MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Șiruri · exemplu rezolvat 2

Exemplu rezolvat 2 · Termeni din formula termenului general

Se consideră șirul (an)(a_n) cu termenul general an=3n2−na_n = 3n^2 - n, n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

a)Să se determine termenii de rang 2,3,82, 3, 8 și n+1n+1.

Termenul de rang kk este aka_k: îl obții înlocuind nn cu kk în formula an=3n2−na_n = 3n^2 - n. Pentru rangul n+1n + 1 înlocuiești nn cu (n+1)(n + 1), cu tot cu paranteză.

  1. 1. Ce ni se cere

    Breviarul culegerii spune că rangul unui termen este indicele lui, adică locul pe care stă în șir. Termenul de rang 2 este a2a_2, cel de rang 3 este a3a_3, și așa mai departe.

    Deci trebuie să afli patru termeni: a2a_2, a3a_3, a8a_8 și an+1a_{n+1}. Primii trei sunt numere. Ultimul e diferit: rangul lui nu e un număr anume, ci expresia n+1n + 1, așa că rezultatul va fi tot o expresie cu nn.

  2. 2. Ideea: înlocuim nn cu rangul

    Șirul este dat printr-o formulă, an=3n2−na_n = 3n^2 - n. Breviarul spune ce faci cu o astfel de formulă: dai lui nn o valoare și obții termenul de pe locul acela.

    Atenție, nn apare de două ori în formulă: o dată la pătrat și o dată la final, unde se scade. Înlocuiești în ambele locuri cu același număr. Pentru rangul 2:

    a2=3⋅22−2=3⋅4−2=10\begin{aligned} a_2 &= 3 \cdot 2^2 - 2 \\ &= 3 \cdot 4 - 2 = 10 \end{aligned}
    Ordinea operațiilor: întâi ridici la pătrat (22=42^2 = 4), apoi înmulțești cu 3, la final scazi.

    Verifică-te

    Termină tu: cât este a3=3⋅32−3a_3 = 3 \cdot 3^2 - 3?
    La fel pentru rangul 8:
    a8=3⋅82−8=192−8=184\begin{aligned} a_8 &= 3 \cdot 8^2 - 8 \\ &= 192 - 8 = 184 \end{aligned}
    82=648^2 = 64 și 3⋅64=1923 \cdot 64 = 192.

  3. 3. Termenul de rang n+1n + 1

    Regula e aceeași: în locul lui nn pui rangul. Acum rangul este n+1n + 1, deci îl pui între paranteze în ambele locuri:
    an+1=3(n+1)2−(n+1)a_{n+1} = 3(n + 1)^2 - (n + 1)
    Parantezele arată că se ridică la pătrat tot n+1n + 1 și că se scade tot n+1n + 1.

    Fără paranteze ai scrie 3n+12−n+13n + 1^2 - n + 1, adică altceva: pătratul s-ar aplica doar lui 1, iar minusul doar lui nn.

    Ca să aduci expresia la o formă simplă, folosești formula din gimnaziu pentru pătratul unei sume:

    (n+1)2=n2+2n+1(n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1

    Verifică-te

    Desfaci parantezele în 3(n+1)2−(n+1)3(n + 1)^2 - (n + 1) și reduci termenii asemenea. Ce obții?

  4. 4. Verificăm formula găsită

    Formula an+1=3n2+5n+2a_{n+1} = 3n^2 + 5n + 2 trebuie să dea, pentru fiecare nn, termenul de pe locul n+1n + 1. O putem testa cu termenii pe care i-am calculat deja:
    nn3n2+5n+23n^2 + 5n + 2Ar trebui să fie
    113+5+2=103 + 5 + 2 = 10a2=10a_2 = 10 ✓
    2212+10+2=2412 + 10 + 2 = 24a3=24a_3 = 24 ✓
    77147+35+2=184147 + 35 + 2 = 184a8=184a_8 = 184 ✓
    Pentru n=7n = 7 formula dă termenul de rang 7+1=87 + 1 = 8. Toate trei se potrivesc.
Răspuns
a2=10a_2 = 10, a3=24a_3 = 24, a8=184a_8 = 184 și an+1=3n2+5n+2a_{n+1} = 3n^2 + 5n + 2.

b)Să se calculeze suma a3+4a5−a10a_3 + 4a_5 - a_{10}.

Pe a3a_3 îl ai de la a). Calculează a5a_5 și a10a_{10} cu aceeași formulă, apoi înlocuiește în sumă. 4a54a_5 înseamnă 4⋅a54 \cdot a_5.

  1. 1. Ce e nou: mai întâi termenii din sumă

    În sumă apar trei termeni: a3a_3, a5a_5 și a10a_{10}. Pe a3=24a_3 = 24 l-ai calculat la a). Pe ceilalți doi îi afli la fel, înlocuind nn cu rangul:
    a5=3⋅52−5=75−5=70a_5 = 3 \cdot 5^2 - 5 = 75 - 5 = 70

    Verifică-te

    Cât este a10=3⋅102−10a_{10} = 3 \cdot 10^2 - 10?

  2. 2. Calculăm suma

    Avem a3=24a_3 = 24, a5=70a_5 = 70 și a10=290a_{10} = 290. Înainte să înlocuiești, uită-te la termenul din mijloc, 4a54a_5.

    Verifică-te

    Ce înseamnă 4a54a_5?
    a3+4a5−a10=24+4⋅70−290=24+280−290=14\begin{aligned} &a_3 + 4a_5 - a_{10} \\ &= 24 + 4 \cdot 70 - 290 \\ &= 24 + 280 - 290 \\ &= 14 \end{aligned}
    Întâi înmulțirea, apoi adunarea și scăderea, de la stânga la dreapta: 24+280=30424 + 280 = 304 și 304−290=14304 - 290 = 14.
Răspuns
a3+4a5−a10=14a_3 + 4a_5 - a_{10} = 14.