Culegere Burtea · Șiruri · exemplu rezolvat 5

Exemplu rezolvat 5 · Șir dat printr-o relație de recurență

Se consideră șirul

(a_n)

definit prin relația de recurență

a_{n+1} = a_n + 5

n \ge 1

și

a_1 = 3

a)Să se determine $5a_2 - 2a_3$ .

Relația spune că fiecare termen este cel dinaintea lui plus 5. Pune

n = 1

ca să afli

a_2

din

a_1

, apoi

n = 2

ca să afli

a_3

din

a_2

1. Ce ni se cere
Ca să calculezi $5a_2 - 2a_3$ , îți trebuie termenii $a_2$ și $a_3$ .
De data asta nu ai o formulă $a_n = \ldots$ în care să înlocuiești rangul, ca în exemplele 2 și 3. Șirul e dat printr-o relație de recurență: breviarul culegerii o descrie ca o formulă care dă fiecare termen în funcție de termenii dinaintea lui. Aici:
$a_{n+1} = a_n + 5$
Termenul de pe locul următor ( $a_{n+1}$ ) este termenul de acum ( $a_n$ ) plus 5.
Singurul termen dat direct este primul, $a_1 = 3$ . De la el pornești.
2. Ideea: din termen în termen, cu $n = 1$ , apoi $n = 2$
Dai lui $n$ valori, începând cu 1. Pentru $n = 1$ , relația devine $a_{1+1} = a_1 + 5$ , adică:
$a_2 = a_1 + 5 = 3 + 5 = 8$
Pentru $n = 2$ , relația îl dă pe $a_3$ din $a_2$ , pe care tocmai l-ai aflat.
Verifică-te
Cât este $a_3$ ?
$3$ $+5$ $8$ $+5$ $13$
3. Calculăm $5a_2 - 2a_3$
Acum înlocuiești $a_2 = 8$ și $a_3 = 13$ . Numerele din fața termenilor îi înmulțesc: $5a_2 = 5 \cdot a_2$ și $2a_3 = 2 \cdot a_3$ .
$5a_2 - 2a_3 = 5 \cdot 8 - 2 \cdot 13$
Verifică-te
Cât este $5 \cdot 8 - 2 \cdot 13$ ?
Recurență înseamnă pas cu pas
Cu o relație de recurență nu poți sări direct la un termen: ca să ajungi la $a_3$ treci prin $a_2$ . Pentru termeni îndepărtați, ca $a_{100}$ , ar trebui 99 de pași. La b) găsim o formulă care evită asta.

Răspuns

a_2 = 8

a_3 = 13

, deci

5a_2 - 2a_3 = 40 - 26 = 14

b)Să se determine formula termenului general al șirului.

Scrie relația pentru

n = 1, 2, 3, \ldots, n

, una sub alta, și adună toate egalitățile. Aproape toți termenii apar în ambii membri și se reduc.

1. Ce e nou: vrem o formulă $a_n = \ldots$
La a) ai mers pas cu pas: $a_1 = 3$ , $a_2 = 8$ , $a_3 = 13$ . Acum vrem formula termenului general, adică o expresie în $n$ din care să calculezi direct orice termen, fără să treci prin cei dinainte.
Culegerea scrie relația de recurență pentru $n = 1, 2, 3, \ldots, n$ , una sub alta:
$\begin{aligned} a_2 &= a_1 + 5 \\ a_3 &= a_2 + 5 \\ a_4 &= a_3 + 5 \\ &\;\;\vdots \\ a_{n+1} &= a_n + 5 \end{aligned}$
Fiecare rând este relația de recurență scrisă pentru altă valoare a lui $n$ .
2. Adunăm toate egalitățile
Aduni toți membrii stângi între ei și toți membrii drepți între ei. Egalitatea se păstrează, pentru că aduni lucruri egale:
$\begin{aligned} &a_2 + a_3 + \ldots + a_{n+1} \\ &= a_1 + a_2 + \ldots + a_n \\ &\quad + 5 + 5 + \ldots + 5 \end{aligned}$
Uită-te la $a_2$ : apare în stânga primului rând și în dreapta celui de-al doilea. Deci apare în ambii membri ai sumei și se reduce. La fel $a_3$ , $a_4$ , …, până la $a_n$ . Rămân doar termenii care apar o singură dată: în stânga $a_{n+1}$ , din ultimul rând, iar în dreapta $a_1$ , din primul rând, plus toți de 5.
Verifică-te
Câți de 5 se adună în membrul drept?
$a_{n+1} = a_1 + 5n = 3 + 5n$
3. De la $a_{n+1}$ la $a_n$
Am obținut termenul de rang $n + 1$ . Pentru termenul de rang $n$ facem invers decât în exemplul rezolvat 2: acolo înlocuiam $n$ cu $n + 1$ , aici înlocuim $n$ cu $n - 1$ . Atunci $a_{n+1}$ devine $a_{(n-1)+1} = a_n$ .
Verifică-te
Ce obții dacă înlocuiești $n$ cu $n - 1$ în $a_{n+1} = 3 + 5n$ ?
Un detaliu: egalitatea $a_{n+1} = 3 + 5n$ am obținut-o pentru $n \ge 1$ , deci ne dă termenii de la $a_2$ încolo. Primul termen îl verifici separat: pentru $n = 1$ , $5 \cdot 1 - 2 = 3 = a_1$ ✓. Așa că formula e valabilă pentru orice $n \in \mathbb{N}^*$ .
$n$ $5n - 2$ De la a)
$1$ $3$ $a_1 = 3$ ✓
$2$ $8$ $a_2 = 8$ ✓
$3$ $13$ $a_3 = 13$ ✓
Acum orice termen e la un pas: $a_{100} = 5 \cdot 100 - 2 = 498$ , fără cei 99 de pași de la a).

$n$	$5n - 2$	De la a)
$1$	$3$	$a_1 = 3$ ✓
$2$	$8$	$a_2 = 8$ ✓
$3$	$13$	$a_3 = 13$ ✓

Răspuns

a_n = 5n - 2

, pentru orice

n \in \mathbb{N}^*

Exemplu rezolvat 5 · Șir dat printr-o relație de recurență

a)Să se determine 5a2−2a35a_2 - 2a_35a2​−2a3​.

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: din termen în termen, cu n=1n = 1n=1, apoi n=2n = 2n=2 ✓

3. Calculăm 5a2−2a35a_2 - 2a_35a2​−2a3​ ✓

b)Să se determine formula termenului general al șirului.

1. Ce e nou: vrem o formulă an=…a_n = \ldotsan​=… ✓

2. Adunăm toate egalitățile ✓

3. De la an+1a_{n+1}an+1​ la ana_nan​ ✓

a)Să se determine $5a_2 - 2a_3$ .

1. Ce ni se cere

2. Ideea: din termen în termen, cu $n = 1$ , apoi $n = 2$

3. Calculăm $5a_2 - 2a_3$

1. Ce e nou: vrem o formulă $a_n = \ldots$

2. Adunăm toate egalitățile

3. De la $a_{n+1}$ la $a_n$