3$ și iese $2$ , apoi $a_{10} = a_4$ și așa mai departe. Șirul se repetă din 6 în 6 termeni:
$\begin{aligned} &4, \; 8, \; 2, \; \tfrac14, \; \tfrac18, \; \tfrac12, \\ &4, \; 8, \; 2, \; \tfrac14, \; \ldots \end{aligned}$
Un grup de 6 termeni, repetat la nesfârșit. Spunem că șirul este periodic, cu perioada 6.
Aceasta ajută la restul exercițiului: pentru $a_{2010}$ nu mai calculezi 2010 termeni, ci folosești repetarea.

Răspuns

a_7 = 4 = a_1

și

a_8 = 8 = a_2

, deci șirul se repetă din 6 în 6 termeni:

a_{n+6} = a_n

.

c)Determină $a_{2010}$ .

De la b) știi că șirul se repetă din 6 în 6. Împarte 2010 la 6 și vezi ce rest iese: restul spune ce loc ocupă termenul în grupul de 6.

1. Ce e nou: folosim perioada
Să calculezi 2010 termeni unul după altul nu e o idee bună. De la b) știm însă că $a_{n+6} = a_n$ : după 6 termeni totul se repetă. Tehnica aceasta, cu perioada, nu apare în exemplele rezolvate ale culegerii, dar folosește ceva ce știi din gimnaziu: împărțirea cu rest.
Termenii se repetă în grupuri de câte 6, în ordinea $a_1, a_2, \ldots, a_6$ . Un termen $a_k$ este egal cu cel de pe același loc din primul grup. Locul îl dă restul împărțirii lui $k$ la 6:
Restul lui $k$ la 6 $a_k$ este egal cu
$1$ $a_1$
$2$ $a_2$
$3$ $a_3$
$4$ $a_4$
$5$ $a_5$
$0$ $a_6$
2. Aplicăm la 2010
Aplici tabelul pentru $k = 2010$ : împarți 2010 la 6 și vezi ce rest iese. Un rest $0$ ar însemna că $k$ se împarte exact la 6.
Verifică-te
Cu ce este egal $a_{2010}$ ?
Din a), $a_6 = \frac12$ , deci $a_{2010} = \frac12$ .

Restul lui $k$ la 6	$a_k$ este egal cu
$1$	$a_1$
$2$	$a_2$
$3$	$a_3$
$4$	$a_4$
$5$	$a_5$
$0$	$a_6$

Răspuns

2010 = 6 \cdot 335

, deci

a_{2010} = a_6 = \frac12

.

d)Câți termeni dintre $a_1, a_2, \ldots, a_{2010}$ sunt egali cu $2$ ?

Într-un grup de 6 termeni, 2 apare o singură dată, pe locul 3. Câte grupuri complete sunt în primii 2010 termeni?

1. În ce grupuri apare $2$
Un grup de 6 termeni este $4, 8, 2, \frac14, \frac18, \frac12$ . Valoarea $2$ apare o singură dată, pe locul al treilea. Prin urmare $a_k = 2$ exact când $k$ are restul $3$ la împărțirea cu 6, adică $k$ este $3, 9, 15, \ldots$
Primii 2010 termeni se împart în grupuri de câte 6. Câte grupuri complete sunt?
Verifică-te
Câte grupuri complete de 6 termeni sunt în primii 2010 termeni?
2. Numărăm
Fiecare dintre cele 335 de grupuri conține exact un termen egal cu $2$ , iar în rest nu mai este nici unul, pentru că ceilalți cinci termeni din grup sunt $4, 8, \frac14, \frac18, \frac12$ . Deci sunt $335 \cdot 1 = 335$ termeni egali cu 2.
Verificare pe primele două grupuri, $a_1, \ldots, a_{12}$ : valoarea $2$ apare la $a_3$ și la $a_9$ , adică de $2$ ori în $2$ grupuri ✓.

Răspuns

Sunt

335

de termeni egali cu

2

: câte unul în fiecare dintre cele

335

de grupuri de 6.

e)Calculează $a_1 + a_2 + \ldots + a_{2010}$ .

Suma primilor 2010 termeni este de 335 de ori suma unui grup de 6 termeni. Adună mai întâi un grup, cu numitor comun 8.

1. Suma unui grup
Cei 2010 termeni formează 335 de grupuri identice de câte 6 (vezi c). Calculăm întâi suma unui grup, aducând la numitorul comun 8: $\frac14 = \frac28$ și $\frac12 = \frac48$ .
$\begin{aligned} &4 + 8 + 2 + \dfrac14 + \dfrac18 + \dfrac12 \\ &= 14 + \dfrac28 + \dfrac18 + \dfrac48 \end{aligned}$
Numerele întregi sumează $4 + 8 + 2 = 14$ .
Verifică-te
Cât este suma unui grup?
2. Suma celor 335 de grupuri
$\begin{aligned} S &= 335 \cdot \dfrac{119}{8} \\ &= \dfrac{335 \cdot 119}{8} = \dfrac{39865}{8} \end{aligned}$
Calculul: $335 \cdot 119 = 335 \cdot 120 - 335$ , adică $40200 - 335 = 39865$ .
Fracția nu se simplifică, pentru că numărătorul $39865$ este impar, iar numitorul 8 este o putere a lui 2. În zecimale, $S = 4983{,}125$ .

Răspuns

Un grup are suma

\frac{119}{8}

, deci suma celor 2010 termeni este

335 \cdot \frac{119}{8} = \frac{39865}{8}

.

f)Calculează $a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{2010}$ .

Ca la e): produsul este de 335 de ori înmulțit produsul unui grup de 6 termeni. Calculează întâi produsul unui grup.

1. Produsul unui grup
La fel ca la e), produsul celor 2010 termeni este produsul unui grup, înmulțit cu el însuși de 335 de ori. Produsul unui grup: observă că unii termeni sunt inverși unul altuia (un număr și inversul lui), deci se pot grupa câte doi.
Verifică-te
Cât este produsul unui grup?
Grupat pe perechi de inverse, produsul unui grup se scrie:
$\begin{aligned} &4 \cdot 8 \cdot 2 \cdot \tfrac14 \cdot \tfrac18 \cdot \tfrac12 \\ &= (4 \cdot \tfrac14)(8 \cdot \tfrac18)(2 \cdot \tfrac12) \end{aligned}$
2. Produsul celor 335 de grupuri
$P = 1^{335} = 1$
Produsul lui $1$ cu el însuși, de oricâte ori, rămâne $1$ .
Deci produsul primilor 2010 termeni este $1$ . Observă diferența față de e): la sumă înmulțim cu numărul de grupuri, la produs ridicăm la puterea numărul de grupuri.

Răspuns

Un grup are produsul

1

, deci

a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{2010} = 1^{335} = 1

.

Exercițiul 8 · Un șir care se repetă

a)Termenii a3a_3a3​, a4a_4a4​, a5a_5a5​, a6a_6a6​.

1. Ce ni se cere ✓

2. Dăm lui nnn valorile 1,2,3,41, 2, 3, 41,2,3,4 ✓

b)Verifică a1=a7a_1 = a_7a1​=a7​ și a2=a8a_2 = a_8a2​=a8​.

1. Încă doi termeni ✓

2. Concluzia: șirul se repetă ✓

c)Determină a2010a_{2010}a2010​.

1. Ce e nou: folosim perioada ✓

2. Aplicăm la 2010 ✓

d)Câți termeni dintre a1,a2,…,a2010a_1, a_2, \ldots, a_{2010}a1​,a2​,…,a2010​ sunt egali cu 222?

1. În ce grupuri apare 222 ✓

2. Numărăm ✓

e)Calculează a1+a2+…+a2010a_1 + a_2 + \ldots + a_{2010}a1​+a2​+…+a2010​.

1. Suma unui grup ✓

2. Suma celor 335 de grupuri ✓

f)Calculează a1⋅a2⋅…⋅a2010a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{2010}a1​⋅a2​⋅…⋅a2010​.

1. Produsul unui grup ✓

2. Produsul celor 335 de grupuri ✓

a)Termenii $a_3$ , $a_4$ , $a_5$ , $a_6$ .

1. Ce ni se cere

2. Dăm lui $n$ valorile $1, 2, 3, 4$

b)Verifică $a_1 = a_7$ și $a_2 = a_8$ .

1. Încă doi termeni

2. Concluzia: șirul se repetă

c)Determină $a_{2010}$ .

1. Ce e nou: folosim perioada

2. Aplicăm la 2010

d)Câți termeni dintre $a_1, a_2, \ldots, a_{2010}$ sunt egali cu $2$ ?

1. În ce grupuri apare $2$

2. Numărăm

e)Calculează $a_1 + a_2 + \ldots + a_{2010}$ .

1. Suma unui grup

2. Suma celor 335 de grupuri

f)Calculează $a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_{2010}$ .

1. Produsul unui grup

2. Produsul celor 335 de grupuri