MateClar
← Capitol

Culegere Burtea · Șiruri · exemplu rezolvat 3

Exemplu rezolvat 3 · Este un număr termen al șirului?

Se consideră șirul (an)(a_n) cu formula termenului general an=2n2−na_n = 2n^2 - n, n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.

a)Să se determine termenii a1,a2,a10a_1, a_2, a_{10}.

Înlocuiești nn cu 1, apoi cu 2, apoi cu 10 în an=2n2−na_n = 2n^2 - n. nn apare de două ori: și la pătrat, și în termenul care se scade.

  1. 1. Ce ni se cere

    Trebuie să afli trei termeni ai șirului: primul, a1a_1, al doilea, a2a_2, și al zecelea, a10a_{10}.

    Șirul este dat prin formula termenului general, an=2n2−na_n = 2n^2 - n, ca în exemplul rezolvat 2. Metoda e aceeași: în locul lui nn pui rangul termenului căutat. Și aici nn apare de două ori, așa că înlocuiești în ambele locuri cu același număr.

  2. 2. Calculăm a1a_1 și a2a_2

    Pentru n=1n = 1:
    a1=2⋅12−1=2−1=1a_1 = 2 \cdot 1^2 - 1 = 2 - 1 = 1
    Nu te opri la 2⋅12=22 \cdot 1^2 = 2: din el mai scazi n=1n = 1.
    Pentru n=2n = 2, înlocuiești ambii nn cu 2:

    Verifică-te

    Cât este a2a_2?

  3. 3. Calculăm a10a_{10} și verificăm

    a10=2⋅102−10=200−10=190\begin{aligned} a_{10} &= 2 \cdot 10^2 - 10 \\ &= 200 - 10 = 190 \end{aligned}
    102=10010^2 = 100 și 2⋅100=2002 \cdot 100 = 200, iar din 200 scazi n=10n = 10.
    O verificare rapidă: în 2n2−n2n^2 - n ambii termeni îl conțin pe nn, deci îl poți scoate factor comun:
    an=n(2n−1)a_n = n(2n - 1)
    Cu această formă, fiecare termen este un produs simplu:
    Termenn(2n−1)n(2n - 1)Valoare
    a1a_11⋅11 \cdot 111 ✓
    a2a_22⋅32 \cdot 366 ✓
    a10a_{10}10⋅1910 \cdot 19190190 ✓
Răspuns
a1=1a_1 = 1, a2=6a_2 = 6 și a10=190a_{10} = 190.

b)Să se verifice dacă numerele 120120 și 324324 sunt termeni ai șirului (an)(a_n).

120 este termen dacă există un rang n∈N∗n \in \mathbb{N}^* cu an=120a_n = 120. Rezolvă ecuația de gradul al doilea 2n2−n=1202n^2 - n = 120 și vezi dacă are o soluție naturală nenulă. La fel pentru 324.

  1. 1. Ce e nou: căutăm rangul, nu termenul

    La a) știai rangul și calculai termenul. Acum e invers: știi o valoare, 120, și te întrebi dacă vreun termen al șirului este egal cu ea.

    „120 este termen al șirului” înseamnă că există un rang n∈N∗n \in \mathbb{N}^* pentru care an=120a_n = 120. Culegerea pornește chiar de aici: presupune că un astfel de nn există și scrie egalitatea:

    2n2−n=1202n^2 - n = 120

    Este o ecuație în necunoscuta nn. Dacă are o soluție număr natural nenul, aceea este rangul căutat. Dacă nu are, 120 nu apare în șir.

    Pentru că nn apare la pătrat, este o ecuație de gradul al doilea. O aduci la forma an2+bn+c=0an^2 + bn + c = 0, trecând 120 în stânga:

    2n2−n−120=02n^2 - n - 120 = 0
    Coeficienții sunt a=2a = 2, b=−1b = -1, c=−120c = -120. Aici aa, bb, cc sunt coeficienții ecuației, nu termeni ai șirului.

  2. 2. Calculăm discriminantul

    Rezolvi ecuația cu formula pe care ai întâlnit-o în gimnaziu (manualul o va relua la funcția de gradul al doilea). Mai întâi calculezi discriminantul:
    Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac

    Verifică-te

    Cât este Δ\Delta pentru a=2a = 2, b=−1b = -1, c=−120c = -120?
    Numărul 961 este un pătrat perfect: 312=96131^2 = 961. Asta înseamnă că Δ=31\sqrt{\Delta} = 31 și soluțiile vor fi numere raționale.

  3. 3. Care soluție poate fi rang?

    n1,2=−b±Δ2a=1±314n_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 \pm 31}{4}
    −b=−(−1)=1-b = -(-1) = 1 și 2a=42a = 4.
    n1=324=8n2=−304=−152\begin{aligned} n_1 &= \frac{32}{4} = 8 \\ n_2 &= \frac{-30}{4} = -\frac{15}{2} \end{aligned}

    Verifică-te

    Ecuația are două soluții. Ce concluzie tragi?
    Verificare directă: a8=2⋅82−8=128−8=120a_8 = 2 \cdot 8^2 - 8 = 128 - 8 = 120 ✓. Deci 120 este termenul de rang 8.

  4. 4. Și numărul 324?

    Procedezi la fel: presupui că an=324a_n = 324 pentru un n∈N∗n \in \mathbb{N}^* și ajungi la ecuația
    2n2−n−324=02n^2 - n - 324 = 0
    Δ=1+8⋅324=2593\Delta = 1 + 8 \cdot 324 = 2593
    Ca înainte, b2=1b^2 = 1, iar −4ac=8⋅324=2592-4ac = 8 \cdot 324 = 2592.
    Culegerea observă că 2593 nu este pătrat perfect.

    Verifică-te

    De ce nu este 2593 pătrat perfect?
    Știi din gimnaziu că rădăcina pătrată a unui număr natural care nu este pătrat perfect este un număr irațional. Atunci soluțiile ecuației
    n1,2=1±25934n_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{2593}}{4}
    sunt iraționale, deci niciuna nu este număr natural. Prin urmare, nu există niciun rang nn cu an=324a_n = 324: 324 nu este termen al șirului.
Răspuns
120120 este termen al șirului: a8=120a_8 = 120. 324324 nu este termen al șirului, pentru că ecuația 2n2−n=3242n^2 - n = 324 nu are soluții numere naturale.