Culegere Burtea · Șiruri · exemplu rezolvat 7

Exemplu rezolvat 7 · Monotonia unui șir

Să se studieze monotonia șirurilor

(a_n)

definite prin:

a) $a_n = \frac{5n+1}{n+2}$ , $n \in \mathbb{N}^*$

Calculează diferența

a_{n+1} - a_n

, aducând fracțiile la numitorul comun

(n + 3)(n + 2)

. Dacă diferența iese pozitivă pentru orice

n

, șirul este strict crescător.

1. Ce ni se cere
„A studia monotonia” înseamnă să afli dacă șirul este crescător, descrescător sau niciuna, și să justifici. Breviarul culegerii spune că șirul este monoton crescător dacă $a_n \le a_{n+1}$ pentru orice $n \in \mathbb{N}^*$ , adică fiecare termen este cel puțin cât cel dinainte. Dacă inegalitatea este strictă, $a_n < a_{n+1}$ , șirul este strict crescător. La descrescător, inegalitatea e invers.
Primii termeni:
$a_1 = \frac{6}{3} = 2$
$a_2 = \frac{11}{4} = 2{,}75$
$a_3 = \frac{16}{5} = 3{,}2$
Par să crească. Trebuie însă arătat că $a_n < a_{n+1}$ pentru orice $n$ , nu doar pentru primii trei.
2. Ideea: semnul diferenței $a_{n+1} - a_n$
Culegerea compară doi termeni vecini oarecare, $a_n$ și $a_{n+1}$ , prin diferența lor:
$\begin{aligned} &a_n < a_{n+1} \\ &\iff a_{n+1} - a_n > 0 \end{aligned}$
Un număr este mai mare decât altul exact când diferența lor e pozitivă.
Dacă arătăm că diferența este pozitivă pentru orice $n$ , am arătat că șirul este strict crescător, dintr-o dată pentru toți termenii.
Întâi îți trebuie $a_{n+1}$ . Ca în exemplul rezolvat 2, înlocuiești $n$ cu $n + 1$ , cu tot cu paranteză, atât la numărător, cât și la numitor.
Verifică-te
Cât este $a_{n+1}$ , după ce desfaci parantezele?
3. Calculăm diferența
$\begin{aligned} &a_{n+1} - a_n \\ &= \dfrac{5n+6}{n+3} - \dfrac{5n+1}{n+2} \end{aligned}$
Aduci la numitorul comun $(n + 3)(n + 2)$ : prima fracție se amplifică cu $n + 2$ , a doua cu $n + 3$ . Numărătorul devine:
$\begin{aligned} &(5n + 6)(n + 2) \\ &- (5n + 1)(n + 3) \end{aligned}$
Înmulțești fiecare termen din prima paranteză cu fiecare termen din a doua:
$\begin{aligned} &(5n + 6)(n + 2) \\ &= 5n^2 + 16n + 12 \end{aligned}$
$5n \cdot n = 5n^2$ , $\;5n \cdot 2 + 6 \cdot n = 16n$ , $\;6 \cdot 2 = 12$ .
Verifică-te
La fel, cât este $(5n + 1)(n + 3)$ ?
Acum scazi. Termenii cu $n^2$ și cei cu $n$ sunt la fel în ambele produse, deci se reduc, și rămâne doar diferența termenilor liberi:
$\begin{aligned} &(5n^2 + 16n + 12) \\ &- (5n^2 + 16n + 3) = 9 \end{aligned}$
$a_{n+1} - a_n = \dfrac{9}{(n + 2)(n + 3)}$
4. Concluzia
Numărătorul este 9, pozitiv. Numitorul $(n + 2)(n + 3)$ este un produs de numere pozitive, deci tot pozitiv. Așadar diferența este pozitivă pentru orice $n \in \mathbb{N}^*$ .
Verifică-te
$a_{n+1} - a_n > 0$ pentru orice $n$ . Ce înseamnă asta pentru șir?
Verificare cu termenii de la început: $a_2 - a_1 = 2{,}75 - 2 = 0{,}75$ , iar formula dă pentru $n = 1$ : $\frac{9}{3 \cdot 4} = \frac{9}{12} = 0{,}75$ ✓.

Răspuns

a_{n+1} - a_n = \frac{9}{(n + 2)(n + 3)} > 0

pentru orice

n \in \mathbb{N}^*

, deci șirul este strict crescător.

b) $a_n = \frac23 n + (-1)^n$ , $n \in \mathbb{N}^*$

(-1)^n

este

-1

pentru

n

impar și

1

pentru

n

par. Calculează primii trei termeni și compară-i.

1. Ce e nou: $(-1)^n$ schimbă semnul
Termenul $(-1)^n$ alternează: un număr negativ la o putere impară este negativ, iar la o putere pară este pozitiv. Deci $(-1)^n = -1$ pentru $n$ impar și $(-1)^n = 1$ pentru $n$ par.
Culegerea nu mai calculează diferența $a_{n+1} - a_n$ , ca la a), ci se uită la primii trei termeni:
$\begin{aligned} a_1 &= \frac23 \cdot 1 + (-1)^1 \\ &= \frac23 - 1 = -\frac13 \end{aligned}$
$\begin{aligned} a_2 &= \frac23 \cdot 2 + (-1)^2 \\ &= \frac43 + 1 = \frac73 \end{aligned}$
Verifică-te
Cât este $a_3 = \frac23 \cdot 3 + (-1)^3$ ?
2. Concluzia: nici crescător, nici descrescător
Avem $a_1 = -\frac13$ , $a_2 = \frac73$ și $a_3 = 1$ . Îi compari doi câte doi:
$a_1 < a_2 \quad \text{și} \quad a_2 > a_3$
$-\frac13 < \frac73$ , iar $\frac73 = 2{,}33\ldots > 1$ .
Verifică-te
De ce ajunge o singură pereche, $a_2 > a_3$ , ca să știm că șirul nu e crescător?
Așadar, din $a_2 > a_3$ , șirul nu este crescător.
La fel în cealaltă direcție: un șir descrescător cere $a_n \ge a_{n+1}$ pentru orice $n$ , iar pentru $n = 1$ avem $a_1 < a_2$ . Deci șirul nu este nici descrescător.
Nefiind nici crescător, nici descrescător, șirul nu este monoton. Graficul primilor termeni arată „zigzagul”:
De unde vine zigzagul
Partea $\frac23 n$ crește cu $\frac23$ la fiecare pas, dar $(-1)^n$ sare între $-1$ și $1$ , adică se schimbă cu 2. Când treci de la un rang par la unul impar, saltul în jos de 2 este mai mare decât creșterea de $\frac23$ , așa că termenul scade: $\frac23 - 2 = -\frac43$ .

Răspuns

a_1 = -\frac13

a_2 = \frac73

a_3 = 1

, deci

a_1 < a_2

și

a_2 > a_3

: șirul nu este monoton.

Exemplu rezolvat 7 · Monotonia unui șir

a)an=5n+1n+2a_n = \frac{5n+1}{n+2}an​=n+25n+1​, n∈N∗n \in \mathbb{N}^*n∈N∗

1. Ce ni se cere ✓

2. Ideea: semnul diferenței an+1−ana_{n+1} - a_nan+1​−an​ ✓

3. Calculăm diferența ✓

4. Concluzia ✓

b)an=23n+(−1)na_n = \frac23 n + (-1)^nan​=32​n+(−1)n, n∈N∗n \in \mathbb{N}^*n∈N∗

1. Ce e nou: (−1)n(-1)^n(−1)n schimbă semnul ✓

2. Concluzia: nici crescător, nici descrescător ✓

a) $a_n = \frac{5n+1}{n+2}$ , $n \in \mathbb{N}^*$

1. Ce ni se cere

2. Ideea: semnul diferenței $a_{n+1} - a_n$

3. Calculăm diferența

4. Concluzia

b) $a_n = \frac23 n + (-1)^n$ , $n \in \mathbb{N}^*$

1. Ce e nou: $(-1)^n$ schimbă semnul

2. Concluzia: nici crescător, nici descrescător